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1. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 5m + 3x = 1 + x $ 的解比关于 $ x $ 的方程 $ 2x + m = 3m $ 的解大 2，求 $ 7m^2 - 1 $ 的值.
答案
解方程 $ 5m + 3x = 1 + x $,得 $ x = \frac{1-5m}{2} $; 解方程 $ 2x + m = 3m $,得 $ x = m $. 由题意,知 $ \frac{1-5m}{2} - m = 2 $,解得 $ m = -\frac{3}{7} $,则 $ 7m^2 - 1 = 7×(-\frac{3}{7})^2 - 1 = 7×\frac{9}{49} - 1 = \frac{2}{7} $.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，分别解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含参数m的代数式表示；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”的条件，列出关于m的一元一次方程，求解得到m的值；第三步，将m的值代入代数式$7m^2 -1$计算出最终结果。
【解析】
1. 求解方程$5m + 3x = 1 + x$：
移项得：$3x - x = 1 - 5m$
合并同类项得：$2x = 1 - 5m$
系数化为1得：$x = \frac{1-5m}{2}$
2. 求解方程$2x + m = 3m$：
移项得：$2x = 3m - m$
合并同类项得：$2x = 2m$
系数化为1得：$x = m$
3. 根据题意列方程求m：
已知第一个方程的解比第二个大2，可得：
$\frac{1-5m}{2} - m = 2$
两边同乘2去分母得：$1 - 5m - 2m = 4$
合并同类项得：$1 - 7m = 4$
移项得：$-7m = 3$
系数化为1得：$m = -\frac{3}{7}$
4. 计算$7m^2 -1$的值：
将$m = -\frac{3}{7}$代入得：
$7m^2 -1 = 7×(-\frac{3}{7})^2 -1 = 7×\frac{9}{49} -1 = \frac{9}{7} -1 = \frac{2}{7}$
【答案】
$\frac{2}{7}$
【知识点】
一元一次方程解法，方程解的应用，代数式求值
【点评】
本题是构造一元一次方程求参数的典型基础题，解题关键是先用参数表示出两个方程的解，再根据解的大小关系列方程求解，计算时要注意移项变号、乘方运算的符号规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，分别解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含参数m的代数式表示；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”的条件，列出关于m的一元一次方程，求解得到m的值；第三步，将m的值代入代数式$7m^2 -1$计算出最终结果。
【解析】
1. 求解方程$5m + 3x = 1 + x$：
移项得：$3x - x = 1 - 5m$
合并同类项得：$2x = 1 - 5m$
系数化为1得：$x = \frac{1-5m}{2}$
2. 求解方程$2x + m = 3m$：
移项得：$2x = 3m - m$
合并同类项得：$2x = 2m$
系数化为1得：$x = m$
3. 根据题意列方程求m：
已知第一个方程的解比第二个大2，可得：
$\frac{1-5m}{2} - m = 2$
两边同乘2去分母得：$1 - 5m - 2m = 4$
合并同类项得：$1 - 7m = 4$
移项得：$-7m = 3$
系数化为1得：$m = -\frac{3}{7}$
4. 计算$7m^2 -1$的值：
将$m = -\frac{3}{7}$代入得：
$7m^2 -1 = 7×(-\frac{3}{7})^2 -1 = 7×\frac{9}{49} -1 = \frac{9}{7} -1 = \frac{2}{7}$
【答案】
$\frac{2}{7}$
【知识点】
一元一次方程解法，方程解的应用，代数式求值
【点评】
本题是构造一元一次方程求参数的典型基础题，解题关键是先用参数表示出两个方程的解，再根据解的大小关系列方程求解，计算时要注意移项变号、乘方运算的符号规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
2. 已知 $x=\frac{3}{2}$ 是方程 $4+x=1-2ax$ 的解，求 $a+a^2 -3(a -a^2)+1$ 的值。
答案
将 $ x = \frac{3}{2} $ 代入 $ 4 + x = 1 - 2ax $,得 $ 4 + \frac{3}{2} = 1 - 3a $,解得 $ a = -\frac{3}{2} $. 当 $ a = -\frac{3}{2} $ 时,$ a + a^2 - 3(a - a^2) + 1 = a + a^2 - 3a + 3a^2 + 1 = 4a^2 - 2a + 1 = 4×(-\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{3}{2}) + 1 = 4×\frac{9}{4} + 3 + 1 = 13 $.
