三、解答题
7. 用配方法将下列函数化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式，并指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，画出函数图象.
(1) $y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$;
(2) $y=(1-x)(1+2x)$.

解：
(1) 对函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$配方：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x^2 -4x) +3\\&=\frac{1}{2}(x^2 -4x +4 -4) +3\\&=\frac{1}{2}(x-2)^2 - 2 +3\\&=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1\end{aligned}$
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,1)$。
可通过取点$(0,3),(1,\frac{3}{2}),(2,1),(3,\frac{3}{2}),(4,3)$描点连线，得到对应的抛物线图象。
(2) 先展开函数得：
$y=(1-x)(1+2x)=-2x^2 +x +1$，再配方：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2 -\frac{1}{2}x) +1\\&=-2(x^2 -\frac{1}{2}x +\frac{1}{16} -\frac{1}{16}) +1\\&=-2(x-\frac{1}{4})^2 +\frac{1}{8} +1\\&=-2(x-\frac{1}{4})^2 +\frac{9}{8}\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=\frac{1}{4}$，顶点坐标为$(\frac{1}{4},\frac{9}{8})$。
可通过取点$(-\frac{1}{2},0),(0,1),(\frac{1}{4},\frac{9}{8}),(1,0),(\frac{3}{2},-2)$描点连线，得到对应的抛物线图象。

【分析】
本题需先将二次函数化为顶点式，再根据顶点式判断抛物线性质、绘制图象，解题思路如下：1. 处理函数解析式：第(1)问已是一般式，直接提取二次项系数，对x的二次项和一次项凑完全平方，注意凑平方时新增的常数项要同步抵消，保证原式值不变；第(2)问先将乘积式展开整理为一般式，再用相同方法配方。2. 分析抛物线性质：顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，a的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。3. 绘制图象：选取顶点、对称轴两侧对称点、与坐标轴交点等特殊点，描点连线得到抛物线即可。
【解析】
(1) 对函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$配方：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x^2 -4x) +3\\&=\frac{1}{2}(x^2 -4x +4 -4) +3\\&=\frac{1}{2}(x-2)^2 - 2 +3\\&=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1\end{aligned}$
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,1)$。
可通过取点$(0,3),(1,\frac{3}{2}),(2,1),(3,\frac{3}{2}),(4,3)$描点连线，得到对应的抛物线图象。
(2) 先展开函数得：
$y=(1-x)(1+2x)=-2x^2 +x +1$，再配方：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2 -\frac{1}{2}x) +1\\&=-2(x^2 -\frac{1}{2}x +\frac{1}{16} -\frac{1}{16}) +1\\&=-2(x-\frac{1}{4})^2 +\frac{1}{8} +1\\&=-2(x-\frac{1}{4})^2 +\frac{9}{8}\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=\frac{1}{4}$，顶点坐标为$(\frac{1}{4},\frac{9}{8})$。
可通过取点$(-\frac{1}{2},0),(0,1),(\frac{1}{4},\frac{9}{8}),(1,0),(\frac{3}{2},-2)$描点连线，得到对应的抛物线图象。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1$，开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,1)$；
(2) $y=-2(x-\frac{1}{4})^2 +\frac{9}{8}$，开口向下，对称轴为直线$x=\frac{1}{4}$，顶点坐标为$(\frac{1}{4},\frac{9}{8})$；
图象可通过取对应特殊点描点连线得到。
【知识点】
配方法化顶点式，二次函数的性质，二次函数图象绘制
【点评】
本题属于二次函数的基础核心题型，主要考查配方法的规范操作和二次函数基本性质的应用，解题时需注意配方过程中常数项的符号和系数计算，避免出错，熟练掌握该题型是学习二次函数后续内容的重要基础。
【难度系数】
0.75

8. 已知抛物线 $y=4x^2 -24x +26.$
（1）当 $x$ 为何值时，$y$ 有最值；
（2）当 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，求 $x$ 的取值范围；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，试写出新抛物线对应的函数表达式.

解：
先将抛物线解析式化为顶点式：
$y=4x^2-24x+26=4(x^2-6x)+26=4(x-3)^2-10$
（1）$\because a=4＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 当$x=3$时，$y$有最小值，最小值为$-10$。
（2）$\because$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$，
$\therefore$ 当$y$随$x$的增大而减小时，$x$的取值范围是$x＜3$。
（3）根据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规则，
将原抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
新抛物线对应的函数表达式为：
$y=4(x-3-2)^2-10+2=4(x-5)^2-8$，
即$y=4x^2-40x+92$。

【分析】
本题考查二次函数的性质与图象平移，解题时先将二次函数的一般式化为顶点式，方便获取对称轴、顶点坐标等关键信息：①求最值时，根据二次项系数a的正负判断开口方向，开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值，最值对应的x为顶点横坐标；②判断增减性时，结合开口方向和对称轴，开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，开口向下则相反；③平移时遵循“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的规律，对顶点式进行变换即可得到新解析式。
【解析】
先将抛物线解析式化为顶点式：
$y=4x^2-24x+26=4(x^2-6x)+26=4(x-3)^2-10$
（1）$\because a=4＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 当$x=3$时，$y$有最小值，最小值为$-10$。
（2）$\because$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$，
$\therefore$ 当$y$随$x$的增大而减小时，$x$的取值范围是$x＜3$。
（3）根据抛物线平移“左加右减，上加下减”的规则，
将原抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
新抛物线对应的函数表达式为：
$y=4(x-3-2)^2-10+2=4(x-5)^2-8$，
即$y=4x^2-40x+92$。
【答案】
（1）当$x=3$时，$y$有最小值；
（2）$x＜3$；
（3）$y=4(x-5)^2-8$（或$y=4x^2-40x+92$）
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的增减性；二次函数图象的平移
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心解题前提是将一般式转化为顶点式，从而快速得到对称轴、顶点坐标等核心要素，平移时要注意“左加右减”仅作用于自变量x，不要混淆运算位置。
【难度系数】
0.8

