1. 已知抛物线$y=x^2 -2x -3$，下列各点不在该抛物线上的是().

A.$(0, -3)$
B.$(-3, 0)$
C.$(3, 0)$
D.$(\sqrt{2}, -1 -2\sqrt{2})$

B

【分析】
判断点是否在抛物线上的核心方法是：将点的横坐标代入抛物线解析式，计算得到对应的函数值，若计算结果与点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。解题时只需将四个选项的横坐标依次代入解析式逐一验证即可。
【解析】
将各选项横坐标依次代入抛物线解析式$y=x^2 -2x -3$验证：
1. 验证A选项：当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$，与点$(0,-3)$的纵坐标一致，故A点在抛物线上，不符合题意；
2. 验证B选项：当$x=-3$时，$y=(-3)^2-2×(-3)-3=9+6-3=12≠0$，与点$(-3,0)$的纵坐标不一致，故B点不在抛物线上，符合题意；
3. 验证C选项：当$x=3$时，$y=3^2-2×3-3=9-6-3=0$，与点$(3,0)$的纵坐标一致，故C点在抛物线上，不符合题意；
4. 验证D选项：当$x=\sqrt{2}$时，$y=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}-3=2-2\sqrt{2}-3=-1-2\sqrt{2}$，与点$(\sqrt{2}, -1 -2\sqrt{2})$的纵坐标一致，故D点在抛物线上，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数求值
【点评】
本题属于基础题，考查判断点是否在函数图象上的通用方法，熟练掌握代入验证的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 已知点$(-1, y_1)$，$(3, y_2)$，$(\dfrac{1}{2}, y_3)$在函数$y=x^2+2x+1+m$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是().

A.$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B.$y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$
C.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
D.$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$

B

【分析】
要比较二次函数上三个点的纵坐标大小，可利用二次函数的性质解题，思路如下：首先明确对于开口方向确定的二次函数，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值的大小变化规律固定；第一步先将二次函数解析式配方，确定开口方向和对称轴；第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离；第三步结合开口方向和距离大小，即可比较出三个y值的大小。
【解析】
首先对函数解析式配方变形：
$y=x^2+2x+1+m=(x+1)^2+m$
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，且在对称轴处函数取得最小值。
因此横坐标为$-1$的点对应函数值最小，即$y_1$最小。
再计算另外两个点到对称轴$x=-1$的距离：
点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$\vert3 - (-1)\vert=4$
点$(\frac{1}{2},y_3)$到对称轴的距离：$\vert\frac{1}{2} - (-1)\vert=\frac{3}{2}$
∵ 开口向上的抛物线，点离对称轴越远，对应的函数值越大，且$4＞\frac{3}{2}$
∴ $y_2＞y_3$
综上可得$y_2＞y_3＞y_1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数对称轴求法
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，无需代入计算具体数值，通过确定开口方向、对称轴，比较点到对称轴的距离即可快速判断函数值大小，解题方法简便高效。
【难度系数】
0.8

3. 抛物线 $ y = ax^2 + bx $ 和直线 $ y = ax + b $ 在同一坐标系内的图象可能是().

$\boxed{D}$

【分析】
本题是二次函数与一次函数图像共存的判断问题，解题采用逐一排除法：①先根据二次项系数$a$的符号，判断抛物线开口方向与一次函数斜率是否一致，排除$a$符号矛盾的选项；②再结合抛物线对称轴位置推导$b$的符号，验证与一次函数和$y$轴交点对应的$b$符号是否一致，最终选出符合要求的选项。
【解析】
结合两个函数的系数性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：抛物线$y=ax^2+bx$开口向下，可得$a＜0$；直线$y=ax+b$呈上升趋势，斜率为正，可得$a＞0$，二者$a$的符号矛盾，排除A。
2. 分析选项B：抛物线开口向下，得$a＜0$；直线呈下降趋势，斜率为负，$a$符号一致。再看抛物线对称轴，公式为$x=-\frac{b}{2a}$，图中对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，代入$a＜0$可推出$b＞0$；但直线与$y$轴交于负半轴，得$b＜0$，二者$b$的符号矛盾，排除B。
3. 分析选项C：抛物线开口向上，得$a＞0$；直线呈下降趋势，斜率为负，得$a＜0$，二者$a$的符号矛盾，排除C。
4. 分析选项D：抛物线开口向上，得$a＞0$；直线呈上升趋势，斜率为正，$a$符号一致。抛物线对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，代入$a＞0$可推出$b＜0$；直线与$y$轴交于负半轴，得$b＜0$，$b$符号也一致，符合要求。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
二次函数图象性质；一次函数图象性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断类的典型题型，解题核心是抓住同类系数在不同函数中的符号一致性，通过$a$的符号关联两个函数的走势，再结合对称轴、截距判断$b$的符号即可快速解题。
【难度系数】
0.7

4. 函数$y=-x^2+4x+3$的图象开口向，顶点坐标是，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。

解：
对于二次函数$y=-x^2+4x+3$，
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 函数图象开口向下。
对函数解析式配方变形：
$y=-x^2+4x+3=-(x^2-4x)+3=-(x-2)^2+7$，
$\therefore$ 顶点坐标为$(2,7)$，对称轴为直线$x=2$。
$\because$ 抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案依次为：下；$(2,7)$；$＜2$；$＞2$。

