8.定义:函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫作这个函数图象的“近轴点”.例如,点(0,1)是函数$y=x+1$图象的“近轴点”.
(1)下列三个函数,图象上存在“近轴点”的是(填序号).
①$y=-x+3$;②$y=\frac{2}{x}$;③$y=x^2+2x-1$.
(2)若一次函数$y=mx-3m$的图象上存在“近轴点”,则$m$的取值范围为.

8.(1)③ (2)$-\frac{1}{2}≤ m＜0$ 或 $0＜m≤\frac{1}{2}$

【分析】首先明确“近轴点”的定义：函数图象上的点(x,y)需同时满足|x|≤1、|y|≤1。(1)对三个函数分别分析：当x在[-1,1]范围内时，是否存在对应的y值也落在[-1,1]内，即可判断是否存在近轴点；(2)根据一次函数定义可知m≠0，将函数变形为y=m(x-3)，结合近轴点要求，转化为存在x∈[-1,1]时|m(x-3)|≤1成立，再根据x的取值范围推导m的取值范围即可。
【解析】
(1)根据近轴点定义，近轴点需满足x∈[-1,1]且对应y∈[-1,1]：
①对$y=-x+3$，当x∈[-1,1]时，代入得y的取值范围是[2,4]，所有y值均大于1，不存在近轴点；
②对$y=\frac{2}{x}$，当x∈[-1,0)时y≤-2，x∈(0,1]时y≥2，y的绝对值均大于1，不存在近轴点；
③对$y=x^2+2x-1$，当x=0时，y=-1，满足|x|≤1、|y|≤1，即点(0,-1)是该函数的近轴点，存在近轴点。
因此选③。
(2)
∵$y=mx-3m$是一次函数，
∴$m≠0$，函数可变形为$y=m(x-3)$。
若存在近轴点，则存在x∈[-1,1]，使得$|y|=|m(x-3)|≤1$。
当x∈[-1,1]时，$x-3∈[-4,-2]$，即$|x-3|∈[2,4]$，要使$|m|·|x-3|≤1$有解，只需$|m|$不大于$\frac{1}{|x-3|}$的最大值。
$\frac{1}{|x-3|}$在x∈[-1,1]上的最大值为$\frac{1}{2}$（x=1时取得），故$|m|≤\frac{1}{2}$，结合$m≠0$，得$-\frac{1}{2}≤ m＜0$或$0＜m≤\frac{1}{2}$。
【答案】(1)③；(2)$-\frac{1}{2}≤ m＜0$ 或 $0＜m≤\frac{1}{2}$
【知识点】新定义问题、函数的图象与性质、一次函数的定义
【点评】本题结合新定义考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，解题核心是准确转化新定义，将问题转化为函数在固定区间内的取值范围问题，侧重考查转化思想的应用。
【难度系数】0.65

9.探究函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的图象与性质.
(1)函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是 .
(2)下列四个函数图象中,函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的图象大致是().

(3)对于函数 $y=x+\frac{4}{x}$,求当 $x＞0$ 时,$y$ 的取值范围.
请将下面求解此问题的过程补充完整:
解:$\because x＞0,\therefore y=x+\frac{4}{x}=(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})^2 +4.$
由此可见,当 $x=$ 时,函数 $y=x+\frac{4}{x}$ 的最小值为 .
(4)若函数 $y=\frac{x^2 -4x +1}{x}$,当 $x＞0$ 时,求 $y$ 的取值范围.

9.(1)$x≠0$
(2)C
(3)2 4
(4)$\because y=\frac{x^2 -4x +1}{x}=x-4+\frac{1}{x}=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 -2,\therefore y≥-2.$

【分析】
(1) 求自变量取值范围时，观察函数表达式为分式形式，根据分式有意义的条件：分母不为0，即可直接得到x的取值范围；
(2) 判断函数图像可先分析x正负时y的符号：x＞0时，x和$\frac{4}{x}$均为正数，故y恒正，可排除x正半轴存在y＜0的选项；x＜0时，x和$\frac{4}{x}$均为负数，故y恒负，可排除x负半轴存在y＞0的选项，再结合对勾函数的图像特征即可选出正确答案；
(3) 配方后的式子中平方项是非负数，要让y取最小值，只需平方项为0，解方程$\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}=0$即可求出此时x的值，同时得到y的最小值；
(4) 先将函数拆分化简，转化为和(3)结构相似的形式，再用相同的配方法变形，结合平方的非负性即可求出y的取值范围。
【解析】
(1) 函数$y=x+\frac{4}{x}$的分母为x，分式有意义要求分母不为0，因此自变量x的取值范围是$x≠0$。
(2) 当$x＞0$时，$x＞0$，$\frac{4}{x}＞0$，因此$y=x+\frac{4}{x}＞0$，即x正半轴的图像全部在x轴上方，排除B、D选项；当$x＜0$时，$x＜0$，$\frac{4}{x}＜0$，因此$y=x+\frac{4}{x}＜0$，即x负半轴的图像全部在x轴下方，排除A选项，故选C。
(3) 由$y=(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})^2 +4$，根据平方的非负性可知$(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})^2≥0$，当且仅当$\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}=0$时，平方项取最小值0，此时y最小。
解方程$\sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}$，两边同乘$\sqrt{x}$（$x＞0$，$\sqrt{x}≠0$）得$x=2$，此时y的最小值为$0+4=4$。
(4) 先对函数拆分化简：
$y=\frac{x^2 -4x +1}{x}=x-4+\frac{1}{x}$
因为$x＞0$，对$x+\frac{1}{x}$配方得：
$x+\frac{1}{x}=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 +2$
代入原式得：
$y=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 +2 -4=(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 -2$
因为$(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2≥0$，因此$y≥0-2=-2$，即$x＞0$时y的取值范围是$y≥-2$。
【答案】
(1)$x≠0$
(2)C
(3)2；4
(4)$y≥-2$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法求最值；函数图像判断
【点评】
本题围绕分式型函数的性质层层递进考查，涵盖了自变量取值范围、图像识别、最值求解三类考点，其中配方法结合非负性求最值是解题的核心技巧，需要掌握分式拆分和配方的基本方法，能灵活迁移题干给出的解题思路解决同类问题。
【难度系数】
0.7