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6. 如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A(2，2)，B(3，4)，C(6，1)，B'(6，8)，则△A'B'C'的面积为。
答案
$\boldsymbol{18}$
解析
【分析】
本题考查位似图形的性质及坐标系内三角形面积的计算，解题思路如下：第一步，根据已知对应点B、B'的坐标，求出以原点为位似中心的位似比；第二步，利用位似变换的坐标规律，求出点A'、C'的坐标；第三步，采用割补法计算△A'B'C'的面积，即通过构造包围三角形的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积得到所求三角形的面积。
【解析】
1. 求位似比：
∵ △ABC与△A'B'C'以原点O为位似中心，点B(3,4)的对应点为B'(6,8)
∴ 位似比 $k = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2$
2. 求A'、C'的坐标：
原点为位似中心的位似变换中，对应点坐标为原坐标乘位似比，因此：
点A(2,2)的对应点$A'(2×2, 2×2)=(4,4)$
点C(6,1)的对应点$C'(6×2, 1×2)=(12,2)$
3. 用割补法求△A'B'C'的面积：
构造以$(4,2)$、$(12,2)$、$(12,8)$、$(4,8)$为顶点的矩形，矩形面积为：
$S_{\mathrm{矩形}}=(12-4)×(8-2)=8×6=48$
周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×(12-4)×(4-2)=\frac{1}{2}×8×2=8$
$S_2=\frac{1}{2}×(6-4)×(8-4)=\frac{1}{2}×2×4=4$
$S_3=\frac{1}{2}×(12-6)×(8-2)=\frac{1}{2}×6×6=18$
因此$S_{△ A'B'C'}=S_{\mathrm{矩形}}-S_1-S_2-S_3=48-8-4-18=18$
【答案】
$\boldsymbol{18}$
【知识点】
位似图形的性质，位似变换的坐标规律，割补法求面积
【点评】
本题是位似知识点结合面积计算的典型题目，解题核心是先通过对应点坐标确定位似比，得到未知点坐标，再用割补法快速求出坐标系内不规则图形的面积，解题时注意位似比的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
本题考查位似图形的性质及坐标系内三角形面积的计算，解题思路如下：第一步，根据已知对应点B、B'的坐标，求出以原点为位似中心的位似比；第二步，利用位似变换的坐标规律，求出点A'、C'的坐标；第三步，采用割补法计算△A'B'C'的面积，即通过构造包围三角形的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积得到所求三角形的面积。
【解析】
1. 求位似比：
∵ △ABC与△A'B'C'以原点O为位似中心，点B(3,4)的对应点为B'(6,8)
∴ 位似比 $k = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2$
2. 求A'、C'的坐标：
原点为位似中心的位似变换中，对应点坐标为原坐标乘位似比，因此：
点A(2,2)的对应点$A'(2×2, 2×2)=(4,4)$
点C(6,1)的对应点$C'(6×2, 1×2)=(12,2)$
3. 用割补法求△A'B'C'的面积：
构造以$(4,2)$、$(12,2)$、$(12,8)$、$(4,8)$为顶点的矩形，矩形面积为：
$S_{\mathrm{矩形}}=(12-4)×(8-2)=8×6=48$
周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×(12-4)×(4-2)=\frac{1}{2}×8×2=8$
$S_2=\frac{1}{2}×(6-4)×(8-4)=\frac{1}{2}×2×4=4$
$S_3=\frac{1}{2}×(12-6)×(8-2)=\frac{1}{2}×6×6=18$
因此$S_{△ A'B'C'}=S_{\mathrm{矩形}}-S_1-S_2-S_3=48-8-4-18=18$
【答案】
$\boldsymbol{18}$
【知识点】
位似图形的性质，位似变换的坐标规律，割补法求面积
【点评】
本题是位似知识点结合面积计算的典型题目，解题核心是先通过对应点坐标确定位似比，得到未知点坐标，再用割补法快速求出坐标系内不规则图形的面积，解题时注意位似比的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为A(3,2),B(0,2),C(1,0).
(1) ① 将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°得到 △A₁B₁C₁,在图中画出 △A₁B₁C₁,并写出点 A₁ 的坐标;
② 以点 O 为位似中心,相似比为 2:1,将△ABC 在位似中心异侧进行放大得到 △A₂B₂C₂,在图中画出 △A₂B₂C₂,并写出点 A₂ 的坐标;
(2) 在△ABC 内,点 P 的坐标为(a,b),在 △A₁B₁C₁ 中点 P 的对应点为 Q,在 △A₂B₂C₂ 中点 P 的对应点为 R,请写出点 Q,R 的坐标.
7. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为A(3,2),B(0,2),C(1,0).
(1) ① 将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°得到 △A₁B₁C₁,在图中画出 △A₁B₁C₁,并写出点 A₁ 的坐标;
② 以点 O 为位似中心,相似比为 2:1,将△ABC 在位似中心异侧进行放大得到 △A₂B₂C₂,在图中画出 △A₂B₂C₂,并写出点 A₂ 的坐标;
(2) 在△ABC 内,点 P 的坐标为(a,b),在 △A₁B₁C₁ 中点 P 的对应点为 Q,在 △A₂B₂C₂ 中点 P 的对应点为 R,请写出点 Q,R 的坐标.
答案
解：
(1) ① 按旋转规则画出△A₁B₁C₁，点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-2, 3)}$。
② 按位似要求画出△A₂B₂C₂，点$A_2$的坐标为$\boldsymbol{(-6, -4)}$。
(2) 根据绕原点逆时针旋转$90°$的坐标变换规律，点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(-b, a)}$；
根据以原点为位似中心、在位似中心异侧放大、相似比为$2:1$的位似变换坐标规律，点$R$的坐标为$\boldsymbol{(-2a, -2b)}$。
(1) ① 按旋转规则画出△A₁B₁C₁，点$A_1$的坐标为$\boldsymbol{(-2, 3)}$。
② 按位似要求画出△A₂B₂C₂，点$A_2$的坐标为$\boldsymbol{(-6, -4)}$。
(2) 根据绕原点逆时针旋转$90°$的坐标变换规律，点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(-b, a)}$；
根据以原点为位似中心、在位似中心异侧放大、相似比为$2:1$的位似变换坐标规律，点$R$的坐标为$\boldsymbol{(-2a, -2b)}$。
解析
【分析】
解题思路：本题涉及图形的旋转变换和位似变换两类坐标变换问题，解题时先分别回忆两类变换的坐标变化规律：①绕原点逆时针旋转90°时，原坐标$(x,y)$的对应点坐标为$(-y,x)$；②以原点为位似中心，在原点异侧按相似比$k$放大时，原坐标$(x,y)$的对应点坐标为$(-kx,-ky)$。求解时先根据规律求出各顶点变换后的坐标，再描点画图，最后推广到任意点$P$的对应点坐标即可。
【解析】
(1) ① 绕原点$O$逆时针旋转$90°$的坐标变换规律为：点$(x,y)$旋转后对应点坐标为$(-y,x)$。
由此可得三个顶点旋转后的坐标：
$A(3,2)\to A_1(-2,3)$，$B(0,2)\to B_1(-2,0)$，$C(1,0)\to C_1(0,1)$，在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
② 以原点$O$为位似中心，在位似中心异侧按相似比$2:1$放大的坐标变换规律为：点$(x,y)$变换后对应点坐标为$(-2x,-2y)$。
由此可得三个顶点位似变换后的坐标：
$A(3,2)\to A_2(-6,-4)$，$B(0,2)\to B_2(0,-4)$，$C(1,0)\to C_2(-2,0)$，在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三点，顺次连接即可得到$△ A_2B_2C_2$。
(2) 根据上述变换规律，点$P(a,b)$经过逆时针旋转$90°$后，对应点$Q$的坐标为$(-b,a)$；经过题设要求的位似变换后，对应点$R$的坐标为$(-2a,-2b)$。
【答案】
(1) ① 画图略，$A_1(-2, 3)$；② 画图略，$A_2(-6, -4)$；
(2) $Q(-b, a)$，$R(-2a, -2b)$
【知识点】
坐标与旋转变换，位似图形的性质，坐标与位似变换
【点评】
