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三、解答题
16. 解方程：
(1) $x - (5 - 6x) = 3(x - 2)$；
(2) $x - \frac{10x + 1}{6} = \frac{2x + 1}{4} - 1$；
(3) $\frac{5}{3}(1 - \frac{x + 3}{2}) = -\frac{7}{2}x + 1$。
16. 解方程：
(1) $x - (5 - 6x) = 3(x - 2)$；
(2) $x - \frac{10x + 1}{6} = \frac{2x + 1}{4} - 1$；
(3) $\frac{5}{3}(1 - \frac{x + 3}{2}) = -\frac{7}{2}x + 1$。
答案
16.解:(1)去括号,得 $x-5+6x=3x-6$.移项,得 $x+6x-3x=-6+5$.合并同类项,得 $4x=-1$,解得 $x=-\dfrac{1}{4}$.
(2)去分母,得 $12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12$.去括号,得 $12x-20x-2=6x+3-12$.移项,得 $12x-20x-6x=3-12+2$.合并同类项,得 $-14x=-7$,解得 $x=\dfrac{1}{2}$.
(3)去分母,得 $10(1-\dfrac{x+3}{2})=-21x+6$.去括号,得 $10-5x-15=-21x+6$.移项,得 $-5x+21x=6-10+15$.合并同类项,得 $16x=11$,解得 $x=\dfrac{11}{16}$.
(2)去分母,得 $12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12$.去括号,得 $12x-20x-2=6x+3-12$.移项,得 $12x-20x-6x=3-12+2$.合并同类项,得 $-14x=-7$,解得 $x=\dfrac{1}{2}$.
(3)去分母,得 $10(1-\dfrac{x+3}{2})=-21x+6$.去括号,得 $10-5x-15=-21x+6$.移项,得 $-5x+21x=6-10+15$.合并同类项,得 $16x=11$,解得 $x=\dfrac{11}{16}$.
解析
【分析】
解一元一次方程的核心是利用等式的基本性质，将方程逐步化简为$x=a$的形式，常规解题步骤为：①若方程含分母，先去分母（注意给方程左右每一项都乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项）；②去括号（括号前为负号时，括号内每一项都要变号）；③移项（移项要改变符号）；④合并同类项；⑤系数化为1。三个小题分别对应含括号无分母、含分母、带分数系数括号的不同类型，按上述步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 去括号，得 $x-5+6x=3x-6$
移项，得 $x+6x-3x=-6+5$
合并同类项，得 $4x=-1$
系数化为1，解得 $x=-\dfrac{1}{4}$
(2) 去分母（左右同乘分母最小公倍数12），得 $12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12$
去括号，得 $12x-20x-2=6x+3-12$
移项，得 $12x-20x-6x=3-12+2$
合并同类项，得 $-14x=-7$
系数化为1，解得 $x=\dfrac{1}{2}$
(3) 去分母（左右同乘分母最小公倍数6），得 $10(1-\dfrac{x+3}{2})=-21x+6$
去括号，得 $10-5x-15=-21x+6$
移项，得 $-5x+21x=6-10+15$
合并同类项，得 $16x=11$
系数化为1，解得 $x=\dfrac{11}{16}$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{1}{4}$；(2) $x=\dfrac{1}{2}$；(3) $x=\dfrac{11}{16}$
【知识点】
一元一次方程解法、等式的基本性质、去括号去分母法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，覆盖了解方程的核心步骤，集中考查了去分母漏乘、去括号符号错误等常见易错点，熟练掌握运算规则就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解一元一次方程的核心是利用等式的基本性质，将方程逐步化简为$x=a$的形式，常规解题步骤为：①若方程含分母，先去分母（注意给方程左右每一项都乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项）；②去括号（括号前为负号时，括号内每一项都要变号）；③移项（移项要改变符号）；④合并同类项；⑤系数化为1。三个小题分别对应含括号无分母、含分母、带分数系数括号的不同类型，按上述步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 去括号，得 $x-5+6x=3x-6$
