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7.某单位储备了一定数量的煤用于冬天取暖，每天所用煤的数量$y$与取暖总天数$x$满足函数解析式$y=\frac{k}{x}$.如图，其图象是一段曲线，且端点为$A(100,0.50)$和$B(m,0.25)$.
(1)求$k$，$m$的值.
(2)若取暖总天数不超过160天，则每天最少可用多少煤？
(1)求$k$，$m$的值.
(2)若取暖总天数不超过160天，则每天最少可用多少煤？
答案
7.(1)将点A,B的坐标代入解析式得$\begin{cases}0.5=\dfrac{k}{100},\\0.25=\dfrac{k}{m},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=50,\\m=200.\end{cases}$
(2)由(1)知 $y=\dfrac{50}{x}(x＞0)$,当 $x≤160$ 时,$y≥0.312\ 5$,
$\therefore$ 每天最少可用 0.312 5 t煤.
(2)由(1)知 $y=\dfrac{50}{x}(x＞0)$,当 $x≤160$ 时,$y≥0.312\ 5$,
$\therefore$ 每天最少可用 0.312 5 t煤.
解析
【分析】
(1) 已知y与x满足反比例函数关系$y=\frac{k}{x}$，可通过待定系数法求解参数：先将已知点A的坐标代入解析式，即可算出k的值；再将k值和点B的纵坐标代入解析式，就能求出m的值。
(2) 要求总天数不超过160天时的最少用煤量，先结合(1)得到完整的函数解析式，根据反比例函数$k＞0$时，$x＞0$范围内y随x增大而减小的性质，可知x取最大值160时y取得最小值，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 将点$A(100,0.50)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$0.5=\frac{k}{100}$，解得$k=100×0.5=50$
∴函数解析式为$y=\frac{50}{x}$
将点$B(m,0.25)$代入$y=\frac{50}{x}$，得：
$0.25=\frac{50}{m}$，解得$m=\frac{50}{0.25}=200$
(2) 由(1)知函数解析式为$y=\frac{50}{x}(x＞0)$
∵$k=50＞0$，
∴当$x＞0$时，y随x的增大而减小
已知取暖总天数不超过160天，即$x≤160$
∴当$x=160$时，y取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=\frac{50}{160}=0.3125$
【答案】
(1) $\begin{cases}k=50\\m=200\end{cases}$
(2) 每天最少可用0.3125 t煤。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题核心是先利用已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解最值，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
(1) 已知y与x满足反比例函数关系$y=\frac{k}{x}$，可通过待定系数法求解参数：先将已知点A的坐标代入解析式，即可算出k的值；再将k值和点B的纵坐标代入解析式，就能求出m的值。
(2) 要求总天数不超过160天时的最少用煤量，先结合(1)得到完整的函数解析式，根据反比例函数$k＞0$时，$x＞0$范围内y随x增大而减小的性质，可知x取最大值160时y取得最小值，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 将点$A(100,0.50)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$0.5=\frac{k}{100}$，解得$k=100×0.5=50$
∴函数解析式为$y=\frac{50}{x}$
将点$B(m,0.25)$代入$y=\frac{50}{x}$，得：
$0.25=\frac{50}{m}$，解得$m=\frac{50}{0.25}=200$
(2) 由(1)知函数解析式为$y=\frac{50}{x}(x＞0)$
∵$k=50＞0$，
∴当$x＞0$时，y随x的增大而减小
已知取暖总天数不超过160天，即$x≤160$
∴当$x=160$时，y取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=\frac{50}{160}=0.3125$
【答案】
(1) $\begin{cases}k=50\\m=200\end{cases}$
(2) 每天最少可用0.3125 t煤。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题核心是先利用已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解最值，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
8.某科考小组进行野外考察，途中遇到一片较宽的烂泥地.为了安全又迅速地通过这一地段，他们沿着前进路线铺设木板，构筑一条临时通道.木板对地面的压强p(单位:Pa)与木板的面积S(单位:m²)之间是反比例函数关系，图象如图所示.
(1)求这个函数的解析式.
(2)如果要求压强不超过600 Pa，木板的面积S至少要多大？
(1)求这个函数的解析式.
(2)如果要求压强不超过600 Pa，木板的面积S至少要多大？
答案
8.(1)设函数的解析式为 $p=\dfrac{k}{S}$，
由图象可知 $S=1.5$ 时 $p=400$,$\therefore400=\dfrac{k}{1.5}$,解得 $k=600$,
$\therefore$ 函数的解析式为 $p=\dfrac{600}{S}$.
(2)$p≤600$ 时 $S≥1$,故木板的面积至少要 $1\ \mathrm{m}^2$.
由图象可知 $S=1.5$ 时 $p=400$,$\therefore400=\dfrac{k}{1.5}$,解得 $k=600$,
$\therefore$ 函数的解析式为 $p=\dfrac{600}{S}$.
