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8. 一次函数$y=x-3$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$.二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A$，$B$.
（1）求点$A$，$B$的坐标；
（2）求二次函数的表达式及它的最小值.
（1）求点$A$，$B$的坐标；
（2）求二次函数的表达式及它的最小值.
答案
解：
(1) 对于一次函数$y=x-3$，
当$y=0$时，$x-3=0$，解得$x=3$，
∴点A的坐标为$(3,0)$；
当$x=0$时，$y=0-3=-3$，
∴点B的坐标为$(0,-3)$。
(2) 将$A(3,0)$、$B(0,-3)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9+3b+c=0 \\c=-3\end{cases}$
把$c=-3$代入$9+3b+c=0$，得$9+3b-3=0$，
解得$b=-2$，
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
将表达式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∵$a=1＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x=1$时，二次函数取得最小值$-4$。
(1) 对于一次函数$y=x-3$，
当$y=0$时，$x-3=0$，解得$x=3$，
∴点A的坐标为$(3,0)$；
当$x=0$时，$y=0-3=-3$，
∴点B的坐标为$(0,-3)$。
(2) 将$A(3,0)$、$B(0,-3)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9+3b+c=0 \\c=-3\end{cases}$
把$c=-3$代入$9+3b+c=0$，得$9+3b-3=0$，
解得$b=-2$，
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
将表达式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∵$a=1＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x=1$时，二次函数取得最小值$-4$。
解析
【分析】
（1）求一次函数与坐标轴交点的坐标，利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入一次函数$y=x-3$计算即可得到A、B的坐标。
（2）二次函数图象经过A、B两点，说明两点坐标满足二次函数解析式，将A、B坐标代入$y=x^2+bx+c$得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c即可得到二次函数表达式；求二次函数最小值时，由于二次项系数大于0，抛物线开口向上，顶点纵坐标就是函数最小值，将一般式配方为顶点式即可直接得出最小值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=x-3$，
当$y=0$时，$x-3=0$，解得$x=3$，
∴点A的坐标为$(3,0)$；
当$x=0$时，$y=0-3=-3$，
∴点B的坐标为$(0,-3)$。
(2) 将$A(3,0)$、$B(0,-3)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9+3b+c=0 \\c=-3\end{cases}$
把$c=-3$代入$9+3b+c=0$，得$9+3b-3=0$，
解得$b=-2$，
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
将表达式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∵$a=1＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x=1$时，二次函数取得最小值$-4$。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(0,-3)$；
(2) 二次函数表达式为$y=x^2-2x-3$，最小值为$-4$。
【知识点】
一次函数交点求法；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，考查的都是函数部分的核心基础知识点，解题逻辑清晰，步骤固定，熟练掌握本题的解法，能为后续解决更复杂的二次函数综合题筑牢基础。
【难度系数】
0.85
（1）求一次函数与坐标轴交点的坐标，利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入一次函数$y=x-3$计算即可得到A、B的坐标。
（2）二次函数图象经过A、B两点，说明两点坐标满足二次函数解析式，将A、B坐标代入$y=x^2+bx+c$得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c即可得到二次函数表达式；求二次函数最小值时，由于二次项系数大于0，抛物线开口向上，顶点纵坐标就是函数最小值，将一般式配方为顶点式即可直接得出最小值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=x-3$，
当$y=0$时，$x-3=0$，解得$x=3$，
∴点A的坐标为$(3,0)$；
当$x=0$时，$y=0-3=-3$，
∴点B的坐标为$(0,-3)$。
(2) 将$A(3,0)$、$B(0,-3)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9+3b+c=0 \\c=-3\end{cases}$
把$c=-3$代入$9+3b+c=0$，得$9+3b-3=0$，
解得$b=-2$，
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
将表达式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∵$a=1＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x=1$时，二次函数取得最小值$-4$。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(0,-3)$；
(2) 二次函数表达式为$y=x^2-2x-3$，最小值为$-4$。
【知识点】
一次函数交点求法；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，考查的都是函数部分的核心基础知识点，解题逻辑清晰，步骤固定，熟练掌握本题的解法，能为后续解决更复杂的二次函数综合题筑牢基础。
【难度系数】
0.85
9. 已知二次函数 $y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$ 的图象的对称轴是直线 $x=2$，且最高点在直线 $y=\frac{1}{2}x + 1$ 上.求这个二次函数的表达式.
