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7.某单位储备了一定数量的煤用于冬天取暖，每天所用煤的数量$y$与取暖总天数$x$满足函数解析式$y=\frac{k}{x}$.如图，其图象是一段曲线，且端点为$A(100,0.50)$和$B(m,0.25)$.
(1)求$k$，$m$的值.
(2)若取暖总天数不超过160天，则每天最少可用多少煤？
(1)求$k$，$m$的值.
(2)若取暖总天数不超过160天，则每天最少可用多少煤？
答案
7.(1)将点A,B的坐标代入解析式得$\begin{cases}0.5=\dfrac{k}{100},\\0.25=\dfrac{k}{m},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=50,\\m=200.\end{cases}$
(2)由(1)知 $y=\dfrac{50}{x}(x＞0)$,当 $x≤160$ 时,$y≥0.312\ 5$,
$\therefore$ 每天最少可用 0.312 5 t煤.
(2)由(1)知 $y=\dfrac{50}{x}(x＞0)$,当 $x≤160$ 时,$y≥0.312\ 5$,
$\therefore$ 每天最少可用 0.312 5 t煤.
解析
【分析】
（1）第一问已知函数为反比例函数$y=\frac{k}{x}$，且图象过点$A(100,0.50)$，根据待定系数法，将点$A$坐标代入解析式即可求出$k$的值；得到完整的函数解析式后，再将点$B$的纵坐标$0.25$代入解析式，即可求出$m$的值。
（2）第二问先由第一问结果得到完整的反比例函数表达式，由于$k=50＞0$，在$x＞0$区间内$y$随$x$的增大而减小，题目要求取暖总天数不超过160天即$x≤160$，因此当$x$取最大值160时，$y$取得最小值，代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 将点$A(100,0.50)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$0.5=\frac{k}{100}$，解得$k=100×0.5=50$，
因此函数解析式为$y=\frac{50}{x}$。
再将点$B(m,0.25)$代入$y=\frac{50}{x}$，得：
$0.25=\frac{50}{m}$，解得$m=\frac{50}{0.25}=200$。
(2) 由(1)知函数解析式为$y=\frac{50}{x}(x＞0)$，
因为$k=50＞0$，所以当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
已知取暖总天数不超过160天，即$x≤160$，
所以当$x=160$时，$y$取得最小值，
代入得$y=\frac{50}{160}=0.3125$。
【答案】
(1) $\begin{cases}k=50\\m=200\end{cases}$
(2) 每天最少可用$0.3125\ \mathrm{t}$煤。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的应用，核心是掌握待定系数法求解析式的方法，以及利用反比例函数的单调性求解最值，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
（1）第一问已知函数为反比例函数$y=\frac{k}{x}$，且图象过点$A(100,0.50)$，根据待定系数法，将点$A$坐标代入解析式即可求出$k$的值；得到完整的函数解析式后，再将点$B$的纵坐标$0.25$代入解析式，即可求出$m$的值。
（2）第二问先由第一问结果得到完整的反比例函数表达式，由于$k=50＞0$，在$x＞0$区间内$y$随$x$的增大而减小，题目要求取暖总天数不超过160天即$x≤160$，因此当$x$取最大值160时，$y$取得最小值，代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 将点$A(100,0.50)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$0.5=\frac{k}{100}$，解得$k=100×0.5=50$，
因此函数解析式为$y=\frac{50}{x}$。
再将点$B(m,0.25)$代入$y=\frac{50}{x}$，得：
$0.25=\frac{50}{m}$，解得$m=\frac{50}{0.25}=200$。
(2) 由(1)知函数解析式为$y=\frac{50}{x}(x＞0)$，
因为$k=50＞0$，所以当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
已知取暖总天数不超过160天，即$x≤160$，
所以当$x=160$时，$y$取得最小值，
代入得$y=\frac{50}{160}=0.3125$。
【答案】
(1) $\begin{cases}k=50\\m=200\end{cases}$
(2) 每天最少可用$0.3125\ \mathrm{t}$煤。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的应用，核心是掌握待定系数法求解析式的方法，以及利用反比例函数的单调性求解最值，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
8.某科考小组进行野外考察，途中遇到一片较宽的烂泥地.为了安全又迅速地通过这一地段，他们沿着前进路线铺设木板，构筑一条临时通道.木板对地面的压强p(单位:Pa)与木板的面积S(单位:m²)之间是反比例函数关系，图象如图所示.
(1)求这个函数的解析式.
(2)如果要求压强不超过600 Pa，木板的面积S至少要多大？
(1)求这个函数的解析式.
(2)如果要求压强不超过600 Pa，木板的面积S至少要多大？
答案
8.(1)设函数的解析式为 $p=\dfrac{k}{S}$，
由图象可知 $S=1.5$ 时 $p=400$,$\therefore400=\dfrac{k}{1.5}$,解得 $k=600$,
$\therefore$ 函数的解析式为 $p=\dfrac{600}{S}$.
