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1.已知$y=(a-1)x^a$是反比例函数，则它的图象在(
A.第一、第二象限
B.第一、第三象限
C.第二、第四象限
D.第三、第四象限
C
).A.第一、第二象限
B.第一、第三象限
C.第二、第四象限
D.第三、第四象限
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确反比例函数的判定条件：反比例函数的标准形式为$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），也可写成$y = kx^{-1}$的形式，因此满足两个核心条件：①x的指数为-1；②比例系数$k≠0$。我们先根据这两个条件求出参数$a$的值，再根据比例系数的正负判断反比例函数图象所在的象限即可。
【解析】
解：
∵$y=(a-1)x^a$是反比例函数
∴根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}a=-1 \\ a-1≠0 \end{cases}$
将$a=-1$代入$a-1$验证：$a-1=-1-1=-2≠0$，符合要求。
∴该反比例函数的比例系数为$-2＜0$
根据反比例函数的性质：当$k＜0$时，函数图象分布在第二、第四象限。
因此该函数图象在第二、第四象限，选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对反比例函数定义和图象性质的理解应用，解题的关键是牢记反比例函数的形式特征，先确定参数的取值，再通过比例系数的符号判断图象位置，是对反比例函数基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确反比例函数的判定条件：反比例函数的标准形式为$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），也可写成$y = kx^{-1}$的形式，因此满足两个核心条件：①x的指数为-1；②比例系数$k≠0$。我们先根据这两个条件求出参数$a$的值，再根据比例系数的正负判断反比例函数图象所在的象限即可。
【解析】
解：
∵$y=(a-1)x^a$是反比例函数
∴根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}a=-1 \\ a-1≠0 \end{cases}$
将$a=-1$代入$a-1$验证：$a-1=-1-1=-2≠0$，符合要求。
∴该反比例函数的比例系数为$-2＜0$
根据反比例函数的性质：当$k＜0$时，函数图象分布在第二、第四象限。
因此该函数图象在第二、第四象限，选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对反比例函数定义和图象性质的理解应用，解题的关键是牢记反比例函数的形式特征，先确定参数的取值，再通过比例系数的符号判断图象位置，是对反比例函数基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
2.如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过正方形的顶点A，则k的值是（
A.2
B.－2
C.4
D.－4
D
）。A.2
B.－2
C.4
D.－4
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先确定点A的坐标，已知正方形ABOC边长为2，点A位于第二象限，第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，因此可得A点坐标为(-2,2)；第二步将A点坐标代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值；也可利用反比例函数k的几何意义求解：过反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积等于$\vert k\vert$，结合图象所在象限确定k的符号后得到k的值，解题时需注意不要忽略k的符号导致错误。
【解析】
方法一：
∵正方形ABOC的边长为2，点A在第二象限，
∴点A的坐标为$(-2,2)$，
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A，
∴将$A(-2,2)$代入解析式得：$2=\frac{k}{-2}$，
解得$k=2×(-2)=-4$。
方法二：
根据反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$\vert k\vert$，
本题中正方形ABOC的面积为$2×2=4$，即$\vert k\vert=4$，
∵反比例函数图象位于第二象限，$x＜0,y＞0$，
∴$k=xy＜0$，
∴$k=-4$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数解析式的确定；反比例函数k的几何意义；正方形的性质
【点评】
本题属于基础题，考查反比例函数相关知识，既可代入点坐标直接计算，也可利用k的几何意义快速求解，解题时需注意函数图象所在象限对k符号的影响，避免因忽略符号错选答案。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步先确定点A的坐标，已知正方形ABOC边长为2，点A位于第二象限，第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，因此可得A点坐标为(-2,2)；第二步将A点坐标代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值；也可利用反比例函数k的几何意义求解：过反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积等于$\vert k\vert$，结合图象所在象限确定k的符号后得到k的值，解题时需注意不要忽略k的符号导致错误。
【解析】
方法一：
∵正方形ABOC的边长为2，点A在第二象限，
∴点A的坐标为$(-2,2)$，
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A，
