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8.定义:函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫作这个函数图象的“近轴点”.例如,点(0,1)是函数$y=x+1$图象的“近轴点”.
(1)下列三个函数,图象上存在“近轴点”的是
①$y=-x+3$;②$y=\frac{2}{x}$;③$y=x^2+2x-1$.
(2)若一次函数$y=mx-3m$的图象上存在“近轴点”,则$m$的取值范围为
(1)下列三个函数,图象上存在“近轴点”的是
③
(填序号).①$y=-x+3$;②$y=\frac{2}{x}$;③$y=x^2+2x-1$.
(2)若一次函数$y=mx-3m$的图象上存在“近轴点”,则$m$的取值范围为
$-\frac{1}{2}≤ m＜0$ 或 $0＜m≤\frac{1}{2}$
.答案
8.(1)③ (2)$-\frac{1}{2}≤ m＜0$ 或 $0＜m≤\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先明确“近轴点”的定义：点的横、纵坐标满足|x|≤1且|y|≤1，也就是x∈[-1,1]、y∈[-1,1]的点。
（1）判断三个函数是否存在近轴点，只需验证当x∈[-1,1]时，函数对应的y值是否有落在[-1,1]区间内的部分，有则存在近轴点。
（2）一次函数要求m≠0，根据近轴点定义，需存在x∈[-1,1]使得|mx-3m|≤1。由于x∈[-1,1]时|x-3|∈[2,4]，将不等式变形为|m|≤1/|x-3|，只要|m|小于等于1/|x-3|的最大值，就能满足存在符合条件的x，结合一次函数定义即可求出m的范围。
【解析】
（1）逐个分析三个函数：
①对于$y=-x+3$，当$x∈[-1,1]$时，$y$随$x$增大而减小，$x=-1$时$y=4$，$x=1$时$y=2$，即$y∈[2,4]$，所有y值都大于1，不存在近轴点；
②对于$y=\frac{2}{x}$，当$x∈[-1,0)∪(0,1]$时，$|y|=\frac{2}{|x|}≥2＞1$，所有y的绝对值都大于1，不存在近轴点；
③对于$y=x^2+2x-1$，配方得$y=(x+1)^2-2$，当$x∈[-1,1]$时，$y$随$x$增大而增大，$x=-1$时$y=-2$，$x=1$时$y=2$，即$y∈[-2,2]$，和$[-1,1]$有交集，比如$x=0$时$y=-1$，点$(0,-1)$就是近轴点，存在近轴点。
故填③。
（2）
∵$y=mx-3m$是一次函数，
∴$m≠0$。
根据近轴点定义，存在$x∈[-1,1]$，使得$|x|≤1$且$|mx-3m|≤1$。
将不等式变形：$|m(x-3)|≤1$，即$|m|·|x-3|≤1$。
当$x∈[-1,1]$时，$x-3∈[-4,-2]$，
∴$|x-3|∈[2,4]$，则$\frac{1}{|x-3|}∈[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$。
要存在符合条件的$x$，则$|m|≤\frac{1}{|x-3|}$的最大值$\frac{1}{2}$，即$|m|≤\frac{1}{2}$，解得$-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}$。
结合一次函数$m≠0$的要求，最终$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}≤m＜0$或$0＜m≤\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)③ (2)$-\frac{1}{2}≤ m＜0$ 或 $0＜m≤\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义问题；一次函数性质；二次函数性质
【点评】
本题是新定义类题型，解题关键是准确理解“近轴点”的定义，转化为横纵坐标的取值范围问题，结合函数的单调性或不等式求解，同时注意一次函数一次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.65
首先明确“近轴点”的定义：点的横、纵坐标满足|x|≤1且|y|≤1，也就是x∈[-1,1]、y∈[-1,1]的点。
（1）判断三个函数是否存在近轴点，只需验证当x∈[-1,1]时，函数对应的y值是否有落在[-1,1]区间内的部分，有则存在近轴点。