移项，得 $x+6x-3x=-6+5$
合并同类项，得 $4x=-1$
系数化为1，解得 $x=-\dfrac{1}{4}$
(2) 去分母（左右同乘分母最小公倍数12），得 $12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12$
去括号，得 $12x-20x-2=6x+3-12$
移项，得 $12x-20x-6x=3-12+2$
合并同类项，得 $-14x=-7$
系数化为1，解得 $x=\dfrac{1}{2}$
(3) 去分母（左右同乘分母最小公倍数6），得 $10(1-\dfrac{x+3}{2})=-21x+6$
去括号，得 $10-5x-15=-21x+6$
移项，得 $-5x+21x=6-10+15$
合并同类项，得 $16x=11$
系数化为1，解得 $x=\dfrac{11}{16}$
【答案】
(1) $x=-\dfrac{1}{4}$；(2) $x=\dfrac{1}{2}$；(3) $x=\dfrac{11}{16}$
【知识点】
一元一次方程解法、等式的基本性质、去括号去分母法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，覆盖了解方程的核心步骤，集中考查了去分母漏乘、去括号符号错误等常见易错点，熟练掌握运算规则就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
17.小华输液前发现瓶中药液共有 250 mL，输液器包装袋上标有“15 滴/mL”的字样.输液开始时，药液流速为 75 滴/min.小华感觉身体不适，输液 10 min 时调整了药液流速，输液 20 min 时，瓶中的药液余量为 160 mL.求：
(1)输液 10 min 时瓶中的药液余量；
(2)小华从输液开始到结束所需的时间.
(1)输液 10 min 时瓶中的药液余量；
(2)小华从输液开始到结束所需的时间.
答案
17.(1)$250-75÷15×10=200(\mathrm{mL})$,所以输液 10 min 时瓶中的药液余量是 200 mL.
(2)设小华从输液开始到结束所需的时间为 $t$ min,依题意,得 $\dfrac{200-160}{20-10}(t-20)=160$,解得 $t=60$.答:小华从输液开始到结束所需的时间为 60 min.
(2)设小华从输液开始到结束所需的时间为 $t$ min,依题意,得 $\dfrac{200-160}{20-10}(t-20)=160$,解得 $t=60$.答:小华从输液开始到结束所需的时间为 60 min.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先根据“15滴/mL”的标识，将滴速单位换算为mL/min，再计算10分钟的输液总量，用初始药液总量减去已输液量即可得到10min时的药液余量。
(2) 求解第二问时，先根据10min到20min的药液余量变化，算出调整后的输液流速，再结合剩余药液量算出后续输液时长，加上已用的20min得到总时长，也可通过设总时间为未知数列一元一次方程求解。
【解析】
(1) 先计算每分钟输液体积：流速为75滴/min，每1mL对应15滴，因此每分钟输液量为 $75÷15=5\ \mathrm{mL/min}$。
10分钟累计输液量为 $5×10=50\ \mathrm{mL}$。
初始药液共250mL，因此10min时余量为 $250-50=200\ \mathrm{mL}$。
(2) 设小华从输液开始到结束所需的时间为 $t\ \mathrm{min}$。
先计算调整后的流速：10~20min共10分钟，输液量为 $200-160=40\ \mathrm{mL}$，因此调整后流速为 $\frac{40}{10}=4\ \mathrm{mL/min}$。
20min后剩余160mL药液，依题意得方程：
$4(t-20)=160$
解得 $t=60$。
【答案】
(1) 200 mL；(2) 60 min
【知识点】
有理数运算，一元一次方程应用，流量问题
【点评】
本题结合生活场景出题，解题核心是理清不同阶段的输液流速，找准总量、速度、时间三者的数量关系，注意单位换算即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先根据“15滴/mL”的标识，将滴速单位换算为mL/min，再计算10分钟的输液总量，用初始药液总量减去已输液量即可得到10min时的药液余量。
(2) 求解第二问时，先根据10min到20min的药液余量变化，算出调整后的输液流速，再结合剩余药液量算出后续输液时长，加上已用的20min得到总时长，也可通过设总时间为未知数列一元一次方程求解。
【解析】
(1) 先计算每分钟输液体积：流速为75滴/min，每1mL对应15滴，因此每分钟输液量为 $75÷15=5\ \mathrm{mL/min}$。
10分钟累计输液量为 $5×10=50\ \mathrm{mL}$。