∴将$A(-2,2)$代入解析式得：$2=\frac{k}{-2}$，
解得$k=2×(-2)=-4$。
方法二：
根据反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$\vert k\vert$，
本题中正方形ABOC的面积为$2×2=4$，即$\vert k\vert=4$，
∵反比例函数图象位于第二象限，$x＜0,y＞0$，
∴$k=xy＜0$，
∴$k=-4$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数解析式的确定；反比例函数k的几何意义；正方形的性质
【点评】
本题属于基础题，考查反比例函数相关知识，既可代入点坐标直接计算，也可利用k的几何意义快速求解，解题时需注意函数图象所在象限对k符号的影响，避免因忽略符号错选答案。
【难度系数】
0.7
3.如图,反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为
4
.答案
3.4
解析
【分析】
解题时可先设出矩形顶点A、C的坐标，根据矩形性质得到顶点B的坐标，再由D是AB中点推出D点坐标；结合反比例函数图象上的点满足函数解析式，将D点坐标代入反比例函数式，即可得到矩形邻边长度的乘积，对应矩形的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），点C的坐标为$(0,b)$（$b＞0$）。
因为四边形OABC是矩形，因此点B的坐标为$(a,b)$。
已知D是AB的中点，AB垂直于x轴，因此D点横坐标与A、B相同为$a$，纵坐标为$\frac{b}{2}$，即$D(a,\frac{b}{2})$。
因为点D在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，将D点坐标代入解析式得：
$\frac{b}{2}=\frac{2}{a}$
整理得$ab=4$。
矩形OABC的面积$S=OA· OC=a· b=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；矩形的性质；中点的定义
【点评】
本题是反比例函数与平面几何结合的基础题型，核心是利用函数解析式建立几何线段长度的数量关系，渗透了数形结合的思想，解题时要注意坐标与线段长度的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时可先设出矩形顶点A、C的坐标，根据矩形性质得到顶点B的坐标，再由D是AB中点推出D点坐标；结合反比例函数图象上的点满足函数解析式，将D点坐标代入反比例函数式，即可得到矩形邻边长度的乘积，对应矩形的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），点C的坐标为$(0,b)$（$b＞0$）。
因为四边形OABC是矩形，因此点B的坐标为$(a,b)$。
已知D是AB的中点，AB垂直于x轴，因此D点横坐标与A、B相同为$a$，纵坐标为$\frac{b}{2}$，即$D(a,\frac{b}{2})$。
因为点D在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，将D点坐标代入解析式得：
$\frac{b}{2}=\frac{2}{a}$
整理得$ab=4$。
矩形OABC的面积$S=OA· OC=a· b=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；矩形的性质；中点的定义
【点评】
本题是反比例函数与平面几何结合的基础题型，核心是利用函数解析式建立几何线段长度的数量关系，渗透了数形结合的思想，解题时要注意坐标与线段长度的对应关系。
【难度系数】
0.8
4.对于函数$y=\frac{2}{x}$，当函数值$y＜-1$时，自变量$x$的取值范围是
$-2＜x＜0$
。答案
4.$-2＜x＜0$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图像性质：比例系数$k=2＞0$，因此图像位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。题目要求$y＜-1$，首先排除y值恒为正的第一象限，仅考虑第三象限的分支；接下来求出$y=-1$时对应的x的临界值，再结合第三象限内函数的增减性，即可确定x的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，
∵$k=2＞0$，
∴函数图像分布在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
当$y=-1$时，代入函数得：$-1=\frac{2}{x}$，解得$x=-2$。
∵要求$y＜-1$，第一象限内所有点的y值都大于0，不符合要求，因此仅考虑第三象限的图像，此时$x＜0$。
又
∵第三象限内y随x增大而减小，所以当$y＜-1$时，$x＞-2$。
综上，自变量x的取值范围是$-2＜x＜0$。
【答案】
$-2＜x＜0$
【知识点】
1. 反比例函数的图像与性质
2. 反比例函数与不等式
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先根据函数值的范围确定对应图像所在的象限，再结合函数增减性求解自变量范围，要注意不能忽略x的取值符号，避免出现$x＜-2$的错误。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图像性质：比例系数$k=2＞0$，因此图像位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。题目要求$y＜-1$，首先排除y值恒为正的第一象限，仅考虑第三象限的分支；接下来求出$y=-1$时对应的x的临界值，再结合第三象限内函数的增减性，即可确定x的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，
∵$k=2＞0$，
∴函数图像分布在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
当$y=-1$时，代入函数得：$-1=\frac{2}{x}$，解得$x=-2$。
∵要求$y＜-1$，第一象限内所有点的y值都大于0，不符合要求，因此仅考虑第三象限的图像，此时$x＜0$。
