11. 新趋势 学科内综合 如图是正方体纸盒的表面展开图，纸面上写有数字和字母，其中a与其对面的数互为相反数，b与其对面的数互为倒数.
(1)填空：$a=$，$b=$；
(2)先化简，再求值：$-3(ab - a^2)-[2b^2-(5ab - a^2)+2ab]$.

11.【解】(1)$1$；$-\frac{1}{3}$
(2)$-3(ab - a^2)-[2b^2-(5ab - a^2)+2ab]=-3ab+3a^2-(2b^2-5ab+a^2+2ab)=-3ab+3a^2-2b^2+5ab-a^2-2ab=(-3ab+5ab-2ab)+(3a^2-a^2)-2b^2=2a^2-2b^2$.因为$a=1,b=-\frac{1}{3}$,所以原式$=2×1^2-2×(-\frac{1}{3})^2=2-\frac{2}{9}=\frac{16}{9}$.

12. 新情境 生活应用 某电商平台需要定制一种上盖为双层的长方体外包装纸箱(如图①)，上盖纸板面积等于底面面积的2倍，并且每个外包装纸箱刚好能装入两个同样大小的小包装盒(如图②)，设装入时不留空隙，且纸箱厚度忽略不计.已知每个小包装盒的长、宽、高分别为$a,b,c$，且$a=c,b＜a$.现有如图②所示的甲、乙两种放入纸箱的摆放方式.

(1)分别计算甲、乙两种摆放方式所需外包装纸箱的纸板面积;(用含$a,b$的代数式表示)
(2)当$a=20\ \mathrm{cm},b=12\ \mathrm{cm}$时,问电商平台选择哪种摆放方式,所需纸箱的纸板面积较少？

12.【解】(1)因为$a=c$,所以
甲种摆放方式所需外包装纸箱的纸板面积为
$2ac+2×2bc+3×2ab=2ac+4bc+6ab=2a^2+10ab$,
乙种摆放方式所需外包装纸箱的纸板面积为
$2×2ac+2bc+3×2ab=4ac+2bc+6ab=4a^2+8ab$.
(2)当$a=20\ \mathrm{cm},b=12\ \mathrm{cm}$时,甲种摆放方式所需纸板面积为$2×20^2+10×20×12=3\ 200(\mathrm{cm}^2)$,乙种摆放方式所需纸板面积为$4×20^2+8×20×12=3\ 520(\mathrm{cm}^2)$.
因为$3\ 200＜3\ 520$,
所以甲种摆放方式所需纸箱的纸板面积较少.

13. 2025·常德期末 新视角·新定义题 给定有理数$a,b$,对整式$A,B$,定义新运算“⊕”:$A⊕B=aA+bB$;对正整数$n(n≥2)$和整式$A$,定义新运算“⊗”:$n⊗A=\underbrace{A⊕A⊕\dots⊕A}_{n个A}$(按从左到右的顺序依次做“⊕”运算).特别地,$1⊗A=A$.例如,当$a=1,b=2$时,若$A=x,B=-y$,则$A⊕B=A+2B=x-2y,2⊗A=A⊕A=3x$.
(1)当$a=2,b=1$时,若$A=x+y,B=x-2y$,则
①$A⊕B=$,$2⊗A=$;
②$n⊗A=$;
(2)当$a=2,b=1$时,若$A=2x^2−y,B=x^2+18y$,$P=n⊗A$,$Q=3⊗B$,且$P⊕Q$的值与$y$的取值无关,求整数$n$的值.

13.【解】(1)①$3x$;$3x+3y$
②$(2^n -1)(x+y)$ 【点拨】因为 $A⊕B=aA+bB$,$n⊗A=\underbrace{A⊕A⊕\dots⊕A}_{n个A}$,
所以当 $a=2,b=1,A=x+y$ 时,$n⊗A=\underbrace{A⊕A⊕\dots⊕A}_{n个A}$

$=(2A+A)⊕\underbrace{A⊕A⊕\dots⊕A}_{(n-2)个A}$
$=3A⊕\underbrace{A⊕A⊕\dots⊕A}_{(n-2)个A}$
$=(2×3A+A)⊕\underbrace{A⊕A⊕\dots⊕A}_{(n-3)个A}$
$=7A⊕\underbrace{A⊕A⊕\dots⊕A}_{(n-3)个A}$
$=(2×7A+A)⊕\underbrace{A⊕A⊕\dots⊕A}_{(n-4)个A}$
$=15A⊕\underbrace{A⊕A⊕\dots⊕A}_{(n-4)个A}$
$=(2^n -1)A$
$=(2^n -1)(x+y)$.
(2)由(1)②知 $P=n⊗A=(2^n -1)A$,$Q=3⊗B=(2^3 -1)B=7B$.
因为 $A=2x^2 - y$,$B=x^2 + 18y$,
所以 $P⊕Q=2P+Q$
$=2(2^n -1)A+7B$
$=(2^{n+1}-2)A+7B$
$=(2^{n+1}-2)(2x^2 - y)+7(x^2 + 18y)$
$=(2^{n+2}+3)x^2+(128-2^{n+1})y$.
因为 $P⊕Q$ 的值与 $y$ 的取值无关,所以 $128-2^{n+1}=0$,所以 $n=6$.