本题是图形变换的基础题，重点考查旋转和位似变换的坐标变化规律，解题的核心是准确记忆两类变换的坐标变化规则，尤其注意位似变换在原点异侧时坐标要乘以负的相似比，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题思路：本题涉及图形的旋转变换和位似变换两类坐标变换问题，解题时先分别回忆两类变换的坐标变化规律：①绕原点逆时针旋转90°时，原坐标$(x,y)$的对应点坐标为$(-y,x)$；②以原点为位似中心，在原点异侧按相似比$k$放大时，原坐标$(x,y)$的对应点坐标为$(-kx,-ky)$。求解时先根据规律求出各顶点变换后的坐标，再描点画图，最后推广到任意点$P$的对应点坐标即可。
【解析】
(1) ① 绕原点$O$逆时针旋转$90°$的坐标变换规律为：点$(x,y)$旋转后对应点坐标为$(-y,x)$。
由此可得三个顶点旋转后的坐标：
$A(3,2)\to A_1(-2,3)$，$B(0,2)\to B_1(-2,0)$，$C(1,0)\to C_1(0,1)$，在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
② 以原点$O$为位似中心，在位似中心异侧按相似比$2:1$放大的坐标变换规律为：点$(x,y)$变换后对应点坐标为$(-2x,-2y)$。
由此可得三个顶点位似变换后的坐标：
$A(3,2)\to A_2(-6,-4)$，$B(0,2)\to B_2(0,-4)$，$C(1,0)\to C_2(-2,0)$，在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三点，顺次连接即可得到$△ A_2B_2C_2$。
(2) 根据上述变换规律，点$P(a,b)$经过逆时针旋转$90°$后，对应点$Q$的坐标为$(-b,a)$；经过题设要求的位似变换后，对应点$R$的坐标为$(-2a,-2b)$。
【答案】
(1) ① 画图略，$A_1(-2, 3)$；② 画图略，$A_2(-6, -4)$；
(2) $Q(-b, a)$，$R(-2a, -2b)$
【知识点】
坐标与旋转变换，位似图形的性质，坐标与位似变换
【点评】
本题是图形变换的基础题，重点考查旋转和位似变换的坐标变化规律，解题的核心是准确记忆两类变换的坐标变化规则，尤其注意位似变换在原点异侧时坐标要乘以负的相似比，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
8. 阅读材料,解答问题.
已知: 锐角三角形ABC如图所示,求作:正方形DEFG,使点D,E落在边BC上,点F, G分别落在边AC, AB上.
作法: ① 画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形$D_1$, $E_1$, $F_1$, $G_1$(如图);② 连接$BF_1$,并延长交AC于点F;③ 过点F作$EF ⊥ BC$于点E;④ 过点F作$FG // BC$,交AB于点G;⑤ 过点G作$GD ⊥ BC$于点D,则四边形DEFG即为所求作的正方形.请回答下列问题:
(1) 请证明所作四边形DEFG为正方形;
(2) 在△ABC中,如果$BC=120$,边BC上的高为80,求正方形DEFG的边长;
(3) 若把(2)中的正方形DEFG改为矩形DEFG,且 $GF = \frac{1}{2}DG$,其他条件不变,此时, GF是多少?
已知: 锐角三角形ABC如图所示,求作:正方形DEFG,使点D,E落在边BC上,点F, G分别落在边AC, AB上.
作法: ① 画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形$D_1$, $E_1$, $F_1$, $G_1$(如图);② 连接$BF_1$,并延长交AC于点F;③ 过点F作$EF ⊥ BC$于点E;④ 过点F作$FG // BC$,交AB于点G;⑤ 过点G作$GD ⊥ BC$于点D,则四边形DEFG即为所求作的正方形.请回答下列问题:
(1) 请证明所作四边形DEFG为正方形;
(2) 在△ABC中,如果$BC=120$,边BC上的高为80,求正方形DEFG的边长;
(3) 若把(2)中的正方形DEFG改为矩形DEFG,且 $GF = \frac{1}{2}DG$,其他条件不变,此时, GF是多少?
