1. 现有下列说法：① 所有的直角三角形都相似；② 所有的等腰直角三角形都相似；③ 有一个锐角相等的直角三角形相似；④ 有两边对应成比例的两个三角形相似.其中正确的有().

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

【分析】
解题时首先回忆相似三角形的判定定理：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似。接下来逐一验证4个说法是否符合判定定理，统计正确说法的个数即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法的正误：
1. 说法①：直角三角形只有直角对应相等，另外两个锐角不一定对应相等，例如内角为30°、60°、90°的直角三角形和内角为45°、45°、90°的直角三角形不相似，故①错误。
2. 说法②：所有等腰直角三角形的三个内角都是90°、45°、45°，满足两角分别对应相等的相似判定条件，因此所有等腰直角三角形都相似，故②正确。
3. 说法③：直角三角形的直角恒为90°，若再有一个锐角相等，则两个三角形有两组角对应相等，符合两角对应相等的相似判定规则，故③正确。
4. 说法④：仅两边对应成比例、缺少“夹角相等”的条件时，两个三角形不一定相似，例如两边为2、3且夹角为30°的三角形，和两边为4、6且夹角为60°的三角形，两边成比例但不相似，故④错误。
综上，正确的说法是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定的基础应用，解题的关键是准确掌握相似判定定理的完整条件，不要遗漏前提要求，避免对概念的模糊理解导致判断错误。
【难度系数】
0.7

2. “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》（注：里为当时的长度单位）。意思是说：如图，矩形城池ABCD东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG ⊥ AB，FH ⊥ AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=().

A.1.2里
B.1.5里
C.1.05里
D.1.02里

C

【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：矩形城池ABCD，AB=9里、AD=7里，E、F分别是AB、AD中点，EG⊥AB、FH⊥AD，HG过A点，要求FH的长度。首先观察到图中有两个直角三角形△AEG和△HFA，先利用平行线的性质找相等的角证明两三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥AD
∵EG⊥AB，FH⊥AD
∴∠GEA=∠AFH=90°，且EG//AD
∴∠G=∠FAH
∴△AEG∽△HFA（两角分别相等的两个三角形相似）
∵E是AB中点，AB=9里，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=4.5$里
∵F是AD中点，AD=7里，
∴$AF=\frac{1}{2}AD=3.5$里
已知EG=15里，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{EG}{AF}=\frac{AE}{FH}$
代入数值：$\frac{15}{3.5}=\frac{4.5}{FH}$
解得：$FH=\frac{4.5×3.5}{15}=1.05$里
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，矩形的性质
【点评】
本题结合古代数学问题考查相似三角形的实际应用，解题核心是准确识别相似三角形，正确对应边列出比例式计算，引导学生学会用数学知识解决实际问题。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$∠ ACB=∠ ADC=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$.要使$△ ABC ∽ △ CAD$，则$CD=(\quad)$.

A.$\dfrac{b^2}{c}$
B.$\dfrac{b^2}{a}$
C.$\dfrac{ab}{c}$
D.$\dfrac{a^2}{c}$

A

【分析】
要解决这道题，首先明确题目给出△ABC∽△CAD，相似符号的字母顺序对应着两个三角形的对应顶点，由此可以确定对应边的比例关系。我们已知两个三角形的多组边长，只要将已知边长代入对应边的比例式，通过比例的基本性质就能求出CD的长度。
【解析】
∵ △ABC ∽ △CAD，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}$
已知$AB=c$，$AC=b$，将其代入上式：
$\frac{c}{b}=\frac{b}{CD}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$c· CD = b^2$
解得：
$CD=\frac{b^2}{c}$
【答案】
A
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形性质的应用，解题的核心是根据相似的顶点对应顺序准确找到对应边，避免因对应边混淆而出错，属于相似三角形应用的基础题型。
【难度系数】
0.7

二、填空题
4. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，$AC=12$，$AB=15$，$A'C'=8$，当$A'B'=$时，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$.

$\boldsymbol{10}$

【分析】
要使两个直角三角形相似，首先根据相似三角形的书写顺序确定对应顶点：A对应A'、B对应B'、C对应C'，已知∠C和∠C'都是90°相等，根据相似三角形判定定理，只需要两组对应边成比例即可。先计算已知对应直角边AC与A'C'的相似比，再根据斜边AB与A'B'的比例关系列等式，即可求解A'B'的长度。
【解析】
已知△ABC∽△A'B'C'，且∠C=∠C'=90°，对应边成比例，即：
$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$
代入AC=12，A'C'=8，AB=15，得：
$\frac{12}{8}=\frac{15}{A'B'}$
化简得$\frac{3}{2}=\frac{15}{A'B'}$，交叉相乘得：
$3A'B'=30$
解得$A'B'=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题时需注意相似三角形书写顺序暗含的顶点对应关系，准确找到对应边的比例是解题的关键，避免因对应边找错导致计算错误。
【难度系数】
0.8

5. 在方格纸中,每个小格的顶点称为顶点,以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.在如图所示的5×5的方格纸中,以A(0,2),B(1,0)为顶点的格点三角形ABC与△OAB相似,则点C的坐标为.