(2)$p≤600$ 时 $S≥1$,故木板的面积至少要 $1\ \mathrm{m}^2$.
由图象可知 $S=1.5$ 时 $p=400$,$\therefore400=\dfrac{k}{1.5}$,解得 $k=600$,
$\therefore$ 函数的解析式为 $p=\dfrac{600}{S}$.
(2)$p≤600$ 时 $S≥1$,故木板的面积至少要 $1\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 题目明确压强$p$与木板面积$S$是反比例函数关系，可先设反比例函数的一般形式为$p=\frac{k}{S}$（$k≠0$，$S＞0$）；已知函数图象过点$(1.5,400)$，将该点坐标代入解析式即可求出常数$k$，进而得到函数解析式。
(2) 要求压强不超过600Pa，即$p≤600$，将已求出的函数解析式代入该不等式，结合$S$为面积必须为正的实际意义解不等式，即可得到$S$的取值范围，从而确定$S$的最小值。
【解析】
(1) 设压强$p$与面积$S$的反比例函数解析式为$p=\dfrac{k}{S}$（$k≠0$，$S＞0$）。
由图象可知，当$S=1.5\ \mathrm{m}^2$时，$p=400\ \mathrm{Pa}$，代入解析式得：
$400=\dfrac{k}{1.5}$
解得$k=400×1.5=600$，因此函数的解析式为$p=\dfrac{600}{S}$（$S＞0$）。
(2) 已知压强不超过600Pa，即$p≤600$，代入解析式得：
$\dfrac{600}{S}≤600$
因为木板面积$S＞0$，不等式两边同时乘$S$，不等号方向不变，可得$600≤600S$，两边同时除以600解得$S≥1$。
因此木板的面积至少要$1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $p=\dfrac{600}{S}$（$S＞0$）；(2) $1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数实际应用
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题核心是先利用待定系数法确定函数解析式，再结合不等式解决实际限制条件下的取值问题，需要注意自变量的实际意义，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确压强$p$与木板面积$S$是反比例函数关系，可先设反比例函数的一般形式为$p=\frac{k}{S}$（$k≠0$，$S＞0$）；已知函数图象过点$(1.5,400)$，将该点坐标代入解析式即可求出常数$k$，进而得到函数解析式。
(2) 要求压强不超过600Pa，即$p≤600$，将已求出的函数解析式代入该不等式，结合$S$为面积必须为正的实际意义解不等式，即可得到$S$的取值范围，从而确定$S$的最小值。
【解析】
(1) 设压强$p$与面积$S$的反比例函数解析式为$p=\dfrac{k}{S}$（$k≠0$，$S＞0$）。
由图象可知，当$S=1.5\ \mathrm{m}^2$时，$p=400\ \mathrm{Pa}$，代入解析式得：
$400=\dfrac{k}{1.5}$
解得$k=400×1.5=600$，因此函数的解析式为$p=\dfrac{600}{S}$（$S＞0$）。
(2) 已知压强不超过600Pa，即$p≤600$，代入解析式得：
$\dfrac{600}{S}≤600$
因为木板面积$S＞0$，不等式两边同时乘$S$，不等号方向不变，可得$600≤600S$，两边同时除以600解得$S≥1$。
因此木板的面积至少要$1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $p=\dfrac{600}{S}$（$S＞0$）；(2) $1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数实际应用
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题核心是先利用待定系数法确定函数解析式，再结合不等式解决实际限制条件下的取值问题，需要注意自变量的实际意义，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
9.某市政工程需要运送总量为$10^6\ \mathrm{m}^3$的土石方，某运输公司承担了该项任务.
(1)写出该公司的平均运送速度$v$(单位:$\mathrm{m}^3$/天)与完成运送所需时间$t$(单位:天)之间的函数解析式.
(2)该公司有100辆卡车，每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，完成全部运送任务需要多少天？
(3)当公司以(2)中的速度工作了40天后，由于工期变更，剩下的所有运送任务需要在50天内完成，公司至少应增加多少辆相同的卡车？
(1)写出该公司的平均运送速度$v$(单位:$\mathrm{m}^3$/天)与完成运送所需时间$t$(单位:天)之间的函数解析式.
(2)该公司有100辆卡车，每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，完成全部运送任务需要多少天？
(3)当公司以(2)中的速度工作了40天后，由于工期变更，剩下的所有运送任务需要在50天内完成，公司至少应增加多少辆相同的卡车？
答案
9.(1)$v=\dfrac{10^6}{t}$.
(2)当 $v=10^4$ 时,$t=100$,故完成全部运送任务需要 100 天.
(3)剩余土石方$=10^6-40×10^4=6×10^5(\mathrm{m}^3)$，
所需运送速度$=\dfrac{6×10^5}{50}=1.2×10^4(\mathrm{m}^3/$天)，
应增加卡车数$=\dfrac{1.2×10^4-10^4}{10^4}×100=20$(辆).
