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三、解答题
7. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，CD是边AB上的高，垂足为点D.若$AC=\sqrt{5}$，$BC=2$，求$\tan∠ ACD$的值.
7. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，CD是边AB上的高，垂足为点D.若$AC=\sqrt{5}$，$BC=2$，求$\tan∠ ACD$的值.
答案
解：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
∵ CD是边AB上的高，
∴ CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ACD = ∠B，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴ $\tan∠ ACD = \tan B = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
∵ CD是边AB上的高，
∴ CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ACD = ∠B，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴ $\tan∠ ACD = \tan B = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
要求$\tan∠ACD$的值，若直接在$Rt△ACD$中计算缺少对应边长条件，因此优先考虑角的等量转化。首先根据直角三角形两锐角互余的性质，可推出$∠A+∠B=90°$，再结合CD是AB边上的高，可得$∠A+∠ACD=90°$，根据同角的余角相等，就能得到$∠ACD=∠B$，所以只需要求出$Rt△ABC$中$\tan B$的值，即可得到$\tan∠ACD$的值。
【解析】
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠A + ∠B = 90°$，
$\because $CD是边AB上的高，
$\therefore CD⊥AB$，即$∠ADC=90°$，
$\therefore ∠A + ∠ACD = 90°$，
$\therefore ∠ACD = ∠B$，
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore \tan∠ ACD = \tan B = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
同角的余角相等；正切的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用类题目，解题的核心是通过角的性质将未知角转化为已知边长的直角三角形中的内角，简化了计算过程，避免了不必要的边长运算。
【难度系数】
0.7
要求$\tan∠ACD$的值，若直接在$Rt△ACD$中计算缺少对应边长条件，因此优先考虑角的等量转化。首先根据直角三角形两锐角互余的性质，可推出$∠A+∠B=90°$，再结合CD是AB边上的高，可得$∠A+∠ACD=90°$，根据同角的余角相等，就能得到$∠ACD=∠B$，所以只需要求出$Rt△ABC$中$\tan B$的值，即可得到$\tan∠ACD$的值。
【解析】
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠A + ∠B = 90°$，
$\because $CD是边AB上的高，
$\therefore CD⊥AB$，即$∠ADC=90°$，
$\therefore ∠A + ∠ACD = 90°$，
$\therefore ∠ACD = ∠B$，
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，
$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore \tan∠ ACD = \tan B = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
同角的余角相等；正切的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用类题目，解题的核心是通过角的性质将未知角转化为已知边长的直角三角形中的内角，简化了计算过程，避免了不必要的边长运算。
【难度系数】
0.7
8. 如图，某一水坝的横断面是四边形ABCD，其中AB//DC.坝顶宽CD＝3 m，坝高6 m，迎水坡BC的坡度$i_1＝1∶2$，背水坡AD的坡度$i_2＝1∶1$.求斜坡AD的坡角$∠A$和坝底宽AB.
答案
解：分别过点D、C作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F。
∵ AB//DC，
∴ 四边形DEFC是矩形，
∴ EF = CD = 3 m，DE = CF = 6 m。
∵ 背水坡AD的坡度$i_2=1:1$，
∴ $\tan∠ A = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{1} = 1$，
∴ $∠ A = 45°$，且$AE = DE = 6\ \mathrm{m}$。
∵ 迎水坡BC的坡度$i_1=1:2$，
∴ $\frac{CF}{FB} = \frac{1}{2}$，
∴ $FB = 2CF = 2×6 = 12\ \mathrm{m}$。
∴ $AB = AE + EF + FB = 6 + 3 + 12 = 21\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AD的坡角$∠ A$为$45°$，坝底宽AB为21 m。
∵ AB//DC，
∴ 四边形DEFC是矩形，
∴ EF = CD = 3 m，DE = CF = 6 m。
∵ 背水坡AD的坡度$i_2=1:1$，
∴ $\tan∠ A = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{1} = 1$，
∴ $∠ A = 45°$，且$AE = DE = 6\ \mathrm{m}$。
∵ 迎水坡BC的坡度$i_1=1:2$，
∴ $\frac{CF}{FB} = \frac{1}{2}$，
∴ $FB = 2CF = 2×6 = 12\ \mathrm{m}$。
∴ $AB = AE + EF + FB = 6 + 3 + 12 = 21\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AD的坡角$∠ A$为$45°$，坝底宽AB为21 m。
解析
【分析】
解决这道题首先想到梯形常用的辅助线作法：作高，我们过D、C分别向AB作垂线，就能将梯形分割为1个矩形和2个直角三角形，把已知条件转化到矩形和直角三角形中计算。首先明确坡度是铅直高度与水平宽度的比值，也等于对应坡角的正切值：先通过AD的坡度计算坡角∠A和AE的长度，再通过BC的坡度计算FB的长度，最后由矩形对边相等得到EF=CD，将三段长度相加即可得到坝底宽AB。
【解析】
分别过点D、C作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F。
∵ AB//DC，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴ 四边形DEFC是矩形，
∴ EF = CD = 3 m，DE = CF = 6 m。
∵ 背水坡AD的坡度$i_2=1:1$，即$\tan∠ A = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{1} = 1$，
∴ $∠ A = 45°$，且$AE = DE = 6\ \mathrm{m}$。
∵ 迎水坡BC的坡度$i_1=1:2$，即$\frac{CF}{FB} = \frac{1}{2}$，
∴ $FB = 2CF = 2×6 = 12\ \mathrm{m}$。
∴ $AB = AE + EF + FB = 6 + 3 + 12 = 21\ \mathrm{m}$。
