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1. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$x=1$时，$y$有最大值5，且它的图象经过点$(2,3)$，则函数表达式为().
A.$y=-2x^2-4x+3$
B.$y=-2x^2+4x+3$
C.$y=2x^2-4x+3$
D.$y=2x^2+4x-3$
A.$y=-2x^2-4x+3$
B.$y=-2x^2+4x+3$
C.$y=2x^2-4x+3$
D.$y=2x^2+4x-3$
答案
B
解析
【分析】
解题时可以从已知条件入手：首先，二次函数当x=1时有最大值5，说明抛物线开口向下（a＜0），且顶点坐标为(1,5)，我们可以优先选择顶点式设函数表达式，再代入已知点(2,3)求出未知系数a，最后转化为一般式匹配选项；也可以用排除法快速筛选：先根据a＜0排除开口向上的选项，再结合对称轴x=1验证剩余选项即可。
【解析】
方法1：顶点式求解
∵ 当x=1时，y有最大值5，
∴ 二次函数的顶点坐标为(1,5)，且开口向下（a＜0），
设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2+5$（$a≠0$），
将点$(2,3)$代入解析式得：
$3=a(2-1)^2+5$，
解得$a=-2$，
∴ 函数表达式为$y=-2(x-1)^2+5$，
展开得：$y=-2(x^2-2x+1)+5=-2x^2+4x+3$。
方法2：排除法求解
① 二次函数有最大值，说明开口向下，即$a＜0$，排除C、D选项（C、D中a=2＞0）；
② 二次函数顶点横坐标为对称轴，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，
代入A选项：$a=-2,b=-4$，对称轴$x=-\frac{-4}{2×(-2)}=-1≠1$，排除A；
验证B选项：代入x=2得$y=-2×2^2+4×2+3=3$，符合过点(2,3)的条件。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题解题方法灵活，既可以用待定系数法通过顶点式直接求解，也可以结合二次函数性质用排除法快速得到答案，核心是掌握二次函数最值与顶点、开口方向的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时可以从已知条件入手：首先，二次函数当x=1时有最大值5，说明抛物线开口向下（a＜0），且顶点坐标为(1,5)，我们可以优先选择顶点式设函数表达式，再代入已知点(2,3)求出未知系数a，最后转化为一般式匹配选项；也可以用排除法快速筛选：先根据a＜0排除开口向上的选项，再结合对称轴x=1验证剩余选项即可。
【解析】
方法1：顶点式求解
∵ 当x=1时，y有最大值5，
∴ 二次函数的顶点坐标为(1,5)，且开口向下（a＜0），
设二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2+5$（$a≠0$），
将点$(2,3)$代入解析式得：
$3=a(2-1)^2+5$，
解得$a=-2$，
∴ 函数表达式为$y=-2(x-1)^2+5$，
展开得：$y=-2(x^2-2x+1)+5=-2x^2+4x+3$。
方法2：排除法求解
① 二次函数有最大值，说明开口向下，即$a＜0$，排除C、D选项（C、D中a=2＞0）；
② 二次函数顶点横坐标为对称轴，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，
代入A选项：$a=-2,b=-4$，对称轴$x=-\frac{-4}{2×(-2)}=-1≠1$，排除A；
验证B选项：代入x=2得$y=-2×2^2+4×2+3=3$，符合过点(2,3)的条件。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题解题方法灵活，既可以用待定系数法通过顶点式直接求解，也可以结合二次函数性质用排除法快速得到答案，核心是掌握二次函数最值与顶点、开口方向的对应关系。
【难度系数】
0.8
2. 如果抛物线$y=(x-h)^2 +k$的对称轴为$x=1$，经过点$(2,-6)$，那么该抛物线对应的函数表达式为().