初始药液共250mL，因此10min时余量为 $250-50=200\ \mathrm{mL}$。
(2) 设小华从输液开始到结束所需的时间为 $t\ \mathrm{min}$。
先计算调整后的流速：10~20min共10分钟，输液量为 $200-160=40\ \mathrm{mL}$，因此调整后流速为 $\frac{40}{10}=4\ \mathrm{mL/min}$。
20min后剩余160mL药液，依题意得方程：
$4(t-20)=160$
解得 $t=60$。
【答案】
(1) 200 mL；(2) 60 min
【知识点】
有理数运算，一元一次方程应用，流量问题
【点评】
本题结合生活场景出题，解题核心是理清不同阶段的输液流速，找准总量、速度、时间三者的数量关系，注意单位换算即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
18.一车队共有 18 辆小轿车,正以 36 km/h 的速度在一条笔直的街道上匀速行驶,假定行驶时相邻两车的间隔均相等.小明同学站在路边等人,他发现该车队从第一辆车的车头到最后一辆的车尾经过自己身边共用了20 s,假设每辆车的车长均为 5.01 m.行驶时相邻两车之间的间隔为多少米？
答案
18.解:$36\ \mathrm{km/h}=10\ \mathrm{m/s}$.设行驶时相邻两车之间的间隔为 $x$ m,由题意得 $17x+18×5.01=20×10$,解得 $x=6.46$.答:行驶时相邻两车之间的间隔为 6.46 m.
解析
【分析】
解题时首先要统一单位，将速度的单位从km/h换算为m/s，方便后续计算。其次需要明确：车队从第一辆车车头到最后一辆车尾经过小明身边时，行驶的总路程由两部分组成，一是18辆小轿车的总长度，二是相邻两车的间隔总长度，18辆车的间隔数为$18-1=17$个。再结合行程公式“路程=速度×时间”建立等量关系，即可设未知数列方程求解。
【解析】
先进行单位换算：$36\ \mathrm{km/h}=36×\frac{1000}{3600}\ \mathrm{m/s}=10\ \mathrm{m/s}$。
设行驶时相邻两车之间的间隔为$x\ \mathrm{m}$，18辆车共有$18-1=17$个间隔，根据车队行驶总路程等于速度乘时间，列方程得：
$17x+18×5.01=20×10$
计算得：$17x+90.18=200$
移项计算得：$17x=109.82$
解得：$x=6.46$
答：行驶时相邻两车之间的间隔为6.46 m。
【答案】
6.46 m
【知识点】
一元一次方程应用；单位换算；行程问题
【点评】
本题属于行程类实际应用题，解题核心是准确梳理车队行驶总路程的构成，易错点是容易误将间隔数等同于车辆数，计算时需注意间隔数为车辆数减1，同时要保证单位统一后再进行运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要统一单位，将速度的单位从km/h换算为m/s，方便后续计算。其次需要明确：车队从第一辆车车头到最后一辆车尾经过小明身边时，行驶的总路程由两部分组成，一是18辆小轿车的总长度，二是相邻两车的间隔总长度，18辆车的间隔数为$18-1=17$个。再结合行程公式“路程=速度×时间”建立等量关系，即可设未知数列方程求解。
【解析】
先进行单位换算：$36\ \mathrm{km/h}=36×\frac{1000}{3600}\ \mathrm{m/s}=10\ \mathrm{m/s}$。
设行驶时相邻两车之间的间隔为$x\ \mathrm{m}$，18辆车共有$18-1=17$个间隔，根据车队行驶总路程等于速度乘时间，列方程得：
$17x+18×5.01=20×10$
计算得：$17x+90.18=200$
移项计算得：$17x=109.82$
解得：$x=6.46$
答：行驶时相邻两车之间的间隔为6.46 m。
【答案】
6.46 m
【知识点】
一元一次方程应用；单位换算；行程问题
【点评】
本题属于行程类实际应用题，解题核心是准确梳理车队行驶总路程的构成，易错点是容易误将间隔数等同于车辆数，计算时需注意间隔数为车辆数减1，同时要保证单位统一后再进行运算。
【难度系数】
0.7
19.“文明其精神，野蛮其体魄”.为进一步提升学生体质健康水平，某校计划用640元购买12个体育用品，备选体育用品及单价如下表：
(1)若640元全部用来购买足球和排球共12个，则足球和排球各买多少个？
(2)若学校先用一部分资金购买了m个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和篮球，此时正好剩余40元，求m的值。
(1)若640元全部用来购买足球和排球共12个，则足球和排球各买多少个？
(2)若学校先用一部分资金购买了m个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和篮球，此时正好剩余40元，求m的值。
答案
19.解:(1)设购买足球 $x$ 个,则购买排球 $(12-x)$ 个.依题意,得 $80x+40(12-x)=640$,解得 $x=4$,所以 $12-x=8$.答:购买了足球 4 个,排球 8 个.