又
∵第三象限内y随x增大而减小，所以当$y＜-1$时，$x＞-2$。
综上，自变量x的取值范围是$-2＜x＜0$。
【答案】
$-2＜x＜0$
【知识点】
1. 反比例函数的图像与性质
2. 反比例函数与不等式
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先根据函数值的范围确定对应图像所在的象限，再结合函数增减性求解自变量范围，要注意不能忽略x的取值符号，避免出现$x＜-2$的错误。
【难度系数】
0.7
5.如图,由反比例函数$y=\frac{m-5}{x}(x＞0)$的图象可知常数$m$的取值范围是
$m＞5$
.答案
5.$m＞5$
解析
【分析】
解题时首先识别该函数为反比例函数，观察图象可知x＞0时图象在第一象限，结合反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限时，比例系数$k＞0$。本题中比例系数为$m-5$，据此列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，$x＞0$对应的函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小。
由题图可得，该反比例函数$y=\frac{m-5}{x}(x＞0)$的图象在第一象限，因此比例系数满足：
$m-5＞0$
解得$m＞5$
【答案】
$m＞5$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数比例系数的符号与图象所在象限的对应关系，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先识别该函数为反比例函数，观察图象可知x＞0时图象在第一象限，结合反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限时，比例系数$k＞0$。本题中比例系数为$m-5$，据此列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，$x＞0$对应的函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小。
由题图可得，该反比例函数$y=\frac{m-5}{x}(x＞0)$的图象在第一象限，因此比例系数满足：
$m-5＞0$
解得$m＞5$
【答案】
$m＞5$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数比例系数的符号与图象所在象限的对应关系，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根，则函数$y = kx$与函数$y = \frac{2}{x}$的图象交点个数为(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
A
).A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先从已知的一元二次方程无实根出发，利用根的判别式求出参数k的取值范围，再通过分析正比例函数与反比例函数的图象所在象限，或者联立两个函数解析式转化为方程，用判别式判断方程是否有实根，即可得到两个函数图象的交点个数。
【解析】
1. 求k的取值范围：
对于一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=2$，$c=1-k$。
因为方程无实数根，所以$\Delta ＜ 0$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(1 - k) = 4 - 4 + 4k = 4k ＜ 0$
解得$k ＜ 0$。
2. 判断两个函数的交点个数：
正比例函数$y=kx$中$k＜0$，图象经过第二、四象限；
反比例函数$y=\frac{2}{x}$中比例系数$2＞0$，图象经过第一、三象限。
两个函数的图象没有共同的象限，因此没有交点。
（也可联立解析式验证：联立得$kx=\frac{2}{x}$，整理为$kx^2-2=0$，其判别式$\Delta'=8k＜0$，方程无实根，即无交点）
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，正比例函数的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是方程与函数的综合基础题，需要熟练掌握根的判别式的应用以及两类基本函数的图象特征，通过参数范围的推导衔接方程与函数的关系即可解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的一元二次方程无实根出发，利用根的判别式求出参数k的取值范围，再通过分析正比例函数与反比例函数的图象所在象限，或者联立两个函数解析式转化为方程，用判别式判断方程是否有实根，即可得到两个函数图象的交点个数。
【解析】
1. 求k的取值范围：
对于一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=2$，$c=1-k$。
因为方程无实数根，所以$\Delta ＜ 0$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(1 - k) = 4 - 4 + 4k = 4k ＜ 0$
解得$k ＜ 0$。
2. 判断两个函数的交点个数：
正比例函数$y=kx$中$k＜0$，图象经过第二、四象限；
反比例函数$y=\frac{2}{x}$中比例系数$2＞0$，图象经过第一、三象限。
两个函数的图象没有共同的象限，因此没有交点。
（也可联立解析式验证：联立得$kx=\frac{2}{x}$，整理为$kx^2-2=0$，其判别式$\Delta'=8k＜0$，方程无实根，即无交点）
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，正比例函数的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是方程与函数的综合基础题，需要熟练掌握根的判别式的应用以及两类基本函数的图象特征，通过参数范围的推导衔接方程与函数的关系即可解题。
【难度系数】
0.7
7. 