A.$y=(x-1)^2 +7$
B.$y=(x-1)^2 -7$
C.$y=(x+1)^2 +7$
D.$y=(x+1)^2 -7$
$y\uparrow$
A.$y=(x-1)^2 +7$
B.$y=(x-1)^2 -7$
C.$y=(x+1)^2 +7$
D.$y=(x+1)^2 -7$
$y\uparrow$
答案
B
解析
【分析】
要确定该抛物线的函数表达式，需先明确顶点式$y=(x-h)^2+k$中参数的意义：抛物线的对称轴为直线$x=h$，因此可先根据已知对称轴求出$h$的值，再将抛物线经过的点坐标代入表达式求出$k$的值，即可得到完整的函数表达式，匹配对应选项。
【解析】
1. 求参数$h$的值：
对于顶点式抛物线$y=(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$。已知该抛物线对称轴为$x=1$，因此$h=1$，此时抛物线表达式可写为$y=(x-1)^2+k$。
2. 求参数$k$的值：
已知抛物线经过点$(2,-6)$，将$x=2$，$y=-6$代入$y=(x-1)^2+k$得：
$-6=(2-1)^2 +k$
计算得$-6=1+k$，解得$k=-7$。
3. 确定函数表达式：
将$h=1$、$k=-7$代入顶点式，得函数表达式为$y=(x-1)^2 -7$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式中参数的几何意义，解题的关键是先利用对称轴确定$h$的取值，再代入已知点求解$k$，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要确定该抛物线的函数表达式，需先明确顶点式$y=(x-h)^2+k$中参数的意义：抛物线的对称轴为直线$x=h$，因此可先根据已知对称轴求出$h$的值，再将抛物线经过的点坐标代入表达式求出$k$的值，即可得到完整的函数表达式，匹配对应选项。
【解析】
1. 求参数$h$的值：
对于顶点式抛物线$y=(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$。已知该抛物线对称轴为$x=1$，因此$h=1$，此时抛物线表达式可写为$y=(x-1)^2+k$。
2. 求参数$k$的值：
已知抛物线经过点$(2,-6)$，将$x=2$，$y=-6$代入$y=(x-1)^2+k$得：
$-6=(2-1)^2 +k$
计算得$-6=1+k$，解得$k=-7$。
3. 确定函数表达式：
将$h=1$、$k=-7$代入顶点式，得函数表达式为$y=(x-1)^2 -7$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式中参数的几何意义，解题的关键是先利用对称轴确定$h$的取值，再代入已知点求解$k$，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3. 如图，抛物线$y=x^2 -bx +c$交x轴于点A(1, 0)，交y轴于点B，对称轴是直线$x=2$. P是抛物线对称轴上的一个动点，则$△ ABP$周长的最小值是().
A.$\sqrt{10}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2} + 2$
D.$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$
A.$\sqrt{10}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2} + 2$
D.$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$
答案
D
解析
【分析】
要解决△ABP周长最小值的问题，首先明确△ABP的周长=AB+AP+BP，其中AB是固定长度的线段，因此只需让AP+BP的和最小即可得到最小周长。根据抛物线的对称性，点A关于对称轴x=2的对称点是抛物线与x轴的另一交点C，因此AP=CP，可将AP+BP转化为CP+BP，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，CP+BP取得最小值，即线段BC的长度。接下来只需先求出抛物线解析式，得到点B、C的坐标，再用勾股定理计算AB和BC的长度，相加即可得到最小周长。
【解析】
1. 求抛物线的系数：
抛物线$y=x^2-bx+c$的对称轴为直线$x=2$，由对称轴公式$x=\frac{b}{2}=2$，解得$b=4$。
将点A(1,0)代入$y=x^2-4x+c$，得$1-4+c=0$，解得$c=3$，因此抛物线解析式为$y=x^2-4x+3$。
2. 求点B、C的坐标：
令$x=0$，代入解析式得$y=3$，因此点B坐标为(0,3)。
点A(1,0)关于对称轴$x=2$的对称点为C，因此C点横坐标为$2×2-1=3$，纵坐标为0，即C(3,0)。
3. 计算线段长度：
由勾股定理，$AB=\sqrt{(1-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$；
当B、P、C共线时，$AP+BP=CP+BP$取得最小值，最小值为$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$。
4. 计算最小周长：
△ABP的最小周长为$AB+BC=\sqrt{10}+3\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题结合二次函数对称性和最短路径模型考查，解题核心是利用对称将动态线段和转化为两点间线段长度，属于二次函数综合基础题，掌握将军饮马模型和二次函数对称性是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要解决△ABP周长最小值的问题，首先明确△ABP的周长=AB+AP+BP，其中AB是固定长度的线段，因此只需让AP+BP的和最小即可得到最小周长。根据抛物线的对称性，点A关于对称轴x=2的对称点是抛物线与x轴的另一交点C，因此AP=CP，可将AP+BP转化为CP+BP，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，CP+BP取得最小值，即线段BC的长度。接下来只需先求出抛物线解析式，得到点B、C的坐标，再用勾股定理计算AB和BC的长度，相加即可得到最小周长。