9. 教师给出关于$x$的函数$y=2kx^2-(4k+1)x -k +1$（$k$是实数）.请学生独立思考,并把与该函数有关的结论写到黑板上.学生在黑板上写了一些结论,教师从中选出以下四个:
① 存在函数,其图象经过点$(1, 0)$;
② 函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;
③ 当$x ＞ 1$时,不是$y$随$x$的增大而增大就是$y$随$x$的增大而减小;
④ 若函数有最大值,则最大值为正数,若函数有最小值,则最小值为负数.
请分别判断四个结论的真假,并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学思想方法.

解：
① 结论①为真命题。
理由：将点$(1,0)$代入函数解析式，得$0=2k·1^2-(4k+1)·1 -k +1$，化简得$-3k=0$，解得$k=0$。
当$k=0$时，函数为$y=-x+1$，图象过点$(1,0)$，因此存在满足条件的函数。
② 结论②为假命题。
理由：当$k=0$时，函数为一次函数$y=-x+1$，其图象与坐标轴仅交于$(1,0)$、$(0,1)$两个点，不存在三个不同交点，因此该结论不成立。
③ 结论③为假命题。
理由：当$k≠0$时，该函数为二次函数，图象的对称轴为直线$x=\frac{4k+1}{4k}=1+\frac{1}{4k}$。
取$k=\frac{1}{4}$，此时对称轴为直线$x=2$，函数开口向上，当$1＜x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x＞1$时，$y$不是单纯随$x$增大而增大或减小，结论不成立。
④ 结论④为真命题。
理由：若函数有最大值或最小值，则函数为二次函数，$k≠0$。
二次函数的最值为：
$y_{最值}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4· 2k·(-k+1)-(4k+1)^2}{4· 2k}=\frac{-24k^2-1}{8k}$
当函数有最大值时，二次函数开口向下，即$2k＜0$，$k＜0$，此时$y_{最值}=\frac{-(24k^2+1)}{8k}＞0$，最大值为正数；
当函数有最小值时，二次函数开口向上，即$2k＞0$，$k＞0$，此时$y_{最值}=\frac{-(24k^2+1)}{8k}＜0$，最小值为负数。
所用数学思想方法：分类讨论思想、反例验证法、数形结合思想。

【分析】
解题时首先注意函数解析式中参数k是任意实数，因此要先分k=0（函数为一次函数）和k≠0（函数为二次函数）两种情况讨论：
1. 判断结论①：将点(1,0)代入函数解析式，解关于k的方程，若有解则结论为真；
2. 判断结论②：通过举反例，取k=0得到一次函数，分析其与坐标轴的交点个数即可证伪；
3. 判断结论③：先求二次函数的对称轴，取合适的k值使对称轴大于1，此时x＞1的区间会被对称轴分成增减性不同的两段，即可证伪；
4. 判断结论④：利用二次函数最值公式计算最值，再分开口向上（k＞0，有最小值）和开口向下（k＜0，有最大值）两种情况判断最值的正负即可。
【解析】
① 结论①为真命题。
理由：将点$(1, 0)$代入函数解析式，得$0=2k·1^2-(4k+1)·1 -k +1$，化简得$-3k=0$，解得$k=0$。
当$k=0$时，函数为$y=-x+1$，图象过点$(1,0)$，因此存在满足条件的函数。
② 结论②为假命题。
理由：当$k=0$时，函数为一次函数$y=-x+1$，其图象与坐标轴仅交于$(1,0)$、$(0,1)$两个点，不存在三个不同交点，因此该结论不成立。
③ 结论③为假命题。
理由：当$k≠0$时，该函数为二次函数，图象的对称轴为直线$x=\frac{4k+1}{4k}=1+\frac{1}{4k}$。
取$k=\frac{1}{4}$，此时对称轴为直线$x=2$，函数开口向上，当$1＜x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x＞1$时，$y$不是单纯随$x$增大而增大或减小，结论不成立。
④ 结论④为真命题。
理由：若函数有最大值或最小值，则函数为二次函数，$k≠0$。
二次函数的最值为：
$y_{最值}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4· 2k·(-k+1)-(4k+1)^2}{4· 2k}=\frac{-24k^2-1}{8k}$
当函数有最大值时，二次函数开口向下，即$2k＜0$，$k＜0$，此时$y_{最值}=\frac{-(24k^2+1)}{8k}＞0$，最大值为正数；
当函数有最小值时，二次函数开口向上，即$2k＞0$，$k＞0$，此时$y_{最值}=\frac{-(24k^2+1)}{8k}＜0$，最小值为负数。
所用数学思想方法：分类讨论思想、反例验证法、数形结合思想。
【答案】
①真命题，②假命题，③假命题，④真命题；所用数学思想方法为分类讨论思想、反例验证法、数形结合思想。
【知识点】
一次函数的性质，二次函数的图象与性质，命题真假判断
【点评】
本题围绕含参数的函数解析式展开，重点考查对一次函数、二次函数性质的掌握，解题时需注意对参数分类讨论，避免忽略k=0时函数为一次函数的特殊情况，假命题可通过举反例快速判断，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6