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1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=2BC$，则$\tan A$等于（）.
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
要计算直角三角形中锐角A的正切值，首先回忆正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切等于该角的对边与邻边的比值。首先确定∠A对应的对边和邻边：在Rt△ABC中，∠B=90°，所以∠A的对边是BC，邻边是AB。结合题目给出的AB=2BC的边长关系，通过设参数代入正切公式即可求出结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AB}$
已知$AB=2BC$，设$BC=x$（$x＞0$），则$AB=2x$，代入得：
$\tan A=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，直角三角形边角计算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，解题核心是准确识别所求锐角对应的对边和邻边，牢记正切的定义即可快速求解，注意不要混淆边的对应关系。
【难度系数】
0.9
要计算直角三角形中锐角A的正切值，首先回忆正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切等于该角的对边与邻边的比值。首先确定∠A对应的对边和邻边：在Rt△ABC中，∠B=90°，所以∠A的对边是BC，邻边是AB。结合题目给出的AB=2BC的边长关系，通过设参数代入正切公式即可求出结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AB}$
已知$AB=2BC$，设$BC=x$（$x＞0$），则$AB=2x$，代入得：
$\tan A=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，直角三角形边角计算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，解题核心是准确识别所求锐角对应的对边和邻边，牢记正切的定义即可快速求解，注意不要混淆边的对应关系。
【难度系数】
0.9
2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则$∠ A$的正切值（）。
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.不变
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍
D.不变
答案
D
解析
【分析】
解题首先回忆锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值；其次明确锐角三角函数的核心特征：三角函数值仅由锐角的大小决定，和对应边的长度无关。我们可以通过两种思路推导：一是计算边长扩大前后∠A对边与邻边的比值，对比比值是否变化；二是判断边长扩大后新三角形与原三角形相似，∠A大小不变，因此正切值不变。
【解析】
设原$Rt△ABC$中，$∠A$的对边长度为$a$，邻边长度为$b$，
根据正切的定义可得：$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$。
将各边长度都扩大为原来的2倍后，$∠A$的对边变为$2a$，邻边变为$2b$，
此时$\tan A=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$，和原正切值完全相等，因此$∠A$的正切值不变。
也可通过相似性质推导：各边扩大2倍后新三角形与原三角形三边对应成比例，两三角形相似，$∠A$大小不变，因此其正切值不变。
【答案】
D
【知识点】
1. 正切的定义
2. 相似三角形的性质
3. 锐角三角函数的特征
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对锐角三角函数本质的理解，解题时需注意不要混淆边长变化和角的三角函数值变化的关系，避免误认为边长扩大三角函数值会同步变化。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值；其次明确锐角三角函数的核心特征：三角函数值仅由锐角的大小决定，和对应边的长度无关。我们可以通过两种思路推导：一是计算边长扩大前后∠A对边与邻边的比值，对比比值是否变化；二是判断边长扩大后新三角形与原三角形相似，∠A大小不变，因此正切值不变。
【解析】
设原$Rt△ABC$中，$∠A$的对边长度为$a$，邻边长度为$b$，
根据正切的定义可得：$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$。
将各边长度都扩大为原来的2倍后，$∠A$的对边变为$2a$，邻边变为$2b$，
此时$\tan A=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$，和原正切值完全相等，因此$∠A$的正切值不变。
也可通过相似性质推导：各边扩大2倍后新三角形与原三角形三边对应成比例，两三角形相似，$∠A$大小不变，因此其正切值不变。
【答案】
D
【知识点】
1. 正切的定义
2. 相似三角形的性质
3. 锐角三角函数的特征
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对锐角三角函数本质的理解，解题时需注意不要混淆边长变化和角的三角函数值变化的关系，避免误认为边长扩大三角函数值会同步变化。
【难度系数】
0.8
3. 在正方形网格中，$△ ABC$ 的位置如图所示，则 $\tan B$ 的值为().
A.1
B.$\sqrt{5}$
C.2
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
A.1
B.$\sqrt{5}$
C.2
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
答案
A
解析
【分析】
要求$\tan B$的值，首先回忆正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。因此我们需要先构造出包含$∠ B$的直角三角形，结合网格的特点，设每个小正方形边长为1，过点A作BC所在直线的垂线，找到$∠ B$的对边和邻边的长度，代入公式计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作$AD⊥ BC$，交BC的延长线于点D。
观察网格可得：$∠ B$的对边$AD=4$，邻边$BD=4$。
根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AD}{BD}=\frac{4}{4}=1$。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义，网格线段长度计算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是结合网格构造直角三角形，准确对应角的对边和邻边，计算难度较低，是锐角三角函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
要求$\tan B$的值，首先回忆正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。因此我们需要先构造出包含$∠ B$的直角三角形，结合网格的特点，设每个小正方形边长为1，过点A作BC所在直线的垂线，找到$∠ B$的对边和邻边的长度，代入公式计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作$AD⊥ BC$，交BC的延长线于点D。
观察网格可得：$∠ B$的对边$AD=4$，邻边$BD=4$。
根据正切的定义：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AD}{BD}=\frac{4}{4}=1$。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义，网格线段长度计算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是结合网格构造直角三角形，准确对应角的对边和邻边，计算难度较低，是锐角三角函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
4. 如图,在 $Rt△ DEF$ 中, $\tan D =$ , $\tan E =$ .