答案
解：
(1) 证明：
∵ $EF ⊥ BC$，$GD ⊥ BC$，
∴ $∠ GDE = ∠ FED = 90°$，
又∵ $FG // BC$，
∴ $∠ DGF = 180° - ∠ GDE = 90°$，
∴ 四边形$DEFG$是矩形。
∵ 正方形$D_1E_1F_1G_1$中，$F_1G_1 // BC$，$FG // BC$，
∴ $F_1G_1 // FG$，
∴ $△ BF_1G_1 ∽ △ BFG$，得 $\frac{F_1G_1}{FG} = \frac{BF_1}{BF}$。
同理 $F_1E_1 // FE$，
∴ $△ BF_1E_1 ∽ △ BFE$，得 $\frac{F_1E_1}{FE} = \frac{BF_1}{BF}$。
∴ $\frac{F_1G_1}{FG} = \frac{F_1E_1}{FE}$，
又∵ 正方形$D_1E_1F_1G_1$中$F_1G_1 = F_1E_1$，
∴ $FG = FE$，
∴ 矩形$DEFG$为正方形。
(2) 设$△ ABC$边$BC$上的高为$AH$，$AH=80$，$AH$交$FG$于点$M$。
设正方形$DEFG$的边长为$x$，则$FG=x$，$AM = AH - x = 80 - x$。
∵ $FG // BC$，
∴ $△ AGF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{FG}{BC} = \frac{AM}{AH}$，代入得：
$\frac{x}{120} = \frac{80 - x}{80}$
解得 $x=48$。
即正方形$DEFG$的边长为$48$。
(3) 设$GF=y$，由$GF=\frac{1}{2}DG$得$DG=2y$，则$AM = AH - DG = 80 - 2y$。
∵ $FG // BC$，$△ AGF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{GF}{BC} = \frac{AM}{AH}$，代入得：
$\frac{y}{120} = \frac{80 - 2y}{80}$
解得 $y=30$。
即$GF$的值为$30$。
答：(2) 正方形边长为48；(3) $GF$为30。
(1) 证明：
∵ $EF ⊥ BC$，$GD ⊥ BC$，
∴ $∠ GDE = ∠ FED = 90°$，
又∵ $FG // BC$，
∴ $∠ DGF = 180° - ∠ GDE = 90°$，
∴ 四边形$DEFG$是矩形。
∵ 正方形$D_1E_1F_1G_1$中，$F_1G_1 // BC$，$FG // BC$，
∴ $F_1G_1 // FG$，
∴ $△ BF_1G_1 ∽ △ BFG$，得 $\frac{F_1G_1}{FG} = \frac{BF_1}{BF}$。
同理 $F_1E_1 // FE$，
∴ $△ BF_1E_1 ∽ △ BFE$，得 $\frac{F_1E_1}{FE} = \frac{BF_1}{BF}$。
∴ $\frac{F_1G_1}{FG} = \frac{F_1E_1}{FE}$，
又∵ 正方形$D_1E_1F_1G_1$中$F_1G_1 = F_1E_1$，
∴ $FG = FE$，
∴ 矩形$DEFG$为正方形。
(2) 设$△ ABC$边$BC$上的高为$AH$，$AH=80$，$AH$交$FG$于点$M$。
设正方形$DEFG$的边长为$x$，则$FG=x$，$AM = AH - x = 80 - x$。
∵ $FG // BC$，
∴ $△ AGF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{FG}{BC} = \frac{AM}{AH}$，代入得：
$\frac{x}{120} = \frac{80 - x}{80}$
解得 $x=48$。
即正方形$DEFG$的边长为$48$。
(3) 设$GF=y$，由$GF=\frac{1}{2}DG$得$DG=2y$，则$AM = AH - DG = 80 - 2y$。
∵ $FG // BC$，$△ AGF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{GF}{BC} = \frac{AM}{AH}$，代入得：
$\frac{y}{120} = \frac{80 - 2y}{80}$
解得 $y=30$。
即$GF$的值为$30$。
答：(2) 正方形边长为48；(3) $GF$为30。
解析
【分析】
(1) 要证四边形DEFG是正方形，首先根据垂直、平行的性质证明它是矩形，再借助相似三角形的比例关系，利用已作小正方形邻边相等的特点，证明矩形的一组邻边相等即可；
(2) 求正方形边长时，由$FG// BC$可得到$△ AGF∽△ ABC$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设边长为未知数，代入已知边长和高的数值列方程求解即可；
(3) 矩形的解法和正方形类似，先根据GF和DG的数量关系用同一个未知数表示两条邻边，再结合相似三角形的相似比列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $EF ⊥ BC$，$GD ⊥ BC$，
∴ $∠ GDE = ∠ FED = 90°$，
又
∵ $FG // BC$，
∴ $∠ DGF = 180° - ∠ GDE = 90°$，
∴ 四边形$DEFG$是矩形。
∵ 正方形$D_1E_1F_1G_1$中，$F_1G_1 // BC$，$FG // BC$，
∴ $F_1G_1 // FG$，
∴ $△ BF_1G_1 ∽ △ BFG$，得 $\frac{F_1G_1}{FG} = \frac{BF_1}{BF}$。