解析
【分析】
本题解题分为两步：第一步，根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此将已知的解$x=\frac{3}{2}$代入原一元一次方程，即可得到关于$a$的一元一次方程，解出$a$的值；第二步，先将所求的整式去括号、合并同类项化简，再将$a$的值代入化简后的式子计算，能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
1. 求$a$的值：
将$x=\frac{3}{2}$代入方程$4+x=1-2ax$，得：
$4+\frac{3}{2}=1-2a×\frac{3}{2}$
化简得：$\frac{11}{2}=1-3a$
移项计算：$3a=1-\frac{11}{2}=-\frac{9}{2}$
解得：$a=-\frac{3}{2}$
2. 化简并计算整式的值：
先化简$a+a^2 -3(a -a^2)+1$：
去括号得：$a+a^2-3a+3a^2+1$
合并同类项得：$4a^2-2a+1$
将$a=-\frac{3}{2}$代入上式：
原式$=4×(-\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{3}{2})+1$
$=4×\frac{9}{4}+3+1$
$=9+3+1=13$
【答案】
13
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 解一元一次方程
3. 整式化简求值
【点评】
本题属于基础常考题型，核心是利用方程解的性质求出未知参数的值，再代入整式计算，解题时要注意去括号时的符号变化，以及负数乘方的运算规则，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题解题分为两步：第一步，根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此将已知的解$x=\frac{3}{2}$代入原一元一次方程，即可得到关于$a$的一元一次方程，解出$a$的值；第二步，先将所求的整式去括号、合并同类项化简，再将$a$的值代入化简后的式子计算，能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
1. 求$a$的值：
将$x=\frac{3}{2}$代入方程$4+x=1-2ax$，得：
$4+\frac{3}{2}=1-2a×\frac{3}{2}$
化简得：$\frac{11}{2}=1-3a$
移项计算：$3a=1-\frac{11}{2}=-\frac{9}{2}$
解得：$a=-\frac{3}{2}$
2. 化简并计算整式的值：
先化简$a+a^2 -3(a -a^2)+1$：
去括号得：$a+a^2-3a+3a^2+1$
合并同类项得：$4a^2-2a+1$
将$a=-\frac{3}{2}$代入上式：
原式$=4×(-\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{3}{2})+1$
$=4×\frac{9}{4}+3+1$
$=9+3+1=13$
【答案】
13
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 解一元一次方程
3. 整式化简求值
【点评】
本题属于基础常考题型，核心是利用方程解的性质求出未知参数的值，再代入整式计算，解题时要注意去括号时的符号变化，以及负数乘方的运算规则，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
3.若$\frac{m}{3}+1$与$\frac{2m -1}{3}$互为相反数，求$m$的值.
答案
根据题意,得 $ \frac{m}{3} + 1 + \frac{2m - 1}{3} = 0 $,去分母,得 $ m + 3 + 2m - 1 = 0 $,解得 $ m = -\frac{2}{3} $.
解析
【分析】
解题首先抓住“互为相反数”的关键条件，根据相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，先列出关于m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、合并同类项、移项、系数化为1）逐步计算，就能求出m的值。
【解析】
根据互为相反数的两数之和为0，列方程得：
$\frac{m}{3} + 1 + \frac{2m - 1}{3} = 0$
方程两边同时乘3去分母，得：
$m + 3 + 2m - 1 = 0$
合并同类项，得：
$3m + 2 = 0$
移项后系数化为1，得：
$m = -\frac{2}{3}$
【答案】
$m=-\frac{2}{3}$
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相反数性质的应用和一元一次方程的解法，解题关键是根据相反数性质正确列出方程，计算时注意去分母不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题首先抓住“互为相反数”的关键条件，根据相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，先列出关于m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、合并同类项、移项、系数化为1）逐步计算，就能求出m的值。
【解析】
根据互为相反数的两数之和为0，列方程得：
$\frac{m}{3} + 1 + \frac{2m - 1}{3} = 0$
方程两边同时乘3去分母，得：
$m + 3 + 2m - 1 = 0$
合并同类项，得：
$3m + 2 = 0$
移项后系数化为1，得：
$m = -\frac{2}{3}$
【答案】
$m=-\frac{2}{3}$
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相反数性质的应用和一元一次方程的解法，解题关键是根据相反数性质正确列出方程，计算时注意去分母不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 如果 $2x^a y$ 与 $-5x^{2a - 3} y$ 是关于 $x,y$ 的单项式，且它们是同类项，求 $(7a - 22)^{2025}$ 的值.