【解析】
1. 求抛物线的系数：
抛物线$y=x^2-bx+c$的对称轴为直线$x=2$，由对称轴公式$x=\frac{b}{2}=2$，解得$b=4$。
将点A(1,0)代入$y=x^2-4x+c$，得$1-4+c=0$，解得$c=3$，因此抛物线解析式为$y=x^2-4x+3$。
2. 求点B、C的坐标：
令$x=0$，代入解析式得$y=3$，因此点B坐标为(0,3)。
点A(1,0)关于对称轴$x=2$的对称点为C，因此C点横坐标为$2×2-1=3$，纵坐标为0，即C(3,0)。
3. 计算线段长度：
由勾股定理，$AB=\sqrt{(1-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$；
当B、P、C共线时，$AP+BP=CP+BP$取得最小值，最小值为$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$。
4. 计算最小周长：
△ABP的最小周长为$AB+BC=\sqrt{10}+3\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题结合二次函数对称性和最短路径模型考查，解题核心是利用对称将动态线段和转化为两点间线段长度，属于二次函数综合基础题，掌握将军饮马模型和二次函数对称性是解题的关键。
【难度系数】
0.6
4. 试写出一个开口向上，对称轴为直线$x=-2$，且与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$的抛物线对应的函数表达式.
答案
解：
设抛物线的函数表达式为$y=a(x+2)^2 + k$（$a＞0$），
取$a=1$，将点$(0,3)$代入表达式得：
$3 = 1×(0+2)^2 +k$，
解得$k=-1$，
整理得函数表达式为$y=x^2+4x+3$。
（答案不唯一，满足条件即可）
设抛物线的函数表达式为$y=a(x+2)^2 + k$（$a＞0$），
取$a=1$，将点$(0,3)$代入表达式得：
$3 = 1×(0+2)^2 +k$，
解得$k=-1$，
整理得函数表达式为$y=x^2+4x+3$。
（答案不唯一，满足条件即可）
解析
【分析】
解题时优先选择二次函数的顶点式求解，思路如下：① 开口向上说明二次项系数$a＞0$；② 对称轴为直线$x=-2$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$中$h=-2$，因此可设解析式为$y=a(x+2)^2+k$（$a＞0$）；③ 为计算简便，可取$a=1$，再将抛物线与$y$轴的交点$(0,3)$代入解析式，即可求出$k$的值，整理后得到符合要求的函数表达式，因$a$的取值不唯一，故答案不唯一。
【解析】
设抛物线的函数表达式为$y=a(x+2)^2 + k$（$a＞0$），
取$a=1$，将点$(0,3)$代入表达式得：
$3 = 1×(0+2)^2 +k$，
解得$k=-1$，
因此解析式为$y=(x+2)^2-1$，整理得函数表达式为$y=x^2+4x+3$。
（答案不唯一，满足条件即可）
【答案】
$y=x^2+4x+3$（答案不唯一，符合条件即可）
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对二次函数顶点式的理解和运用，解题时根据已知条件选择合适的解析式形式可简化计算，注意不要忽略开口向上对应的$a＞0$的限制条件。
【难度系数】
0.8
解题时优先选择二次函数的顶点式求解，思路如下：① 开口向上说明二次项系数$a＞0$；② 对称轴为直线$x=-2$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$中$h=-2$，因此可设解析式为$y=a(x+2)^2+k$（$a＞0$）；③ 为计算简便，可取$a=1$，再将抛物线与$y$轴的交点$(0,3)$代入解析式，即可求出$k$的值，整理后得到符合要求的函数表达式，因$a$的取值不唯一，故答案不唯一。
【解析】
设抛物线的函数表达式为$y=a(x+2)^2 + k$（$a＞0$），
取$a=1$，将点$(0,3)$代入表达式得：
$3 = 1×(0+2)^2 +k$，
解得$k=-1$，
因此解析式为$y=(x+2)^2-1$，整理得函数表达式为$y=x^2+4x+3$。
（答案不唯一，满足条件即可）
【答案】
$y=x^2+4x+3$（答案不唯一，符合条件即可）
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对二次函数顶点式的理解和运用，解题时根据已知条件选择合适的解析式形式可简化计算，注意不要忽略开口向上对应的$a＞0$的限制条件。
【难度系数】
0.8
5. 若一抛物线形状与$y=-5x^2+2$相同，顶点坐标是$(4,-2)$，则其对应的函数表达式为。
答案
解：
∵抛物线形状与$y=-5x^2+2$相同，
∴所求抛物线二次项系数的绝对值$|a|=|-5|=5$，即$a=5$或$a=-5$。
又∵抛物线顶点坐标为$(4,-2)$，
∴设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2-2$，
将$a=5$、$a=-5$分别代入得：
当$a=-5$时，$y=-5(x-4)^2-2$，整理得$y=-5x^2+40x-82$；
当$a=5$时，$y=5(x-4)^2-2$，整理得$y=5x^2-40x+78$。
故答案为：$\boldsymbol{y=-5(x-4)^2-2}$或$\boldsymbol{y=5(x-4)^2-2}$。
∵抛物线形状与$y=-5x^2+2$相同，
∴所求抛物线二次项系数的绝对值$|a|=|-5|=5$，即$a=5$或$a=-5$。
