1. [2025·深圳月考]先化简,再求值:$\frac{1}{2}xy^2 - 2×[\frac{1}{4}x^2y - (x^2y - xy^2)]$,其中$x=2,y=-\frac{1}{2}.$

原式$=\frac{1}{2}xy^2 - 2×(\frac{1}{4}x^2y - x^2y + xy^2)$
$=\frac{1}{2}xy^2 - 2×(-\frac{3}{4}x^2y + xy^2)$
$=\frac{1}{2}xy^2 + \frac{3}{2}x^2y - 2xy^2 = \frac{3}{2}x^2y - \frac{3}{2}xy^2.$
因为$x=2,y=-\frac{1}{2},$
所以原式 $= \frac{3}{2} x^2 y - \frac{3}{2} xy^2 = \frac{3}{2} × 2^2 × (-\frac{1}{2})-\frac{3}{2}×2×(-\frac{1}{2})^2=-3-\frac{3}{4}=-3\frac{3}{4}.$

2. 先化简,再求值:$5x + 3(3y^2 - 2x) - 2(2x - y^2)$,其中$|x - 2| + (y + 1)^2 = 0$.

$5x+3(3y^2 - 2x)-2(2x - y^2)=5x+9y^2-6x-4x+2y^2=11y^2-5x.$
因为$|x-2|+(y+1)^2=0$,所以$x-2=0,y+1=0$,
解得$x=2,y=-1$,所以原式$=11×(-1)^2 -5×2=11-10=1.$

3. [2025·东营月考]已知多项式$-3x^{2}y^{m+1}+x^{3}y -3x^{4}-1$是五次四项式，且单项式$3x^{2n}y^{3-m}$的次数与该多项式的次数相同.
(1)求$m,n$的值；
(2)当$x=-1,y=1$时，求该多项式的值.

(1)因为$-3x^{2}y^{m+1}+x^{3}y -3x^{4}-1$是五次四项式，所以$m+1+2=5$,所以$m=2.$
因为单项式$3x^{2n}y^{3-m}$的次数与该多项式的次数相同,所以$2n+3-m=5$,即$2n+3-2=5$,所以$n=2.$
(2)由(1)可知,该多项式为$-3x^4 +x^3y -3x^2y^3 -1.$
当$x=-1,y=1$时,原式$=-3×(-1)^4 + (-1)^3×1 -3×(-1)^2×1^3 -1 = -3-1-3-1=-8.$

4. 已知$x+4y=-1,xy=-5$,求$(6xy+7y)+[9x-(5xy-y+7x)]$的值.

原式$=6xy+7y+9x-5xy+y-7x=xy+8y+2x=xy+2(4y+x).$
因为$x+4y=-1,xy=-5,$
所以原式$=-5+2×(-1)=-7.$

5. 已知 $ x = y + 3 $，求代数式 $ \frac{1}{4}(x - y)^2 - 0.3(x - y) + 0.75(x - y)^2 + \frac{3}{10}(x - y) - 2(x - y) + 7 $ 的值。

因为$x=y+3$,所以$x-y=3$,
所以$\frac{1}{4}(x-y)^2 -0.3(x-y)+0.75(x-y)^2 + \frac{3}{10}(x-y)-2(x-y)+7 = \frac{1}{4}(x-y)^2 +0.75(x-y)^2 +[-0.3(x-y)+\frac{3}{10}(x-y)-2(x-y)] +7=(x-y)^2 -2(x-y)+7$
$=3^2 -2×3 +7=10.$

6. 已知$(2x+3)^4 = a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_4$，求下列各式的值：
(1)$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4$；
(2)$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4$；
(3)$a_0 + a_2 + a_4$。

(1)将$x=1$代入$(2x+3)^4 = a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_4$,得$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=(2+3)^4=625.$
(2)将$x=-1$代入$(2x+3)^4 = a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_4$,得$a_0 -a_1 +a_2 -a_3 +a_4=(-2+3)^4=1.$
(3)因为$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)+(a_0 -a_1 +a_2 -a_3 +a_4)=2(a_0+a_2+a_4)$,所以$625+1=2(a_0+a_2+a_4)$,所以$a_0+a_2+a_4=313.$
点方法 观察本题各式的特点可以发现,通过赋予x特殊值即可求出式子的值.