答案
根据同类项的定义,得 $ 2a - 3 = a $,解得 $ a = 3 $,所以 $ (7a - 22)^{2025} = (-1)^{2025} = -1 $.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。已知两个关于x、y的单项式是同类项，两个单项式中y的指数均为1，已经满足相同的要求，因此只需让x的指数相等，即可列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，代入所求代数式计算即可。计算乘方时注意：负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数，要先判断指数的奇偶性。
【解析】
解：
∵$2x^a y$与$-5x^{2a - 3} y$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母x的指数相等，可得：
$2a - 3 = a$
移项计算得：$2a - a = 3$，即$a=3$
将$a=3$代入$(7a - 22)^{2025}$得：
$\begin{aligned}原式&=(7×3 - 22)^{2025}\\&=(21 - 22)^{2025}\\&=(-1)^{2025}\end{aligned}$
∵2025是奇数，
∴$(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是利用同类项的性质列方程求解参数，再代入计算乘方，解题关键是熟练掌握同类项的判定规则，注意乘方运算的符号规律。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。已知两个关于x、y的单项式是同类项，两个单项式中y的指数均为1，已经满足相同的要求，因此只需让x的指数相等，即可列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，代入所求代数式计算即可。计算乘方时注意：负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数，要先判断指数的奇偶性。
【解析】
解：
∵$2x^a y$与$-5x^{2a - 3} y$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母x的指数相等，可得：
$2a - 3 = a$
移项计算得：$2a - a = 3$，即$a=3$
将$a=3$代入$(7a - 22)^{2025}$得：
$\begin{aligned}原式&=(7×3 - 22)^{2025}\\&=(21 - 22)^{2025}\\&=(-1)^{2025}\end{aligned}$
∵2025是奇数，
∴$(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是利用同类项的性质列方程求解参数，再代入计算乘方，解题关键是熟练掌握同类项的判定规则，注意乘方运算的符号规律。
【难度系数】
0.85
5. 已知$(\dfrac{5-3x}{2} - \dfrac{3-5x}{3})^2$与$\left|y - \dfrac{1+y}{3} - 3\right|$互为相反数，求$x+y$的值。
答案
由题意,易得 $ \frac{5-3x}{2} - \frac{3-5x}{3} = 0 $, $ y - \frac{1+y}{3} - 3 = 0 $,解得 $ x = -9 $, $ y = 5 $,所以 $ x + y = -9 + 5 = -4 $.
解析
【分析】
首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，可列出两个非负数相加等于0的等式；再结合平方和绝对值的非负性（即平方≥0，绝对值≥0），两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此构造出两个关于x、y的一元一次方程；最后分别解两个一元一次方程求出x、y的值，代入计算x+y即可。
【解析】
解：
∵$(\dfrac{5-3x}{2} - \dfrac{3-5x}{3})^2$与$\left|y - \dfrac{1+y}{3} - 3\right|$互为相反数
∴$(\dfrac{5-3x}{2} - \dfrac{3-5x}{3})^2 + \left|y - \dfrac{1+y}{3} - 3\right| = 0$
又
∵$(\dfrac{5-3x}{2} - \dfrac{3-5x}{3})^2 ≥ 0$，$\left|y - \dfrac{1+y}{3} - 3\right| ≥ 0$
∴可得：
$\begin{cases}\dfrac{5-3x}{2} - \dfrac{3-5x}{3} = 0 ① \\y - \dfrac{1+y}{3} - 3 = 0 ②\end{cases}$
解方程①：
去分母，两边同乘6得：$3(5-3x) - 2(3-5x) = 0$
去括号得：$15 - 9x - 6 + 10x = 0$
合并同类项得：$x + 9 = 0$
解得：$x = -9$
解方程②：
去分母，两边同乘3得：$3y - (1+y) - 9 = 0$
去括号得：$3y - 1 - y - 9 = 0$
合并同类项得：$2y - 10 = 0$
解得：$y = 5$
∴$x + y = -9 + 5 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