【分析】
解决本题可按照以下思路逐步推导：1. 先通过二次项系数a的符号判断抛物线的开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下；2. 利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标和对称轴；3. 结合开口方向与对称轴分析函数的增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+4x+3$：
1. 判断开口方向：
$\because$ 二次项系数$a=-1＜0$，
$\therefore$ 函数图象开口向下。
2. 求顶点坐标与对称轴：
对解析式配方变形：
$y=-x^2+4x+3$
$=-(x^2-4x)+3$
$=-(x^2-4x+4-4)+3$
$=-(x-2)^2+4+3$
$=-(x-2)^2+7$，
$\therefore$ 顶点坐标为$(2,7)$，对称轴为直线$x=2$。
3. 分析增减性：
$\because$ 抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
下；$(2,7)$；$＜2$；$＞2$
【知识点】
二次函数的图象性质；配方法化顶点式；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题的核心是熟练掌握二次函数开口方向、顶点坐标的判断方法，以及结合开口方向和对称轴分析函数增减性的规律，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8

5. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数且$a≠0),x$与$y$的部分对应值如下表：

该抛物线的对称轴是直线。

$\boldsymbol{x=\frac{3}{2}}$（或$x=1.5$）

【分析】
解题思路可以从两个方向出发：①利用二次函数的对称性：抛物线是轴对称图形，纵坐标相等的两个点在抛物线上关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标和的一半；②利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算。观察表格可发现$x=0$和$x=3$时$y$值均为3，用第一种方法更简便。
【解析】
方法一：观察表格可知，当$x=0$和$x=3$时，对应的函数值$y$都为3，即点$(0,3)$和$(3,3)$是抛物线上的一组对称点。
根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴为这组对称点横坐标的平均值，即：
$x=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$
方法二：用待定系数法求解析式计算：
将$(-1,-1)$、$(0,3)$、$(1,5)$代入$y=ax^2+bx+c$：
①当$x=0$时，$y=c=3$，得$c=3$；
②代入$x=-1$：$a-b+3=-1$，整理得$a-b=-4$；
③代入$x=1$：$a+b+3=5$，整理得$a+b=2$；
联立方程解得$a=-1$，$b=3$，即二次函数解析式为$y=-x^2+3x+3$。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{3}{2×(-1)}=\frac{3}{2}$
综上，抛物线的对称轴是直线$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{x=\frac{3}{2}}$（或$x=1.5$）
【知识点】
1.二次函数的对称性
2.二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，利用对称点求解对称轴是最快的解题技巧，也可通过求解析式计算，解题时可优先观察表格中相等的函数值，借助对称性简化计算。
【难度系数】
0.8

6. 右图是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象，对称轴是直线$x=-1$.有下列结论：①$abc＜0$；②$2a+b=0$；③$a-b+c＞0$；④$4a-2b+c＜0$.其中正确的是.(填序号)

解：
由二次函数图象可知：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，即$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a＞0$；
3. 抛物线与$y$轴交于负半轴，故$c＜0$。
逐一判断结论：
① 因为$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，所以$abc＜0$，结论①正确；
② 由$b=2a$得$2a-b=0$，$2a+b=4a＞0$，故$2a+b=0$不成立，结论②错误；
③ 当$x=-1$时，代入函数得$y=a-b+c$，由图象可知顶点在$x$轴下方，此时$y＜0$，即$a-b+c＜0$，结论③错误；
④ 由对称轴$x=-1$可知，$x=-2$与$x=0$的函数值相等，$x=0$时$y=c＜0$，因此$x=-2$时$y=4a-2b+c＜0$，结论④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①④}$。

【分析】
要解决这类二次函数图象判断结论的问题，首先从图象提取三个关键信息：①开口方向判断a的正负；②通过对称轴公式推导a和b的数量关系、判断b的正负；③抛物线与y轴交点判断c的正负。再逐个分析每个结论：系数乘积类结论直接代入三个系数的符号判断；含a、b的等式类结论用对称轴推导的关系验证；含a、b、c的代数式正负判断，转化为对应x值的函数值，结合图象或对称性判断即可。
【解析】
首先根据图象获取基础信息：
1. 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a＞0$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$。
逐一判断4个结论：
① 由$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，可得$abc＜0$，故①正确；
② 由$b=2a$可得$2a-b=0$，因此$2a+b=4a＞0$，$2a+b=0$不成立，故②错误；
③ 当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a-b+c$，由图象可知$x=-1$对应的顶点在x轴下方，此时$y＜0$，即$a-b+c＜0$，故③错误；
④ 由对称轴为$x=-1$可知，$x=-2$和$x=0$关于对称轴对称，二者函数值相等；当$x=0$时$y=c＜0$，因此$x=-2$时$y=4a-2b+c＜0$，故④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①④}$
【知识点】
二次函数图像性质，二次函数对称轴公式，二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的常考题型，需要结合图象直观提取信息，灵活运用二次函数的相关性质分析结论，重点考察数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7