又∵抛物线顶点坐标为$(4,-2)$，
∴设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2-2$，
将$a=5$、$a=-5$分别代入得：
当$a=-5$时，$y=-5(x-4)^2-2$，整理得$y=-5x^2+40x-82$；
当$a=5$时，$y=5(x-4)^2-2$，整理得$y=5x^2-40x+78$。
故答案为：$\boldsymbol{y=-5(x-4)^2-2}$或$\boldsymbol{y=5(x-4)^2-2}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的性质：抛物线的形状仅由二次项系数的绝对值决定，形状相同说明两个抛物线的二次项系数绝对值相等，因此先确定a的取值有两种可能；题目已给出顶点坐标，适合选用二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）设解析式，再将a的两个取值分别代入，即可得到对应的函数表达式。
【解析】
∵抛物线形状与$y=-5x^2+2$相同，
∴所求抛物线二次项系数的绝对值$|a|=|-5|=5$，即$a=5$或$a=-5$。
又
∵抛物线顶点坐标为$(4,-2)$，
∴设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2-2$，
将$a=5$、$a=-5$分别代入得：
当$a=-5$时，$y=-5(x-4)^2-2$；
当$a=5$时，$y=5(x-4)^2-2$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-5(x-4)^2-2}$或$\boldsymbol{y=5(x-4)^2-2}$
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是明确“抛物线形状相同”仅对应二次项系数的绝对值相等，易错点是容易遗漏开口方向相反的情况，结合顶点坐标选用顶点式求解可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次函数的性质：抛物线的形状仅由二次项系数的绝对值决定，形状相同说明两个抛物线的二次项系数绝对值相等，因此先确定a的取值有两种可能；题目已给出顶点坐标，适合选用二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）设解析式，再将a的两个取值分别代入，即可得到对应的函数表达式。
【解析】
∵抛物线形状与$y=-5x^2+2$相同，
∴所求抛物线二次项系数的绝对值$|a|=|-5|=5$，即$a=5$或$a=-5$。
又
∵抛物线顶点坐标为$(4,-2)$，
∴设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2-2$，
将$a=5$、$a=-5$分别代入得：
当$a=-5$时，$y=-5(x-4)^2-2$；
当$a=5$时，$y=5(x-4)^2-2$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-5(x-4)^2-2}$或$\boldsymbol{y=5(x-4)^2-2}$
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是明确“抛物线形状相同”仅对应二次项系数的绝对值相等，易错点是容易遗漏开口方向相反的情况，结合顶点坐标选用顶点式求解可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
6. 如图，这是抛物线$y=-x^2+bx+c$的一部分，请写出与其对应的函数表达式、图象相关的两个正确结论：，.（对称轴、图象与x轴正半轴、y轴交点坐标除外）
答案
解：将点$(1,0)$、$(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得
$\begin{cases}-1 + b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\ c=3\end{cases}$，因此函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$；
第二个结论：抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$（或当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，或函数的最大值为4等，答案合理即可）。
$\begin{cases}-1 + b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\ c=3\end{cases}$，因此函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$；
第二个结论：抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$（或当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，或函数的最大值为4等，答案合理即可）。
解析
【分析】
要确定该二次函数的解析式，观察解析式$y=-x^2+bx+c$仅含b、c两个未知参数，因此只需找到图象上两个坐标已知的点代入即可求解。从图中可直接读取抛物线过(0,3)（与y轴交点）和(1,0)（与x轴正半轴交点），将两点坐标代入解析式可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数得到完整解析式。得到解析式后，结合二次函数的对称性、增减性、最值等性质，避开题目明确禁止的对称轴、x轴正半轴交点、y轴交点三类结论，写出合理结论即可。
【解析】
1. 求函数表达式：