相反数的定义；非负数的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是构造方程解题的典型题型，解题核心是利用非负数的性质将已知条件转化为一元一次方程，既考查了对基础概念和性质的理解，也锻炼了一元一次方程的计算能力，计算时要注意去分母、去括号的运算规则，避免漏乘或符号错误。
【难度系数】
0.7
首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，可列出两个非负数相加等于0的等式；再结合平方和绝对值的非负性（即平方≥0，绝对值≥0），两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此构造出两个关于x、y的一元一次方程；最后分别解两个一元一次方程求出x、y的值，代入计算x+y即可。
【解析】
解：
∵$(\dfrac{5-3x}{2} - \dfrac{3-5x}{3})^2$与$\left|y - \dfrac{1+y}{3} - 3\right|$互为相反数
∴$(\dfrac{5-3x}{2} - \dfrac{3-5x}{3})^2 + \left|y - \dfrac{1+y}{3} - 3\right| = 0$
又
∵$(\dfrac{5-3x}{2} - \dfrac{3-5x}{3})^2 ≥ 0$，$\left|y - \dfrac{1+y}{3} - 3\right| ≥ 0$
∴可得：
$\begin{cases}\dfrac{5-3x}{2} - \dfrac{3-5x}{3} = 0 ① \\y - \dfrac{1+y}{3} - 3 = 0 ②\end{cases}$
解方程①：
去分母，两边同乘6得：$3(5-3x) - 2(3-5x) = 0$
去括号得：$15 - 9x - 6 + 10x = 0$
合并同类项得：$x + 9 = 0$
解得：$x = -9$
解方程②：
去分母，两边同乘3得：$3y - (1+y) - 9 = 0$
去括号得：$3y - 1 - y - 9 = 0$
合并同类项得：$2y - 10 = 0$
解得：$y = 5$
∴$x + y = -9 + 5 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
相反数的定义；非负数的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是构造方程解题的典型题型，解题核心是利用非负数的性质将已知条件转化为一元一次方程，既考查了对基础概念和性质的理解，也锻炼了一元一次方程的计算能力，计算时要注意去分母、去括号的运算规则，避免漏乘或符号错误。
【难度系数】
0.7
6.设$ a,b $为有理数，若将运算符号“※”定义为$ a※b=a^2 - b^2 + a + 2b $，则当$ x $为何值时，式子$ x※x - 2 $的值为19？
答案
因为 $ a※b = a^2 - b^2 + a + 2b $,所以 $ x※x - 2 = x^2 - x^2 + x + 2x - 2 = 3x - 2 $,即 $ 3x - 2 = 19 $,解得 $ x = 7 $. 故当 $ x = 7 $ 时,式子 $ x※x - 2 $ 的值为 19.
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要准确理解运算符号“※”的运算规则，将式子x※x中的x分别对应新定义里的a和b，代入运算公式后化简，再根据“式子的值为19”这一条件列出一元一次方程，最后解出x的值即可。
【解析】
解：根据新定义$a※b=a^2 - b^2 + a + 2b$，将$a=x$，$b=x$代入得：
$x※x = x^2 - x^2 + x + 2x = 3x$
则$x※x - 2 = 3x - 2$
由题意可得方程：
$3x - 2 = 19$
移项得：$3x = 19 + 2$
合并同类项得：$3x = 21$
系数化为1得：$x = 7$
【答案】
$x=7$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新运算规则的转化应用能力，解题核心是将陌生的新定义运算转化为已学的整式运算和一元一次方程求解，代入时注意对应好a、b的位置，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要准确理解运算符号“※”的运算规则，将式子x※x中的x分别对应新定义里的a和b，代入运算公式后化简，再根据“式子的值为19”这一条件列出一元一次方程，最后解出x的值即可。
【解析】
解：根据新定义$a※b=a^2 - b^2 + a + 2b$，将$a=x$，$b=x$代入得：
$x※x = x^2 - x^2 + x + 2x = 3x$
则$x※x - 2 = 3x - 2$
由题意可得方程：
$3x - 2 = 19$
移项得：$3x = 19 + 2$
合并同类项得：$3x = 21$
系数化为1得：$x = 7$
【答案】
$x=7$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新运算规则的转化应用能力，解题核心是将陌生的新定义运算转化为已学的整式运算和一元一次方程求解，代入时注意对应好a、b的位置，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