(2)依题意,得 $40m+80×\dfrac{12-m}{2}+60×\dfrac{12-m}{2}=640-40$,解得 $m=8$.答:$m$ 的值为 8.
(2)依题意,得 $40m+80×\dfrac{12-m}{2}+60×\dfrac{12-m}{2}=640-40$,解得 $m=8$.答:$m$ 的值为 8.
解析
【分析】
(1) 本题是购物类一元一次方程应用题，核心是找到“总花费=足球总费用+排球总费用”的等量关系。先设足球购买数量为未知数，结合总购买数量表示出排球的购买数量，再根据单价、数量、总花费的关系列方程求解即可。
(2) 第二问先明确：购买m个排球后，剩余的12-m个球中足球和篮球数量相等，因此二者各为$\frac{12-m}{2}$个；总花费为640元减去剩余的40元，再根据三类球的总费用等于实际花费列方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设购买足球$x$个，则购买排球$(12-x)$个。
依题意列方程：
$80x+40(12-x)=640$
展开得：$80x+480-40x=640$
合并同类项得：$40x=160$
解得：$x=4$
因此排球数量为$12-x=12-4=8$（个）
(2) 购买$m$个排球后，剩余球的数量为$12-m$，足球和篮球数量相同，因此各购买$\frac{12-m}{2}$个，实际总花费为$640-40=600$元。
依题意列方程：
$40m+80×\dfrac{12-m}{2}+60×\dfrac{12-m}{2}=600$
化简得：$40m+40(12-m)+30(12-m)=600$
展开得：$40m+480-40m+360-30m=600$
合并同类项得：$840-30m=600$
移项得：$30m=240$
解得：$m=8$
【答案】
(1) 足球买4个，排球买8个；
(2) $m$的值为8。
【知识点】
一元一次方程应用，单价数量总价关系，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程在实际生活中的典型应用，解题关键是准确梳理各类商品的数量、单价与总花费的等量关系，合理设未知数列式计算，侧重考查学生的读题分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是购物类一元一次方程应用题，核心是找到“总花费=足球总费用+排球总费用”的等量关系。先设足球购买数量为未知数，结合总购买数量表示出排球的购买数量，再根据单价、数量、总花费的关系列方程求解即可。
(2) 第二问先明确：购买m个排球后，剩余的12-m个球中足球和篮球数量相等，因此二者各为$\frac{12-m}{2}$个；总花费为640元减去剩余的40元，再根据三类球的总费用等于实际花费列方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设购买足球$x$个，则购买排球$(12-x)$个。
依题意列方程：
$80x+40(12-x)=640$
展开得：$80x+480-40x=640$
合并同类项得：$40x=160$
解得：$x=4$
因此排球数量为$12-x=12-4=8$（个）
(2) 购买$m$个排球后，剩余球的数量为$12-m$，足球和篮球数量相同，因此各购买$\frac{12-m}{2}$个，实际总花费为$640-40=600$元。
依题意列方程：
$40m+80×\dfrac{12-m}{2}+60×\dfrac{12-m}{2}=600$
化简得：$40m+40(12-m)+30(12-m)=600$
展开得：$40m+480-40m+360-30m=600$
合并同类项得：$840-30m=600$
移项得：$30m=240$
解得：$m=8$
【答案】
(1) 足球买4个，排球买8个；
(2) $m$的值为8。
【知识点】
一元一次方程应用，单价数量总价关系，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程在实际生活中的典型应用，解题关键是准确梳理各类商品的数量、单价与总花费的等量关系，合理设未知数列式计算，侧重考查学生的读题分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