(2)$p≤600$ 时 $S≥1$,故木板的面积至少要 $1\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 题目已说明压强p和木板面积S是反比例函数关系，首先回忆反比例函数的一般形式为$p=\dfrac{k}{S}$（$k≠0$，$S＞0$），要求解析式只需求出常数k即可。观察图象可得函数过点$(1.5,400)$，将该点坐标代入所设解析式就能计算出k，进而得到函数解析式。
(2) 压强不超过600 Pa即$p≤600$，将第一问求出的解析式代入该不等式，结合面积S为正数的隐含条件求解不等式，得到的S的最小值就是所需的最小木板面积。
【解析】
(1) 设压强p与面积S的反比例函数解析式为 $p=\dfrac{k}{S}$（$k≠0$，$S＞0$），
由图象可知，当$S=1.5\ \mathrm{m}^2$时，$p=400\ \mathrm{Pa}$，将其代入解析式得：
$400=\dfrac{k}{1.5}$
解得 $k=400×1.5=600$，
因此函数的解析式为 $p=\dfrac{600}{S}$（$S＞0$）。
(2) 根据题意压强不超过600 Pa，即 $p≤600$，
将$p=\dfrac{600}{S}$代入不等式得：$\dfrac{600}{S}≤600$，
因为木板面积$S＞0$，不等式两边同时乘S不等号方向不变，得$600≤600S$，
两边同时除以600得：$S≥1$，
因此木板的面积至少要$1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $p=\dfrac{600}{S}$（$S＞0$）；
(2) $1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
待定系数法，反比例函数应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是先通过图象给出的已知点确定函数解析式，再结合解析式处理实际限制条件下的问题，侧重对基础知识点的灵活运用，贴近生活，容易理解。
【难度系数】
0.8
(1) 题目已说明压强p和木板面积S是反比例函数关系，首先回忆反比例函数的一般形式为$p=\dfrac{k}{S}$（$k≠0$，$S＞0$），要求解析式只需求出常数k即可。观察图象可得函数过点$(1.5,400)$，将该点坐标代入所设解析式就能计算出k，进而得到函数解析式。
(2) 压强不超过600 Pa即$p≤600$，将第一问求出的解析式代入该不等式，结合面积S为正数的隐含条件求解不等式，得到的S的最小值就是所需的最小木板面积。
【解析】
(1) 设压强p与面积S的反比例函数解析式为 $p=\dfrac{k}{S}$（$k≠0$，$S＞0$），
由图象可知，当$S=1.5\ \mathrm{m}^2$时，$p=400\ \mathrm{Pa}$，将其代入解析式得：
$400=\dfrac{k}{1.5}$
解得 $k=400×1.5=600$，
因此函数的解析式为 $p=\dfrac{600}{S}$（$S＞0$）。
(2) 根据题意压强不超过600 Pa，即 $p≤600$，
将$p=\dfrac{600}{S}$代入不等式得：$\dfrac{600}{S}≤600$，
因为木板面积$S＞0$，不等式两边同时乘S不等号方向不变，得$600≤600S$，
两边同时除以600得：$S≥1$，
因此木板的面积至少要$1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $p=\dfrac{600}{S}$（$S＞0$）；
(2) $1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
待定系数法，反比例函数应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是先通过图象给出的已知点确定函数解析式，再结合解析式处理实际限制条件下的问题，侧重对基础知识点的灵活运用，贴近生活，容易理解。
【难度系数】
0.8
9.某市政工程需要运送总量为$10^6\ \mathrm{m}^3$的土石方，某运输公司承担了该项任务.
(1)写出该公司的平均运送速度$v$(单位:$\mathrm{m}^3$/天)与完成运送所需时间$t$(单位:天)之间的函数解析式.
(2)该公司有100辆卡车，每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，完成全部运送任务需要多少天？
(3)当公司以(2)中的速度工作了40天后，由于工期变更，剩下的所有运送任务需要在50天内完成，公司至少应增加多少辆相同的卡车？
(1)写出该公司的平均运送速度$v$(单位:$\mathrm{m}^3$/天)与完成运送所需时间$t$(单位:天)之间的函数解析式.
(2)该公司有100辆卡车，每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，完成全部运送任务需要多少天？
(3)当公司以(2)中的速度工作了40天后，由于工期变更，剩下的所有运送任务需要在50天内完成，公司至少应增加多少辆相同的卡车？
答案
9.(1)$v=\dfrac{10^6}{t}$.
(2)当 $v=10^4$ 时,$t=100$,故完成全部运送任务需要 100 天.
(3)剩余土石方$=10^6-40×10^4=6×10^5(\mathrm{m}^3)$，
所需运送速度$=\dfrac{6×10^5}{50}=1.2×10^4(\mathrm{m}^3/$天)，
应增加卡车数$=\dfrac{1.2×10^4-10^4}{10^4}×100=20$(辆).
(2)当 $v=10^4$ 时,$t=100$,故完成全部运送任务需要 100 天.