将点$(1,0)$、$(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-1 + b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
把$c=3$代入第一个方程，得$-1+b+3=0$，解得$b=-2$，因此函数表达式为$y=-x^2-2x+3$。
2. 推导符合要求的结论（示例）：
根据二次函数的对称性，已知抛物线对称轴为直线$x=-1$，与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(1,0)$，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{1+x}{2}=-1$，解得$x=-3$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。也可推导增减性：函数开口向下，对称轴为$x=-1$，因此当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；或代入$x=-1$求得函数最大值为4，以上结论均符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$；抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$（第二空答案合理即可）
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数的对称性
【点评】
本题属于开放型基础题，考查二次函数解析式求解及性质应用，解题关键是从图象中准确提取已知点的坐标，结合二次函数相关性质推导结论，能较好考查学生对二次函数知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要确定该二次函数的解析式，观察解析式$y=-x^2+bx+c$仅含b、c两个未知参数，因此只需找到图象上两个坐标已知的点代入即可求解。从图中可直接读取抛物线过(0,3)（与y轴交点）和(1,0)（与x轴正半轴交点），将两点坐标代入解析式可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数得到完整解析式。得到解析式后，结合二次函数的对称性、增减性、最值等性质，避开题目明确禁止的对称轴、x轴正半轴交点、y轴交点三类结论，写出合理结论即可。
【解析】
1. 求函数表达式：
将点$(1,0)$、$(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-1 + b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
把$c=3$代入第一个方程，得$-1+b+3=0$，解得$b=-2$，因此函数表达式为$y=-x^2-2x+3$。
2. 推导符合要求的结论（示例）：
根据二次函数的对称性，已知抛物线对称轴为直线$x=-1$，与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(1,0)$，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{1+x}{2}=-1$，解得$x=-3$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$。也可推导增减性：函数开口向下，对称轴为$x=-1$，因此当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；或代入$x=-1$求得函数最大值为4，以上结论均符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$；抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-3,0)$（第二空答案合理即可）
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数的对称性
【点评】
本题属于开放型基础题，考查二次函数解析式求解及性质应用，解题关键是从图象中准确提取已知点的坐标，结合二次函数相关性质推导结论，能较好考查学生对二次函数知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 已知二次函数的图象以$A(-1,4)$为顶点，且过点$B(2,-5)$。
（1）求该函数的表达式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标。
7. 已知二次函数的图象以$A(-1,4)$为顶点，且过点$B(2,-5)$。
（1）求该函数的表达式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标。
答案
解：
（1）∵二次函数的图象顶点为$A(-1,4)$，
∴设该二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x+1)^2+4$，
将点$B(2,-5)$代入表达式，得：
$-5=a·(2+1)^2 +4$，
即$9a +4 = -5$，
解得$a=-1$，
∴该函数的表达式为$y=-(x+1)^2+4$，整理得$y=-x^2-2x+3$。
（2）求函数图象与y轴的交点：
令$x=0$，代入函数表达式得$y=-0^2 -2×0 +3=3$，
∴函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
求函数图象与x轴的交点：
令$y=0$，得方程$-x^2-2x+3=0$，
整理为$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
∴函数图象与x轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$。
综上，该函数图象与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(-3,0)$、$(1,0)$。
