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三、解答题
7.如图，已知正方形ABCD和正方形EFCG，点E，F，G分别在线段AC，BC，CD上，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6，4.求证：△ABE ∽ △CAG.
7.如图，已知正方形ABCD和正方形EFCG，点E，F，G分别在线段AC，BC，CD上，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6，4.求证：△ABE ∽ △CAG.
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴ AB=6，∠ABC=90°，AC为正方形对角线，
∴ ∠BAC=∠ACD=45°，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=6\sqrt{2}$。
∵ 四边形EFCG是边长为4的正方形，
∴ CG=4，∠EFC=90°，
又∵ ∠ACB=45°，
∴ $EC=\sqrt{EF^2+FC^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $AE=AC-EC=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
∴ $\frac{AB}{CA}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{AE}{CG}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴ $\frac{AB}{CA}=\frac{AE}{CG}$。
又∵ ∠BAE=∠ACG=45°，
∴ △ABE ∽ △CAG。
∵ 四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴ AB=6，∠ABC=90°，AC为正方形对角线，
∴ ∠BAC=∠ACD=45°，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=6\sqrt{2}$。
∵ 四边形EFCG是边长为4的正方形，
∴ CG=4，∠EFC=90°，
又∵ ∠ACB=45°，
∴ $EC=\sqrt{EF^2+FC^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $AE=AC-EC=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
∴ $\frac{AB}{CA}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{AE}{CG}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴ $\frac{AB}{CA}=\frac{AE}{CG}$。
又∵ ∠BAE=∠ACG=45°，
∴ △ABE ∽ △CAG。
解析
【分析】
要证明△ABE∽△CAG，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先根据正方形对角线的性质，可得到一组相等的夹角∠BAE=∠ACG=45°；接下来只需验证夹这组角的两组对应边成比例即可，我们可以先利用勾股定理分别求出大正方形对角线AC、小正方形对角线EC的长度，进而求出AE的长度，再计算两组对应边的比值，验证比值相等后即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴ AB=6，∠ABC=90°，AC为正方形对角线，
∴ ∠BAC=∠ACD=45°，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=6\sqrt{2}$。
∵ 四边形EFCG是边长为4的正方形，
∴ CG=4，∠EFC=90°，
又
∵ ∠ACB=45°，
∴ $EC=\sqrt{EF^2+FC^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $AE=AC-EC=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
∴ $\frac{AB}{CA}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{AE}{CG}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴ $\frac{AB}{CA}=\frac{AE}{CG}$。
又
∵ ∠BAE=∠ACG=45°，
∴ △ABE ∽ △CAG。
【答案】
△ABE ∽ △CAG
【知识点】
相似三角形的判定；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合正方形性质和相似三角形判定考查，解题的关键是准确找到两个三角形的相等夹角，正确计算对应边长度验证比例关系，熟练掌握相关性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要证明△ABE∽△CAG，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先根据正方形对角线的性质，可得到一组相等的夹角∠BAE=∠ACG=45°；接下来只需验证夹这组角的两组对应边成比例即可，我们可以先利用勾股定理分别求出大正方形对角线AC、小正方形对角线EC的长度，进而求出AE的长度，再计算两组对应边的比值，验证比值相等后即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴ AB=6，∠ABC=90°，AC为正方形对角线，
∴ ∠BAC=∠ACD=45°，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=6\sqrt{2}$。
∵ 四边形EFCG是边长为4的正方形，
∴ CG=4，∠EFC=90°，
又
∵ ∠ACB=45°，
∴ $EC=\sqrt{EF^2+FC^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $AE=AC-EC=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
∴ $\frac{AB}{CA}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{AE}{CG}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴ $\frac{AB}{CA}=\frac{AE}{CG}$。
又
∵ ∠BAE=∠ACG=45°，
∴ △ABE ∽ △CAG。
【答案】
△ABE ∽ △CAG
【知识点】
相似三角形的判定；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合正方形性质和相似三角形判定考查，解题的关键是准确找到两个三角形的相等夹角，正确计算对应边长度验证比例关系，熟练掌握相关性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，且$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，判定△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由。
答案
解：△ABC与△A'B'C'相似，理由如下：
∵ AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
又∵ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，
∴ △ABD ∽ △A'B'D'（三边成比例的两个三角形相似），
∴ ∠B = ∠B'。
由 $\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}$，结合已知条件可得 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases}\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'} \\∠B=∠B'\end{cases}$
∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵ AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
又∵ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，
∴ △ABD ∽ △A'B'D'（三边成比例的两个三角形相似），
∴ ∠B = ∠B'。
由 $\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}$，结合已知条件可得 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases}\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'} \\∠B=∠B'\end{cases}$
∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先利用三角形中线的性质，可得BD是BC的一半、B'D'是B'C'的一半，能将BD与B'D'的比例转化为BC与B'C'的比例；再观察已知给出的三组边的比例，恰好是△ABD和△A'B'D'的三组对应边，可先通过三边成比例判定这两个小三角形相似，得到对应角∠B=∠B'；最后结合得到的边的比例关系和角相等的条件，利用两边成比例且夹角相等即可判定△ABC和△A'B'C'相似。