【答案】
斜坡AD的坡角$∠A$为$45°$，坝底宽AB为$21\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 坡度与坡角
2. 解直角三角形
3. 梯形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是掌握坡度的定义，以及梯形作高的辅助线方法，将梯形问题转化为熟悉的矩形和直角三角形问题求解，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先想到梯形常用的辅助线作法：作高，我们过D、C分别向AB作垂线，就能将梯形分割为1个矩形和2个直角三角形，把已知条件转化到矩形和直角三角形中计算。首先明确坡度是铅直高度与水平宽度的比值，也等于对应坡角的正切值：先通过AD的坡度计算坡角∠A和AE的长度，再通过BC的坡度计算FB的长度，最后由矩形对边相等得到EF=CD，将三段长度相加即可得到坝底宽AB。
【解析】
分别过点D、C作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F。
∵ AB//DC，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴ 四边形DEFC是矩形，
∴ EF = CD = 3 m，DE = CF = 6 m。
∵ 背水坡AD的坡度$i_2=1:1$，即$\tan∠ A = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{1} = 1$，
∴ $∠ A = 45°$，且$AE = DE = 6\ \mathrm{m}$。
∵ 迎水坡BC的坡度$i_1=1:2$，即$\frac{CF}{FB} = \frac{1}{2}$，
∴ $FB = 2CF = 2×6 = 12\ \mathrm{m}$。
∴ $AB = AE + EF + FB = 6 + 3 + 12 = 21\ \mathrm{m}$。
【答案】
斜坡AD的坡角$∠A$为$45°$，坝底宽AB为$21\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 坡度与坡角
2. 解直角三角形
3. 梯形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是掌握坡度的定义，以及梯形作高的辅助线方法，将梯形问题转化为熟悉的矩形和直角三角形问题求解，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在矩形ABCD中,AB=15,BC=12,点E在边AD上,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在边AB上的点F处,求$\tan∠ AEF$的值.
答案
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=15，AD=BC=12，∠A=∠B=∠D=90°。
由折叠的性质可知：CF=CD=15，∠CFE=∠D=90°。
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$
∴ AF=AB-BF=15-9=6。
∵ ∠A=90°，
∴ ∠AEF + ∠AFE = 90°，
又∵ ∠CFE=90°，
∴ ∠AFE + ∠BFC = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠AEF = ∠BFC。
在Rt△BCF中，$\tan∠ BFC=\frac{BC}{BF}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，
∴ $\tan∠ AEF=\frac{4}{3}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=15，AD=BC=12，∠A=∠B=∠D=90°。
由折叠的性质可知：CF=CD=15，∠CFE=∠D=90°。
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$
∴ AF=AB-BF=15-9=6。
∵ ∠A=90°，
∴ ∠AEF + ∠AFE = 90°，
又∵ ∠CFE=90°，
∴ ∠AFE + ∠BFC = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠AEF = ∠BFC。
在Rt△BCF中，$\tan∠ BFC=\frac{BC}{BF}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，
∴ $\tan∠ AEF=\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
本题是矩形折叠与锐角三角函数结合的典型题，解题思路如下：首先回忆矩形和折叠的性质，得到对应边、对应角的相等关系；其次，直接求∠AEF的正切值需要先求其所在直角三角形的边长，计算较繁琐，我们可以通过“同角的余角相等”找到与∠AEF相等的角∠BFC，将问题转化为求∠BFC的正切值；最后在Rt△BCF中用勾股定理求出BF的长度，即可计算出对应正切值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=15，AD=BC=12，∠A=∠B=∠D=90°。
由折叠的性质可知：CF=CD=15，∠CFE=∠D=90°。
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$
∴ AF=AB-BF=15-9=6。
∵ ∠A=90°，
∴ ∠AEF + ∠AFE = 90°，
又
∵ ∠CFE=90°，
∴ ∠AFE + ∠BFC = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠AEF = ∠BFC。
在Rt△BCF中，$\tan∠ BFC=\frac{BC}{BF}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，
∴ $\tan∠ AEF=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于折叠类的常规综合题，解题的核心是利用等角转化的思想，把未知角的三角函数值转化为易求的直角三角形内对应角的三角函数值，避免了额外设未知数列方程计算的繁琐，对同学们的角度转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是矩形折叠与锐角三角函数结合的典型题，解题思路如下：首先回忆矩形和折叠的性质，得到对应边、对应角的相等关系；其次，直接求∠AEF的正切值需要先求其所在直角三角形的边长，计算较繁琐，我们可以通过“同角的余角相等”找到与∠AEF相等的角∠BFC，将问题转化为求∠BFC的正切值；最后在Rt△BCF中用勾股定理求出BF的长度，即可计算出对应正切值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=15，AD=BC=12，∠A=∠B=∠D=90°。
由折叠的性质可知：CF=CD=15，∠CFE=∠D=90°。
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$
∴ AF=AB-BF=15-9=6。
∵ ∠A=90°，
∴ ∠AEF + ∠AFE = 90°，
又
∵ ∠CFE=90°，
∴ ∠AFE + ∠BFC = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠AEF = ∠BFC。
在Rt△BCF中，$\tan∠ BFC=\frac{BC}{BF}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，
∴ $\tan∠ AEF=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于折叠类的常规综合题，解题的核心是利用等角转化的思想，把未知角的三角函数值转化为易求的直角三角形内对应角的三角函数值，避免了额外设未知数列方程计算的繁琐，对同学们的角度转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