同理 $F_1E_1 // FE$，
∴ $△ BF_1E_1 ∽ △ BFE$，得 $\frac{F_1E_1}{FE} = \frac{BF_1}{BF}$。
∴ $\frac{F_1G_1}{FG} = \frac{F_1E_1}{FE}$，
又
∵ 正方形$D_1E_1F_1G_1$中$F_1G_1 = F_1E_1$，
∴ $FG = FE$，
∴ 矩形$DEFG$为正方形。
(2) 设$△ ABC$边$BC$上的高为$AH$，$AH=80$，$AH$交$FG$于点$M$。
设正方形$DEFG$的边长为$x$，则$FG=x$，$AM = AH - x = 80 - x$。
∵ $FG // BC$，
∴ $△ AGF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{FG}{BC} = \frac{AM}{AH}$，代入得：
$\frac{x}{120} = \frac{80 - x}{80}$
解得 $x=48$。
(3) 设$GF=y$，由$GF=\frac{1}{2}DG$得$DG=2y$，则$AM = AH - DG = 80 - 2y$。
∵ $FG // BC$，$△ AGF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{GF}{BC} = \frac{AM}{AH}$，代入得：
$\frac{y}{120} = \frac{80 - 2y}{80}$
解得 $y=30$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形DEFG为正方形；
(2) 正方形DEFG的边长为$\boxed{48}$；
(3) GF的值为$\boxed{30}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的判定，矩形的性质
【点评】
本题融合了尺规作图、特殊四边形的判定与相似三角形的应用，既考查了基础的几何证明逻辑，也考查了利用相似三角形的比例关系列方程求解线段长度的能力，是几何综合类的典型习题，解题的关键是找准相似三角形对应边、对应高的比例关系。
【难度系数】
0.65
(1) 要证四边形DEFG是正方形，首先根据垂直、平行的性质证明它是矩形，再借助相似三角形的比例关系，利用已作小正方形邻边相等的特点，证明矩形的一组邻边相等即可；
(2) 求正方形边长时，由$FG// BC$可得到$△ AGF∽△ ABC$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设边长为未知数，代入已知边长和高的数值列方程求解即可；
(3) 矩形的解法和正方形类似，先根据GF和DG的数量关系用同一个未知数表示两条邻边，再结合相似三角形的相似比列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $EF ⊥ BC$，$GD ⊥ BC$，
∴ $∠ GDE = ∠ FED = 90°$，
又
∵ $FG // BC$，
∴ $∠ DGF = 180° - ∠ GDE = 90°$，
∴ 四边形$DEFG$是矩形。
∵ 正方形$D_1E_1F_1G_1$中，$F_1G_1 // BC$，$FG // BC$，
∴ $F_1G_1 // FG$，
∴ $△ BF_1G_1 ∽ △ BFG$，得 $\frac{F_1G_1}{FG} = \frac{BF_1}{BF}$。
同理 $F_1E_1 // FE$，
∴ $△ BF_1E_1 ∽ △ BFE$，得 $\frac{F_1E_1}{FE} = \frac{BF_1}{BF}$。
∴ $\frac{F_1G_1}{FG} = \frac{F_1E_1}{FE}$，
又
∵ 正方形$D_1E_1F_1G_1$中$F_1G_1 = F_1E_1$，
∴ $FG = FE$，
∴ 矩形$DEFG$为正方形。
(2) 设$△ ABC$边$BC$上的高为$AH$，$AH=80$，$AH$交$FG$于点$M$。
设正方形$DEFG$的边长为$x$，则$FG=x$，$AM = AH - x = 80 - x$。
∵ $FG // BC$，
∴ $△ AGF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{FG}{BC} = \frac{AM}{AH}$，代入得：
$\frac{x}{120} = \frac{80 - x}{80}$
解得 $x=48$。
(3) 设$GF=y$，由$GF=\frac{1}{2}DG$得$DG=2y$，则$AM = AH - DG = 80 - 2y$。
∵ $FG // BC$，$△ AGF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{GF}{BC} = \frac{AM}{AH}$，代入得：
$\frac{y}{120} = \frac{80 - 2y}{80}$
解得 $y=30$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形DEFG为正方形；
(2) 正方形DEFG的边长为$\boxed{48}$；
(3) GF的值为$\boxed{30}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的判定，矩形的性质
【点评】
本题融合了尺规作图、特殊四边形的判定与相似三角形的应用，既考查了基础的几何证明逻辑，也考查了利用相似三角形的比例关系列方程求解线段长度的能力，是几何综合类的典型习题，解题的关键是找准相似三角形对应边、对应高的比例关系。
【难度系数】
0.65