（2）一次函数要求m≠0，根据近轴点定义，需存在x∈[-1,1]使得|mx-3m|≤1。由于x∈[-1,1]时|x-3|∈[2,4]，将不等式变形为|m|≤1/|x-3|，只要|m|小于等于1/|x-3|的最大值，就能满足存在符合条件的x，结合一次函数定义即可求出m的范围。
【解析】
（1）逐个分析三个函数：
①对于$y=-x+3$，当$x∈[-1,1]$时，$y$随$x$增大而减小，$x=-1$时$y=4$，$x=1$时$y=2$，即$y∈[2,4]$，所有y值都大于1，不存在近轴点；
②对于$y=\frac{2}{x}$，当$x∈[-1,0)∪(0,1]$时，$|y|=\frac{2}{|x|}≥2＞1$，所有y的绝对值都大于1，不存在近轴点；
③对于$y=x^2+2x-1$，配方得$y=(x+1)^2-2$，当$x∈[-1,1]$时，$y$随$x$增大而增大，$x=-1$时$y=-2$，$x=1$时$y=2$，即$y∈[-2,2]$，和$[-1,1]$有交集，比如$x=0$时$y=-1$，点$(0,-1)$就是近轴点，存在近轴点。
故填③。
（2）
∵$y=mx-3m$是一次函数，
∴$m≠0$。
根据近轴点定义，存在$x∈[-1,1]$，使得$|x|≤1$且$|mx-3m|≤1$。
将不等式变形：$|m(x-3)|≤1$，即$|m|·|x-3|≤1$。
当$x∈[-1,1]$时，$x-3∈[-4,-2]$，
∴$|x-3|∈[2,4]$，则$\frac{1}{|x-3|}∈[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$。
要存在符合条件的$x$，则$|m|≤\frac{1}{|x-3|}$的最大值$\frac{1}{2}$，即$|m|≤\frac{1}{2}$，解得$-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}$。
结合一次函数$m≠0$的要求，最终$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}≤m＜0$或$0＜m≤\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)③ (2)$-\frac{1}{2}≤ m＜0$ 或 $0＜m≤\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义问题；一次函数性质；二次函数性质
【点评】
本题是新定义类题型，解题关键是准确理解“近轴点”的定义，转化为横纵坐标的取值范围问题，结合函数的单调性或不等式求解，同时注意一次函数一次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.65
9.探究函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的图象与性质.
(1)函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是
(2)下列四个函数图象中,函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的图象大致是(
(3)对于函数 $y=x+\frac{4}{x}$,求当 $x＞0$ 时,$y$ 的取值范围.
请将下面求解此问题的过程补充完整:
解:$\because x＞0,\therefore y=x+\frac{4}{x}=(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})^2 +4.$
由此可见,当 $x=$
(4)若函数 $y=\frac{x^2 -4x +1}{x}$,当 $x＞0$ 时,求 $y$ 的取值范围.
(1)函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是
$x≠0$
.(2)下列四个函数图象中,函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的图象大致是(
C
).(3)对于函数 $y=x+\frac{4}{x}$,求当 $x＞0$ 时,$y$ 的取值范围.
请将下面求解此问题的过程补充完整:
解:$\because x＞0,\therefore y=x+\frac{4}{x}=(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})^2 +4.$
由此可见,当 $x=$
2
时,函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的最小值为 4
.(4)若函数 $y=\frac{x^2 -4x +1}{x}$,当 $x＞0$ 时,求 $y$ 的取值范围.
