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三、解答题
7. 如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，$DE ⊥ AC$于点O，若$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，求AD的长.
7. 如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，$DE ⊥ AC$于点O，若$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，求AD的长.
答案
解：
在$Rt△ COD$中，$∠ COD=90°$，$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由勾股定理得：
$CO=\sqrt{CD^2-DO^2}=\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{6}}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ DCE=90°$，$AD=BC$。
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ CDO=∠ EDC$，$∠ COD=∠ DCE=90°$，
∴ $△ CDO ∽ △ EDC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{DE}=\frac{DO}{CD}$，即$CD^2=DO· DE$。
代入$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得：
$1=\frac{\sqrt{6}}{3}· DE$
解得$DE=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
在$Rt△ DCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2})^2-1^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $E$是$BC$的中点，
∴ $BC=2CE=\sqrt{2}$。
又∵ 矩形对边相等$AD=BC$，
∴ $AD=\sqrt{2}$。
答：$AD$的长为$\sqrt{2}$。
在$Rt△ COD$中，$∠ COD=90°$，$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由勾股定理得：
$CO=\sqrt{CD^2-DO^2}=\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{6}}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ DCE=90°$，$AD=BC$。
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ CDO=∠ EDC$，$∠ COD=∠ DCE=90°$，
∴ $△ CDO ∽ △ EDC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{DE}=\frac{DO}{CD}$，即$CD^2=DO· DE$。
代入$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得：
$1=\frac{\sqrt{6}}{3}· DE$
解得$DE=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
在$Rt△ DCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2})^2-1^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $E$是$BC$的中点，
∴ $BC=2CE=\sqrt{2}$。
又∵ 矩形对边相等$AD=BC$，
∴ $AD=\sqrt{2}$。
答：$AD$的长为$\sqrt{2}$。
解析
【分析】
首先观察图形，已知DE⊥AC，可得△COD是直角三角形，可先利用勾股定理求出CO的长度；再结合矩形的性质得到∠DCE=90°，通过公共角∠CDE和两个直角可证明△CDO与△EDC相似，利用相似三角形对应边成比例的性质求出DE的长度；之后在Rt△DCE中用勾股定理求出CE的长，结合E是BC中点得到BC的长度，最后根据矩形对边相等即可求出AD的长。
【解析】
在$Rt△ COD$中，$∠ COD=90°$，$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由勾股定理得：
$CO=\sqrt{CD^2-DO^2}=\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{6}}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ DCE=90°$，$AD=BC$。
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ CDO=∠ EDC$，$∠ COD=∠ DCE=90°$，
∴ $△ CDO ∽ △ EDC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{DE}=\frac{DO}{CD}$，即$CD^2=DO· DE$。
代入$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得：
$1=\frac{\sqrt{6}}{3}· DE$
解得$DE=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
在$Rt△ DCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2})^2-1^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $E$是$BC$的中点，
∴ $BC=2CE=\sqrt{2}$。
又
∵ 矩形对边相等$AD=BC$，
∴ $AD=\sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【点评】本题属于几何综合基础题，结合了矩形性质、勾股定理与相似三角形的相关知识考查，解题的关键是准确识别相似三角形，利用相似的比例关系建立等式求解未知线段，能够有效锻炼几何知识的综合运用能力。
【难度系数】0.6
首先观察图形，已知DE⊥AC，可得△COD是直角三角形，可先利用勾股定理求出CO的长度；再结合矩形的性质得到∠DCE=90°，通过公共角∠CDE和两个直角可证明△CDO与△EDC相似，利用相似三角形对应边成比例的性质求出DE的长度；之后在Rt△DCE中用勾股定理求出CE的长，结合E是BC中点得到BC的长度，最后根据矩形对边相等即可求出AD的长。
【解析】
在$Rt△ COD$中，$∠ COD=90°$，$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由勾股定理得：
$CO=\sqrt{CD^2-DO^2}=\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{6}}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ DCE=90°$，$AD=BC$。
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ CDO=∠ EDC$，$∠ COD=∠ DCE=90°$，
∴ $△ CDO ∽ △ EDC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{DE}=\frac{DO}{CD}$，即$CD^2=DO· DE$。
代入$CD=1$，$DO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得：
$1=\frac{\sqrt{6}}{3}· DE$
解得$DE=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
在$Rt△ DCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2})^2-1^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $E$是$BC$的中点，
∴ $BC=2CE=\sqrt{2}$。
又
∵ 矩形对边相等$AD=BC$，
∴ $AD=\sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【点评】本题属于几何综合基础题，结合了矩形性质、勾股定理与相似三角形的相关知识考查，解题的关键是准确识别相似三角形，利用相似的比例关系建立等式求解未知线段，能够有效锻炼几何知识的综合运用能力。
【难度系数】0.6
8. 如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠ADC=90°,AC²=AD·BC,求证:DC⊥BC. 