答案
$\dfrac{4}{3}$；$\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
要计算直角三角形中两个锐角的正切值，首先回忆正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值。解题步骤如下：第一步，先利用勾股定理求出未知直角边EF的长度；第二步，分别确定∠D、∠E各自的对边和邻边，代入正切定义计算即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ DEF$中，$∠ F=90°$，已知$FD=6$，$ED=10$。
1. 求直角边$EF$的长度：
由勾股定理得：$EF=\sqrt{ED^2-FD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
2. 计算$\tan D$：
$∠ D$的对边是$EF$，邻边是$FD$，根据正切定义，$\tan D=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{EF}{FD}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
3. 计算$\tan E$：
$∠ E$的对边是$FD$，邻边是$EF$，根据正切定义，$\tan E=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{FD}{EF}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$；$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理；正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础练习题，解题的关键是准确掌握正切的定义，区分清楚每个锐角对应的对边和邻边，计算难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
要计算直角三角形中两个锐角的正切值，首先回忆正切的定义：直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值。解题步骤如下：第一步，先利用勾股定理求出未知直角边EF的长度；第二步，分别确定∠D、∠E各自的对边和邻边，代入正切定义计算即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ DEF$中，$∠ F=90°$，已知$FD=6$，$ED=10$。
1. 求直角边$EF$的长度：
由勾股定理得：$EF=\sqrt{ED^2-FD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
2. 计算$\tan D$：
$∠ D$的对边是$EF$，邻边是$FD$，根据正切定义，$\tan D=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{EF}{FD}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
3. 计算$\tan E$：
$∠ E$的对边是$FD$，邻边是$EF$，根据正切定义，$\tan E=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{FD}{EF}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$；$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理；正切的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础练习题，解题的关键是准确掌握正切的定义，区分清楚每个锐角对应的对边和邻边，计算难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\dfrac{4}{3}$，$BC=8$，则$AB=$。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题思路：首先根据锐角三角函数中正切的定义，明确$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比值，结合已知的$\tan A$数值和$BC$的长度，先求出$AC$的长度，再利用直角三角形的勾股定理计算斜边$AB$的长度即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}=\frac{BC}{AC}$
已知$\tan A=\frac{4}{3}$，$BC=8$，代入得：
$\frac{8}{AC}=\frac{4}{3}$
解得$AC=8×\frac{3}{4}=6$
再根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$
代入$AC=6$，$BC=8$得：
$AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查对正切三角函数定义的理解和勾股定理的运用，熟练掌握锐角三角函数对应的边的关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据锐角三角函数中正切的定义，明确$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比值，结合已知的$\tan A$数值和$BC$的长度，先求出$AC$的长度，再利用直角三角形的勾股定理计算斜边$AB$的长度即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}=\frac{BC}{AC}$
已知$\tan A=\frac{4}{3}$，$BC=8$，代入得：
$\frac{8}{AC}=\frac{4}{3}$
解得$AC=8×\frac{3}{4}=6$
再根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$
代入$AC=6$，$BC=8$得：
$AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查对正切三角函数定义的理解和勾股定理的运用，熟练掌握锐角三角函数对应的边的关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
6. 如图,为了测量河两岸A，B两点的距离,在与AB垂直方向的点C处测得AC=a，∠ACB=α，那么AB=。
答案
$\boldsymbol{a\tanα}$
解析
【分析】
首先根据题意可知AB⊥AC，因此△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。已知直角边AC=a，锐角∠ACB=α，要求另一条直角边AB的长度，可利用锐角三角函数中正切的定义求解：先确定∠α的对边是AB，邻边是AC，再根据正切的定义列出比例式，变形即可得到AB的表达式。
【解析】
解：由题意得AB⊥AC，即△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，根据正切函数的定义：
$\tan∠ ACB=\frac{\mathrm{∠ACB的对边}}{\mathrm{∠ACB的邻边}}=\frac{AB}{AC}$
已知$AC=a$，$∠ ACB=α$，代入得：
$\tanα=\frac{AB}{a}$
变形得$AB=a\tanα$。
【答案】
$a\tanα$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，核心是准确找到直角三角形中对应锐角的对边和邻边，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先根据题意可知AB⊥AC，因此△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。已知直角边AC=a，锐角∠ACB=α，要求另一条直角边AB的长度，可利用锐角三角函数中正切的定义求解：先确定∠α的对边是AB，邻边是AC，再根据正切的定义列出比例式，变形即可得到AB的表达式。
【解析】
解：由题意得AB⊥AC，即△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，根据正切函数的定义：
$\tan∠ ACB=\frac{\mathrm{∠ACB的对边}}{\mathrm{∠ACB的邻边}}=\frac{AB}{AC}$
已知$AC=a$，$∠ ACB=α$，代入得：
$\tanα=\frac{AB}{a}$
变形得$AB=a\tanα$。
【答案】
$a\tanα$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，核心是准确找到直角三角形中对应锐角的对边和邻边，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