答案
9.(1)$x≠0$
(2)C
(3)2 4
(4)$\because y=\frac{x^2 -4x +1}{x}=x-4+\frac{1}{x}=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 -2,\therefore y≥-2.$
(2)C
(3)2 4
(4)$\because y=\frac{x^2 -4x +1}{x}=x-4+\frac{1}{x}=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 -2,\therefore y≥-2.$
解析
【分析】
(1) 函数解析式为分式形式，根据分式有意义的条件：分母不为0，即可确定自变量的取值范围；
(2) 判断函数图像可先分析函数值的符号：x＞0时x和$\frac{4}{x}$均为正，故y＞0，图像在第一象限；x＜0时x和$\frac{4}{x}$均为负，故y＜0，图像在第三象限，先排除符号不符的选项；再结合x＞0时函数有最小值4、x＜0时函数有最大值-4的特征，即可确定正确图像；
(3) 配方式中平方项是非负数，当平方项等于0时y取得最小值，解方程即可得到对应x的值和y的最小值；
(4) 先将函数拆分为$x+\frac{1}{x}-4$的形式，参考第(3)问的配方思路，利用平方的非负性即可求出y的取值范围。
【解析】
(1) 函数$y=x+\frac{4}{x}$的分母为x，分式有意义则分母不能为0，因此自变量x的取值范围是$x≠0$。
(2) ① 分析函数值符号：$y=x+\frac{4}{x}=\frac{x^2+4}{x}$，其中$x^2+4＞0$恒成立，因此y的符号与x一致：x＞0时y＞0，图像在第一象限；x＜0时y＜0，图像在第三象限。选项B的图像在第二、四象限，选项D的图像与x轴有交点（存在y=0的情况），均不符合特征，排除B、D；
② 结合最值特征：x＞0时函数最小值为4，最低点横坐标为x=2，在第一象限距离原点有一定距离，选项A第一象限的最低点靠近y轴，不符合，选项C符合特征，故选C。
(3) 因为平方数具有非负性，即$(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})^2≥0$，当且仅当$\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}=0$时等号成立：
解方程$\sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}$，两边同乘$\sqrt{x}$得$x=2$，此时y的最小值为$0+4=4$。
(4) 先对函数变形：
$y=\frac{x^2 -4x +1}{x}=x -4 +\frac{1}{x}$，
因为x＞0，对$x+\frac{1}{x}$配方得：
$x+\frac{1}{x}=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 + 2$，
因此$y=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 +2 -4=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 -2$，
因为$(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2≥0$，所以$y≥0-2=-2$，即x＞0时y的取值范围是$y≥-2$。
【答案】
(1)$x≠0$
(2)C
(3)2；4
(4)$y≥-2$
【知识点】
函数自变量取值范围；配方法求最值；函数图像判断
【点评】
本题属于函数性质探究题，解题核心是掌握分式有意义的条件、配方法的应用以及平方的非负性，学会通过函数值符号、最值等特征判断函数图像，掌握探究规律后即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
(1) 函数解析式为分式形式，根据分式有意义的条件：分母不为0，即可确定自变量的取值范围；
(2) 判断函数图像可先分析函数值的符号：x＞0时x和$\frac{4}{x}$均为正，故y＞0，图像在第一象限；x＜0时x和$\frac{4}{x}$均为负，故y＜0，图像在第三象限，先排除符号不符的选项；再结合x＞0时函数有最小值4、x＜0时函数有最大值-4的特征，即可确定正确图像；
(3) 配方式中平方项是非负数，当平方项等于0时y取得最小值，解方程即可得到对应x的值和y的最小值；
(4) 先将函数拆分为$x+\frac{1}{x}-4$的形式，参考第(3)问的配方思路，利用平方的非负性即可求出y的取值范围。
【解析】
(1) 函数$y=x+\frac{4}{x}$的分母为x，分式有意义则分母不能为0，因此自变量x的取值范围是$x≠0$。
(2) ① 分析函数值符号：$y=x+\frac{4}{x}=\frac{x^2+4}{x}$，其中$x^2+4＞0$恒成立，因此y的符号与x一致：x＞0时y＞0，图像在第一象限；x＜0时y＜0，图像在第三象限。选项B的图像在第二、四象限，选项D的图像与x轴有交点（存在y=0的情况），均不符合特征，排除B、D；
② 结合最值特征：x＞0时函数最小值为4，最低点横坐标为x=2，在第一象限距离原点有一定距离，选项A第一象限的最低点靠近y轴，不符合，选项C符合特征，故选C。
(3) 因为平方数具有非负性，即$(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})^2≥0$，当且仅当$\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}=0$时等号成立：
解方程$\sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}$，两边同乘$\sqrt{x}$得$x=2$，此时y的最小值为$0+4=4$。
(4) 先对函数变形：
$y=\frac{x^2 -4x +1}{x}=x -4 +\frac{1}{x}$，
因为x＞0，对$x+\frac{1}{x}$配方得：
$x+\frac{1}{x}=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 + 2$，
因此$y=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 +2 -4=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 -2$，
因为$(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2≥0$，所以$y≥0-2=-2$，即x＞0时y的取值范围是$y≥-2$。
【答案】
(1)$x≠0$
(2)C
(3)2；4
(4)$y≥-2$
【知识点】
函数自变量取值范围；配方法求最值；函数图像判断
【点评】
本题属于函数性质探究题，解题核心是掌握分式有意义的条件、配方法的应用以及平方的非负性，学会通过函数值符号、最值等特征判断函数图像，掌握探究规律后即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