，点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，点B在点A的右侧，延长AB交x轴于点C，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则$k=$
，点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，点B在点A的右侧，延长AB交x轴于点C，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则$k=$8
。答案
7.8
提示:用同一自变量表示点A和点C的坐标.
提示:用同一自变量表示点A和点C的坐标.
解析
【分析】
解题时先设出点A的坐标，利用反比例函数解析式表示出A的坐标特征，再结合B是AC中点的性质得到点B的纵坐标，代入反比例函数求出B的横坐标，接着用中点坐标公式求出点C的横坐标，最后根据△AOC的面积公式列方程求解，计算中设的参数会被消去，可直接得到k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})(a＞0)$，
∵点B是AC的中点，点C在x轴上，纵坐标为0，
∴点B的纵坐标为$\frac{\frac{k}{a}+0}{2}=\frac{k}{2a}$，
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$y=\frac{k}{2a}$代入解析式得：
$\frac{k}{2a}=\frac{k}{x}$，解得$x=2a$，即点B的横坐标为$2a$，
设点C的横坐标为$c$，根据中点横坐标公式可得：$2a=\frac{a+c}{2}$，
解得$c=3a$，即$OC=3a$，
△AOC的面积为$\frac{1}{2}× OC×$点A的纵坐标，代入已知条件得：
$12=\frac{1}{2}× 3a× \frac{k}{a}$，约去$a$后得$\frac{3k}{2}=12$，
解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题核心是利用中点性质建立各点坐标的关联，通过设参消参的方法计算k，无需求出参数的具体数值，整体思路清晰，技巧性较强。
【难度系数】
0.65
解题时先设出点A的坐标，利用反比例函数解析式表示出A的坐标特征，再结合B是AC中点的性质得到点B的纵坐标，代入反比例函数求出B的横坐标，接着用中点坐标公式求出点C的横坐标，最后根据△AOC的面积公式列方程求解，计算中设的参数会被消去，可直接得到k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})(a＞0)$，
∵点B是AC的中点，点C在x轴上，纵坐标为0，
∴点B的纵坐标为$\frac{\frac{k}{a}+0}{2}=\frac{k}{2a}$，
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$y=\frac{k}{2a}$代入解析式得：
$\frac{k}{2a}=\frac{k}{x}$，解得$x=2a$，即点B的横坐标为$2a$，
设点C的横坐标为$c$，根据中点横坐标公式可得：$2a=\frac{a+c}{2}$，
解得$c=3a$，即$OC=3a$，
△AOC的面积为$\frac{1}{2}× OC×$点A的纵坐标，代入已知条件得：
$12=\frac{1}{2}× 3a× \frac{k}{a}$，约去$a$后得$\frac{3k}{2}=12$，
解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题核心是利用中点性质建立各点坐标的关联，通过设参消参的方法计算k，无需求出参数的具体数值，整体思路清晰，技巧性较强。
【难度系数】
0.65