【解析】
解：△ABC与△A'B'C'相似，理由如下：
∵ AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，因此$\frac{BC}{B'C'}=\frac{BD}{B'D'}$。
又
∵ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，
∴ △ABD ∽ △A'B'D'（三边成比例的两个三角形相似），
∴ ∠B = ∠B'。
结合$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}$，可得 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases}\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'} \\∠B=∠B'\end{cases}$
∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
△ABC与△A'B'C'相似。
【知识点】
三角形中线的性质；相似三角形的判定（SSS）；相似三角形的判定（SAS）
【点评】
本题是相似三角形判定的常规综合题，需要先通过证明小三角形相似获得大三角形相似的必要条件，解题的关键是灵活运用中线性质转化边的比例关系，清晰梳理相似判定的逻辑顺序。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先利用三角形中线的性质，可得BD是BC的一半、B'D'是B'C'的一半，能将BD与B'D'的比例转化为BC与B'C'的比例；再观察已知给出的三组边的比例，恰好是△ABD和△A'B'D'的三组对应边，可先通过三边成比例判定这两个小三角形相似，得到对应角∠B=∠B'；最后结合得到的边的比例关系和角相等的条件，利用两边成比例且夹角相等即可判定△ABC和△A'B'C'相似。
【解析】
解：△ABC与△A'B'C'相似，理由如下：
∵ AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，因此$\frac{BC}{B'C'}=\frac{BD}{B'D'}$。
又
∵ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，
∴ △ABD ∽ △A'B'D'（三边成比例的两个三角形相似），
∴ ∠B = ∠B'。
结合$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}$，可得 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$。
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases}\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'} \\∠B=∠B'\end{cases}$
∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
△ABC与△A'B'C'相似。
【知识点】
三角形中线的性质；相似三角形的判定（SSS）；相似三角形的判定（SAS）
【点评】
本题是相似三角形判定的常规综合题，需要先通过证明小三角形相似获得大三角形相似的必要条件，解题的关键是灵活运用中线性质转化边的比例关系，清晰梳理相似判定的逻辑顺序。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在四边形ABEC中,点D在AE上,AE,BD相交于点D,且$\frac{BD}{BE}=\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{BC}$.
求证:$△ ABC ∽ △ DBE$.
求证:$△ ABC ∽ △ DBE$.
答案
证明：
∵ $\frac{BD}{BE}=\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{BC}$，
∴ $△ ABD ∽ △ CBE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ ABD = ∠ CBE$，
∴ $∠ ABD + ∠ DBC = ∠ CBE + ∠ DBC$，
即 $∠ ABC = ∠ DBE$。
又∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，变形可得 $\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$，
∴ $△ ABC ∽ △ DBE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵ $\frac{BD}{BE}=\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{BC}$，
∴ $△ ABD ∽ △ CBE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ ABD = ∠ CBE$，
∴ $∠ ABD + ∠ DBC = ∠ CBE + ∠ DBC$，
即 $∠ ABC = ∠ DBE$。
又∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，变形可得 $\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$，
∴ $△ ABC ∽ △ DBE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
解析
【分析】
要证明△ABC∽△DBE，可优先采用“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理推导。首先观察已知给出的三组线段成比例，恰好对应△ABD和△CBE的三组边，因此先通过“三边对应成比例的两个三角形相似”证明△ABD∽△CBE，得到对应角相等的结论；再通过角的和差运算推出△ABC和△DBE的夹角相等；最后将已知比例式变形，得到两个目标三角形的两边对应成比例，结合相等的夹角即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $\frac{BD}{BE}=\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{BC}$，
∴ $△ ABD ∽ △ CBE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ ABD = ∠ CBE$，
∴ $∠ ABD + ∠ DBC = ∠ CBE + ∠ DBC$，
即 $∠ ABC = ∠ DBE$。
又
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，变形可得 $\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$，
∴ $△ ABC ∽ △ DBE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明过程如上，可证得$△ ABC ∽ △ DBE$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形判定的典型综合题，解题核心是先通过三边成比例证明过渡三角形相似，得到角相等的条件，再转化得到目标三角形的等角，结合比例式变形用两边夹一角的判定定理完成证明，能有效训练相似相关性质和判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC∽△DBE，可优先采用“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理推导。首先观察已知给出的三组线段成比例，恰好对应△ABD和△CBE的三组边，因此先通过“三边对应成比例的两个三角形相似”证明△ABD∽△CBE，得到对应角相等的结论；再通过角的和差运算推出△ABC和△DBE的夹角相等；最后将已知比例式变形，得到两个目标三角形的两边对应成比例，结合相等的夹角即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $\frac{BD}{BE}=\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{BC}$，
∴ $△ ABD ∽ △ CBE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ ABD = ∠ CBE$，
∴ $∠ ABD + ∠ DBC = ∠ CBE + ∠ DBC$，
即 $∠ ABC = ∠ DBE$。
又
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，变形可得 $\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$，
∴ $△ ABC ∽ △ DBE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明过程如上，可证得$△ ABC ∽ △ DBE$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形判定的典型综合题，解题核心是先通过三边成比例证明过渡三角形相似，得到角相等的条件，再转化得到目标三角形的等角，结合比例式变形用两边夹一角的判定定理完成证明，能有效训练相似相关性质和判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