答案
证明：
∵ $AC^2 = AD · BC$，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{AC}$。
又∵ $∠ BAC = ∠ ADC = 90°$，
∴ $△ BAC ∽ △ CDA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴ $∠ ACB = ∠ DAC$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ ACB + ∠ ACD = 90°$，
即 $∠ BCD = 90°$，
∴ $DC ⊥ BC$。
∵ $AC^2 = AD · BC$，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{AC}$。
又∵ $∠ BAC = ∠ ADC = 90°$，
∴ $△ BAC ∽ △ CDA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴ $∠ ACB = ∠ DAC$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ ACB + ∠ ACD = 90°$，
即 $∠ BCD = 90°$，
∴ $DC ⊥ BC$。
解析
【分析】
要证明DC⊥BC，即需证明∠BCD=90°。首先将已知的等积式$AC^2=AD·BC$转化为比例式，结合题目给出的两个直角相等的条件，可判定$△ BAC$和$△ CDA$相似；再利用相似三角形对应角相等的性质得到角的等量关系，最后结合直角三角形两锐角互余的性质进行角的代换，即可推导出∠BCD为直角，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AC^2 = AD · BC$，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{AC}$。
又
∵ $∠ BAC = ∠ ADC = 90°$，
∴ $△ BAC ∽ △ CDA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴ $∠ ACB = ∠ DAC$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ ACB + ∠ ACD = 90°$，
即 $∠ BCD = 90°$，
∴ $DC ⊥ BC$。
【答案】
DC⊥BC，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是将等积式转化为比例式，结合直角条件证明三角形相似，再通过角的等量代换得到垂直结论，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明DC⊥BC，即需证明∠BCD=90°。首先将已知的等积式$AC^2=AD·BC$转化为比例式，结合题目给出的两个直角相等的条件，可判定$△ BAC$和$△ CDA$相似；再利用相似三角形对应角相等的性质得到角的等量关系，最后结合直角三角形两锐角互余的性质进行角的代换，即可推导出∠BCD为直角，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AC^2 = AD · BC$，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{AC}$。
又
∵ $∠ BAC = ∠ ADC = 90°$，
∴ $△ BAC ∽ △ CDA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴ $∠ ACB = ∠ DAC$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ ACB + ∠ ACD = 90°$，
即 $∠ BCD = 90°$，
∴ $DC ⊥ BC$。
【答案】
DC⊥BC，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是将等积式转化为比例式，结合直角条件证明三角形相似，再通过角的等量代换得到垂直结论，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知$AB ⊥ BC$于点$B$，$CD ⊥ BC$于点$C$，$AB=4$，$CD=6$，$BC=14$，$P$为线段$BC$上一点.若以点$A$，$B$，$P$为顶点的三角形与以点$P$，$C$，$D$为顶点的三角形相似，求$BP$的长.