(2)当 $v=10^4$ 时,$t=100$,故完成全部运送任务需要 100 天.
(3)剩余土石方$=10^6-40×10^4=6×10^5(\mathrm{m}^3)$，
所需运送速度$=\dfrac{6×10^5}{50}=1.2×10^4(\mathrm{m}^3/$天)，
应增加卡车数$=\dfrac{1.2×10^4-10^4}{10^4}×100=20$(辆).
解析
【分析】
本题围绕工程运输场景考查反比例函数及工程问题的计算，解题思路如下：
(1) 工程问题中，“运送总量=平均运送速度×运送时间”，已知总量为定值$10^6\ \mathrm{m}^3$，因此v和t成反比例关系，将等量关系变形即可得到v关于t的函数解析式；
(2) 已知每天的运送速度$v=10^4\ \mathrm{m}^3/$天，代入(1)中的函数解析式，即可求出对应的运送时间t；
(3) 先计算出工作40天后剩余的土石方量，再根据剩余工期求出需要达到的日均运送速度，对比原日均运送速度算出需要额外增加的运送能力，结合100辆卡车对应$10^4\ \mathrm{m}^3/$天的运送效率，即可求出需要增加的卡车数量。
【解析】
(1) 由“运送总量 = 平均运送速度×运送时间”可得：$v· t=10^6$，
变形得v与t的函数解析式为：$v=\dfrac{10^6}{t}$（$t＞0$）；
(2) 已知每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，即$v=10^4$，代入解析式得：
$t=\dfrac{10^6}{v}=\dfrac{10^6}{10^4}=100$（天）；
(3) 首先计算工作40天后剩余的土石方量：
剩余土石方量$=10^6 - 40×10^4=6×10^5\ (\mathrm{m}^3)$，
若要50天运完，所需日均运送速度为：
$v'=\dfrac{6×10^5}{50}=1.2×10^4\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{天})$，
已知100辆卡车日均运$10^4\ \mathrm{m}^3$，因此需要增加的卡车数量为：
$\dfrac{1.2×10^4 - 10^4}{10^4}×100=20$（辆）。
【答案】
(1)$v=\dfrac{10^6}{t}$；
(2)完成全部运送任务需要100天；
(3)公司至少应增加20辆相同的卡车。
【知识点】
反比例函数应用；工程问题计算；一元一次方程应用
【点评】
本题结合实际运输场景考查数学知识的应用，核心是抓住工程问题中“总量=效率×时间”的基本等量关系，前两问侧重反比例函数的基础应用，第三问需要分步梳理数量关系，整体注重对基础知识和逻辑推理能力的考查，是典型的函数实际应用类基础题。
【难度系数】
0.8
本题围绕工程运输场景考查反比例函数及工程问题的计算，解题思路如下：
(1) 工程问题中，“运送总量=平均运送速度×运送时间”，已知总量为定值$10^6\ \mathrm{m}^3$，因此v和t成反比例关系，将等量关系变形即可得到v关于t的函数解析式；
(2) 已知每天的运送速度$v=10^4\ \mathrm{m}^3/$天，代入(1)中的函数解析式，即可求出对应的运送时间t；
(3) 先计算出工作40天后剩余的土石方量，再根据剩余工期求出需要达到的日均运送速度，对比原日均运送速度算出需要额外增加的运送能力，结合100辆卡车对应$10^4\ \mathrm{m}^3/$天的运送效率，即可求出需要增加的卡车数量。
【解析】
(1) 由“运送总量 = 平均运送速度×运送时间”可得：$v· t=10^6$，
变形得v与t的函数解析式为：$v=\dfrac{10^6}{t}$（$t＞0$）；
(2) 已知每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，即$v=10^4$，代入解析式得：
$t=\dfrac{10^6}{v}=\dfrac{10^6}{10^4}=100$（天）；
(3) 首先计算工作40天后剩余的土石方量：
剩余土石方量$=10^6 - 40×10^4=6×10^5\ (\mathrm{m}^3)$，
若要50天运完，所需日均运送速度为：
$v'=\dfrac{6×10^5}{50}=1.2×10^4\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{天})$，
已知100辆卡车日均运$10^4\ \mathrm{m}^3$，因此需要增加的卡车数量为：
$\dfrac{1.2×10^4 - 10^4}{10^4}×100=20$（辆）。
【答案】
(1)$v=\dfrac{10^6}{t}$；
(2)完成全部运送任务需要100天；
(3)公司至少应增加20辆相同的卡车。
【知识点】
反比例函数应用；工程问题计算；一元一次方程应用
【点评】
本题结合实际运输场景考查数学知识的应用，核心是抓住工程问题中“总量=效率×时间”的基本等量关系，前两问侧重反比例函数的基础应用，第三问需要分步梳理数量关系，整体注重对基础知识和逻辑推理能力的考查，是典型的函数实际应用类基础题。
【难度系数】
0.8