(3)剩余土石方$=10^6-40×10^4=6×10^5(\mathrm{m}^3)$，
所需运送速度$=\dfrac{6×10^5}{50}=1.2×10^4(\mathrm{m}^3/$天)，
应增加卡车数$=\dfrac{1.2×10^4-10^4}{10^4}×100=20$(辆).
解析
【分析】
本题是结合工程场景的函数应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：明确运送土石方的总量固定，根据“工作总量=平均运送速度×运送时间”的等量关系，即可推导出v和t的函数关系，注意实际问题中时间t需大于0。
2. 第(2)问：已知每天的运送速度也就是v的值，将其代入第(1)问得到的函数解析式，即可直接求解所需时间t。
3. 第(3)问：首先计算前40天完成的运送量，用总量减去已运送量得到剩余土石方量；再根据剩余的50天工期，计算出需要达到的日均运送速度；最后结合现有卡车的日均运力，算出需要新增的卡车数量，刚好完成剩余任务时新增的卡车数就是最小值。
【解析】
(1) 由题意得，运送总量为$10^6\ \mathrm{m}^3$，根据“总量=速度×时间”可得：$v· t=10^6$，整理得函数解析式为$v=\dfrac{10^6}{t}$（$t＞0$）。
(2) 已知每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，即$v=10^4$，将其代入$v=\dfrac{10^6}{t}$得：
$t=\dfrac{10^6}{10^4}=100$，即完成全部运送任务需要100天。
(3) 前40天的运送总量为：$40×10^4=4×10^5\ \mathrm{m}^3$
剩余土石方量为：$10^6 - 4×10^5=6×10^5\ \mathrm{m}^3$
若要50天运完剩余土石方，日均需要运送的量为：$\dfrac{6×10^5}{50}=1.2×10^4\ \mathrm{m}^3/$天
100辆卡车日均运$10^4\ \mathrm{m}^3$，则每辆卡车日均运送量为$\dfrac{10^4}{100}=100\ \mathrm{m}^3$
需要新增的卡车数量为：$\dfrac{1.2×10^4 - 10^4}{100}=20$辆
【答案】
(1)$v=\dfrac{10^6}{t}$（$t＞0$）；
(2)完成全部运送任务需要100天；
(3)公司至少应增加20辆相同的卡车。
【知识点】
反比例函数的实际应用、工程问题计算、有理数运算
【点评】
本题结合市政工程的实际场景，考查对反比例函数基本关系的掌握，以及工程问题中“总量、效率、时间”三者数量关系的应用，计算过程涉及科学计数法的运算，需细心避免计算失误，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
本题是结合工程场景的函数应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：明确运送土石方的总量固定，根据“工作总量=平均运送速度×运送时间”的等量关系，即可推导出v和t的函数关系，注意实际问题中时间t需大于0。
2. 第(2)问：已知每天的运送速度也就是v的值，将其代入第(1)问得到的函数解析式，即可直接求解所需时间t。
3. 第(3)问：首先计算前40天完成的运送量，用总量减去已运送量得到剩余土石方量；再根据剩余的50天工期，计算出需要达到的日均运送速度；最后结合现有卡车的日均运力，算出需要新增的卡车数量，刚好完成剩余任务时新增的卡车数就是最小值。
【解析】
(1) 由题意得，运送总量为$10^6\ \mathrm{m}^3$，根据“总量=速度×时间”可得：$v· t=10^6$，整理得函数解析式为$v=\dfrac{10^6}{t}$（$t＞0$）。
(2) 已知每天可运送土石方$10^4\ \mathrm{m}^3$，即$v=10^4$，将其代入$v=\dfrac{10^6}{t}$得：
$t=\dfrac{10^6}{10^4}=100$，即完成全部运送任务需要100天。
(3) 前40天的运送总量为：$40×10^4=4×10^5\ \mathrm{m}^3$
剩余土石方量为：$10^6 - 4×10^5=6×10^5\ \mathrm{m}^3$
若要50天运完剩余土石方，日均需要运送的量为：$\dfrac{6×10^5}{50}=1.2×10^4\ \mathrm{m}^3/$天
100辆卡车日均运$10^4\ \mathrm{m}^3$，则每辆卡车日均运送量为$\dfrac{10^4}{100}=100\ \mathrm{m}^3$
需要新增的卡车数量为：$\dfrac{1.2×10^4 - 10^4}{100}=20$辆
【答案】
(1)$v=\dfrac{10^6}{t}$（$t＞0$）；
(2)完成全部运送任务需要100天；
(3)公司至少应增加20辆相同的卡车。
【知识点】
反比例函数的实际应用、工程问题计算、有理数运算
【点评】
本题结合市政工程的实际场景，考查对反比例函数基本关系的掌握，以及工程问题中“总量、效率、时间”三者数量关系的应用，计算过程涉及科学计数法的运算，需细心避免计算失误，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