答案
解：
设BP的长为x，则PC = 14 - x。
∵ AB⊥BC，CD⊥BC，
∴ ∠B = ∠C = 90°。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ABP ∽ △ PCD$时，有$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
代入$AB=4$，$CD=6$，得$\frac{4}{14-x}=\frac{x}{6}$，
整理得$x^2 -14x +24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$，均符合题意。
2. 当$△ ABP ∽ △ DCP$时，有$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}$，
代入$AB=4$，$CD=6$，得$\frac{4}{6}=\frac{x}{14-x}$，
解得$x=\frac{28}{5}$，符合题意。
综上，BP的长为2，12或$\frac{28}{5}$。
设BP的长为x，则PC = 14 - x。
∵ AB⊥BC，CD⊥BC，
∴ ∠B = ∠C = 90°。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ABP ∽ △ PCD$时，有$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
代入$AB=4$，$CD=6$，得$\frac{4}{14-x}=\frac{x}{6}$，
整理得$x^2 -14x +24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$，均符合题意。
2. 当$△ ABP ∽ △ DCP$时，有$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}$，
代入$AB=4$，$CD=6$，得$\frac{4}{6}=\frac{x}{14-x}$，
解得$x=\frac{28}{5}$，符合题意。
综上，BP的长为2，12或$\frac{28}{5}$。
解析
【分析】
本题是相似三角形的计算问题，两个三角形均为直角三角形，直角是固定对应角，但题目未明确其余对应顶点，因此需要分类讨论求解。首先设BP的长为x，可得PC=14-x，再分两种相似情况：①△ABP和△PCD相似，此时AB与PC对应、BP与CD对应；②△ABP和△DCP相似，此时AB与DC对应、BP与CP对应。分别根据相似三角形对应边成比例列方程，求解后验证解是否符合线段长度范围即可。
【解析】
设BP的长为x，则PC = 14 - x。
∵ AB⊥BC，CD⊥BC，
∴ ∠B = ∠C = 90°。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ABP ∽ △ PCD$时，有$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
代入$AB=4$，$CD=6$，得$\frac{4}{14-x}=\frac{x}{6}$，
整理得$x^2 -14x +24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$，均满足0＜x＜14，符合题意。
2. 当$△ ABP ∽ △ DCP$时，有$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}$，
代入$AB=4$，$CD=6$，得$\frac{4}{6}=\frac{x}{14-x}$，
解得$x=\frac{28}{5}$，满足0＜x＜14，符合题意。
综上，BP的长为2，12或$\frac{28}{5}$。
【答案】
2、12或$\frac{28}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想，比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形的常见易错题，解题核心是当相似三角形对应顶点未明确指定时，要全面分情况讨论对应边的比例关系，求解后注意验证解是否符合实际线段的取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是相似三角形的计算问题，两个三角形均为直角三角形，直角是固定对应角，但题目未明确其余对应顶点，因此需要分类讨论求解。首先设BP的长为x，可得PC=14-x，再分两种相似情况：①△ABP和△PCD相似，此时AB与PC对应、BP与CD对应；②△ABP和△DCP相似，此时AB与DC对应、BP与CP对应。分别根据相似三角形对应边成比例列方程，求解后验证解是否符合线段长度范围即可。
【解析】
设BP的长为x，则PC = 14 - x。
∵ AB⊥BC，CD⊥BC，
∴ ∠B = ∠C = 90°。
分两种情况讨论：
1. 当$△ ABP ∽ △ PCD$时，有$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
代入$AB=4$，$CD=6$，得$\frac{4}{14-x}=\frac{x}{6}$，
整理得$x^2 -14x +24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$，均满足0＜x＜14，符合题意。
2. 当$△ ABP ∽ △ DCP$时，有$\frac{AB}{DC}=\frac{BP}{CP}$，
代入$AB=4$，$CD=6$，得$\frac{4}{6}=\frac{x}{14-x}$，
解得$x=\frac{28}{5}$，满足0＜x＜14，符合题意。
综上，BP的长为2，12或$\frac{28}{5}$。
【答案】
2、12或$\frac{28}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想，比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形的常见易错题，解题核心是当相似三角形对应顶点未明确指定时，要全面分情况讨论对应边的比例关系，求解后注意验证解是否符合实际线段的取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.6