（1）∵二次函数的图象顶点为$A(-1,4)$，
∴设该二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x+1)^2+4$，
将点$B(2,-5)$代入表达式，得：
$-5=a·(2+1)^2 +4$，
即$9a +4 = -5$，
解得$a=-1$，
∴该函数的表达式为$y=-(x+1)^2+4$，整理得$y=-x^2-2x+3$。
（2）求函数图象与y轴的交点：
令$x=0$，代入函数表达式得$y=-0^2 -2×0 +3=3$，
∴函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
求函数图象与x轴的交点：
令$y=0$，得方程$-x^2-2x+3=0$，
整理为$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
∴函数图象与x轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$。
综上，该函数图象与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(-3,0)$、$(1,0)$。
解析
【分析】
（1）题目给出了二次函数的顶点坐标，优先采用顶点式设函数解析式更简便。先根据顶点$A(-1,4)$设出顶点式$y=a(x+1)^2+4$，再将点$B(2,-5)$代入表达式求解参数$a$，最后整理为一般式即可得到函数表达式。
（2）求函数图象与坐标轴的交点时，与y轴交点的横坐标为0，只需令$x=0$代入解析式计算出对应的y值即可得到交点坐标；与x轴交点的纵坐标为0，令$y=0$得到一元二次方程，解方程得到对应的x值即可得到x轴上的交点坐标。
【解析】
（1）
∵二次函数的图象顶点为$A(-1,4)$，
∴设该二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x+1)^2+4$，
将点$B(2,-5)$代入表达式，得：
$-5=a·(2+1)^2 +4$，
即$9a +4 = -5$，
解得$a=-1$，
∴该函数的表达式为$y=-(x+1)^2+4$，整理得$y=-x^2-2x+3$。
（2）求函数图象与y轴的交点：
令$x=0$，代入函数表达式得$y=-0^2 -2×0 +3=3$，
∴函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
求函数图象与x轴的交点：
令$y=0$，得方程$-x^2-2x+3=0$，
整理为$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
∴函数图象与x轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$。
综上，该函数图象与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(-3,0)$、$(1,0)$。
【答案】
（1）$y=-x^2-2x+3$
（2）与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(-3,0)$、$(1,0)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与坐标轴交点求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察二次函数顶点式的应用和函数图象与坐标轴交点的计算方法，掌握基础解题逻辑就能顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
（1）题目给出了二次函数的顶点坐标，优先采用顶点式设函数解析式更简便。先根据顶点$A(-1,4)$设出顶点式$y=a(x+1)^2+4$，再将点$B(2,-5)$代入表达式求解参数$a$，最后整理为一般式即可得到函数表达式。
（2）求函数图象与坐标轴的交点时，与y轴交点的横坐标为0，只需令$x=0$代入解析式计算出对应的y值即可得到交点坐标；与x轴交点的纵坐标为0，令$y=0$得到一元二次方程，解方程得到对应的x值即可得到x轴上的交点坐标。
【解析】
（1）
∵二次函数的图象顶点为$A(-1,4)$，
∴设该二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x+1)^2+4$，
将点$B(2,-5)$代入表达式，得：
$-5=a·(2+1)^2 +4$，
即$9a +4 = -5$，
解得$a=-1$，
∴该函数的表达式为$y=-(x+1)^2+4$，整理得$y=-x^2-2x+3$。
（2）求函数图象与y轴的交点：
令$x=0$，代入函数表达式得$y=-0^2 -2×0 +3=3$，
∴函数图象与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
求函数图象与x轴的交点：
令$y=0$，得方程$-x^2-2x+3=0$，
整理为$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
∴函数图象与x轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$。
综上，该函数图象与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(-3,0)$、$(1,0)$。
【答案】
（1）$y=-x^2-2x+3$
（2）与坐标轴的交点坐标为$(0,3)$、$(-3,0)$、$(1,0)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与坐标轴交点求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察二次函数顶点式的应用和函数图象与坐标轴交点的计算方法，掌握基础解题逻辑就能顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