解：
由A(0,2)，B(1,0)，O(0,0)可得：
OA=2，OB=1，∠AOB=90°，由勾股定理得 $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5}$。
△OAB的三边比为 $OB:OA:AB=1:2:\sqrt{5}$，要使格点△ABC与△OAB相似，则△ABC也为直角三角形，且两直角边长度比为1:2：
1. 若∠BAC=90°，令$AB:AC=1:2$，则$AC=2\sqrt{5}$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5$，验证格点得C(4,4)满足该条件，此时$\frac{AB}{OB}=\frac{AC}{OA}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{5}$，△ABC∽△BOA。
2. 若∠ABC=90°，令$AB:BC=1:2$，则$BC=2\sqrt{5}$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$，验证格点得C(5,2)满足该条件，此时$\frac{AB}{OB}=\frac{BC}{OA}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{5}$，△ABC∽△BOA。
综上，点C的坐标为 $\boldsymbol{(4,4)}$ 或 $\boldsymbol{(5,2)}$。

【分析】
解题时首先分析已知△OAB的特征：根据A、B、O三点坐标计算△OAB的各边长度，可知它是直角三角形，三边比为1:2:√5。要使格点△ABC与△OAB相似，△ABC也需为直角三角形，且两直角边的长度比为1:2。接下来分情况讨论直角顶点的位置：直角可在点A处，也可在点B处，分别计算对应边的长度，再结合格点特征寻找符合条件的点C坐标，最后验证坐标是否满足相似的判定条件即可。
【解析】
已知A(0,2)，B(1,0)，O(0,0)，可得OA=2，OB=1，∠AOB=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
因此△OAB的三边比为$OB:OA:AB=1:2:\sqrt{5}$。
因为格点△ABC与△OAB相似，所以△ABC也为直角三角形，且两直角边长度比为1:2，分两种情况讨论：
1. 若∠BAC=90°，令$AB:AC=1:2$，代入$AB=\sqrt{5}$得$AC=2\sqrt{5}$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=5$。结合格点验证，点C(4,4)满足条件，此时$\frac{AB}{OB}=\frac{AC}{OA}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{5}$，△ABC∽△BOA。
2. 若∠ABC=90°，令$AB:BC=1:2$，代入$AB=\sqrt{5}$得$BC=2\sqrt{5}$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=5$。结合格点验证，点C(5,2)满足条件，此时$\frac{AB}{OB}=\frac{BC}{OA}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{5}$，△ABC∽△BOA。
【答案】
$\boldsymbol{(4,4)}$或$\boldsymbol{(5,2)}$
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题属于格点几何的综合题，解题核心是先明确已知三角形的边角特征，再结合相似的性质分类讨论直角顶点的位置，需要注意验证所得点是否为格点、是否满足相似条件，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6

6. 如图，在$2×4$的方格上，每个方格的边长为1，点A，B，C，D为格点，AB与CD交于点E，则(1) AB与CD是否垂直？；(填“是”或“否”)(2) AE的长为。

(1) $\boldsymbol{是}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{5}}{5}}$

【分析】
(1) 判断两条直线是否垂直，可证明其夹角为90°：先结合格点特征求出与两条直线相关的锐角的正切值，推导两角和为90°，即可得到夹角为直角；也可结合三角形内角和推导垂直。
(2) 求AE的长，首先由AC与BD平行，可证△ACE和△BDE相似，得到AE与EB的比例关系；再通过勾股定理求出AB的总长，结合比例关系即可计算出AE的长度。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
(1) 观察图形可知，AB所在的直角三角形直角边分别为2、4，故$\tan∠ ABD=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；CD所在的直角三角形直角边分别为2、1，故$\tan∠ CDB=\frac{2}{1}=2$。
由$\tan∠ ABD × \tan∠ CDB = 1$，可得$∠ ABD + ∠ CDB = 90°$，因此$∠ BED = 180° - (∠ ABD + ∠ CDB) = 90°$，故AB与CD垂直。
(2) 首先由勾股定理计算AB的长度：$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为$AC// BD$，所以$∠ CAE=∠ DBE$，$∠ ACE=∠ BDE$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ACE ∽ △ BDE$。
其中$AC=2$，$BD=3$，相似比为$AC:BD=2:3$，因此对应边的比$AE:EB=2:3$。
设$AE=2k$，$EB=3k$，则$AB=AE+EB=5k=2\sqrt{5}$，解得$k=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故$AE=2k=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 是；(2) $\boldsymbol{\dfrac{4\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂直的判定
【点评】
本题结合格点背景考查几何综合应用，解题的关键是灵活利用平行线的性质证明三角形相似，结合勾股定理和三角函数相关知识解决问题，需要具备一定的读图和分析能力。
【难度系数】
0.65