答案
解：
对于二次函数$y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$，其中$a=m^2-2$，$b=-4m$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合对称轴是直线$x=2$得：
$\frac{4m}{2(m^2-2)}=2$
化简整理得$m^2 - m - 2 = 0$，
解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
∵二次函数图象有最高点，说明抛物线开口向下，
∴二次项系数$m^2-2＜0$。
当$m=2$时，$m^2-2=2＞0$，不符合要求，舍去；
当$m=-1$时，$m^2-2=-1＜0$，符合要求。
二次函数的最高点即顶点在对称轴$x=2$上，将$x=2$代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$，得：
$y=\frac{1}{2}×2 +1=2$
即顶点坐标为$(2,2)$。
将$m=-1$代入原函数得$y=-x^2 +4x +n$，把$(2,2)$代入该式：
$2 = -2^2 + 4×2 +n$
解得$n=-2$。
∴这个二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-2$。
对于二次函数$y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$，其中$a=m^2-2$，$b=-4m$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合对称轴是直线$x=2$得：
$\frac{4m}{2(m^2-2)}=2$
化简整理得$m^2 - m - 2 = 0$，
解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
∵二次函数图象有最高点，说明抛物线开口向下，
∴二次项系数$m^2-2＜0$。
当$m=2$时，$m^2-2=2＞0$，不符合要求，舍去；
当$m=-1$时，$m^2-2=-1＜0$，符合要求。
二次函数的最高点即顶点在对称轴$x=2$上，将$x=2$代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$，得：
$y=\frac{1}{2}×2 +1=2$
即顶点坐标为$(2,2)$。
将$m=-1$代入原函数得$y=-x^2 +4x +n$，把$(2,2)$代入该式：
$2 = -2^2 + 4×2 +n$
解得$n=-2$。
∴这个二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-2$。
解析
【分析】
解题可按照三步思路推进：第一步，回忆二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴为直线$x=2$列方程，先求出参数$m$的所有可能取值；第二步，根据“图象有最高点”的条件，可知抛物线开口向下，即二次项系数小于0，用该条件对求出的$m$值进行筛选，排除不符合要求的解；第三步，最高点就是二次函数的顶点，顶点在对称轴上，因此将$x=2$代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$可得到顶点的纵坐标，得到顶点坐标后，将其和筛选后的$m$代入原二次函数，即可求出参数$n$，最终得到完整的二次函数表达式。
【解析】
对于二次函数$y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$，其中二次项系数$a=m^2-2$，一次项系数$b=-4m$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合对称轴是直线$x=2$得：
$\frac{4m}{2(m^2-2)}=2$
化简整理得$m^2 - m - 2 = 0$，
解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
∵二次函数图象有最高点，说明抛物线开口向下，
∴二次项系数$m^2-2＜0$。
当$m=2$时，$m^2-2=2＞0$，不符合要求，舍去；
当$m=-1$时，$m^2-2=-1＜0$，符合要求。
二次函数的最高点即顶点在对称轴$x=2$上，将$x=2$代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$，得：
$y=\frac{1}{2}×2 +1=2$
即顶点坐标为$(2,2)$。
将$m=-1$代入原函数得$y=-x^2 +4x +n$，把$(2,2)$代入该式：
$2 = -2^2 + 4×2 +n$
解得$n=-2$。
【答案】
$y=-x^2+4x-2$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 二次函数图象与系数的关系
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数章节的典型基础题型，综合考察二次函数的核心性质，解题关键在于挖掘“最高点”对应的隐含条件（开口向下，二次项系数为负），避免漏判参数取值范围导致出现多解错误，解题逻辑清晰，能有效巩固二次函数的基础应用。
【难度系数】
0.6
解题可按照三步思路推进：第一步，回忆二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴为直线$x=2$列方程，先求出参数$m$的所有可能取值；第二步，根据“图象有最高点”的条件，可知抛物线开口向下，即二次项系数小于0，用该条件对求出的$m$值进行筛选，排除不符合要求的解；第三步，最高点就是二次函数的顶点，顶点在对称轴上，因此将$x=2$代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$可得到顶点的纵坐标，得到顶点坐标后，将其和筛选后的$m$代入原二次函数，即可求出参数$n$，最终得到完整的二次函数表达式。
【解析】
对于二次函数$y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$，其中二次项系数$a=m^2-2$，一次项系数$b=-4m$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合对称轴是直线$x=2$得：
$\frac{4m}{2(m^2-2)}=2$
化简整理得$m^2 - m - 2 = 0$，
解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
∵二次函数图象有最高点，说明抛物线开口向下，
∴二次项系数$m^2-2＜0$。
当$m=2$时，$m^2-2=2＞0$，不符合要求，舍去；
当$m=-1$时，$m^2-2=-1＜0$，符合要求。
二次函数的最高点即顶点在对称轴$x=2$上，将$x=2$代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$，得：
$y=\frac{1}{2}×2 +1=2$
即顶点坐标为$(2,2)$。
将$m=-1$代入原函数得$y=-x^2 +4x +n$，把$(2,2)$代入该式：
$2 = -2^2 + 4×2 +n$
解得$n=-2$。
【答案】
$y=-x^2+4x-2$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 二次函数图象与系数的关系
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数章节的典型基础题型，综合考察二次函数的核心性质，解题关键在于挖掘“最高点”对应的隐含条件（开口向下，二次项系数为负），避免漏判参数取值范围导致出现多解错误，解题逻辑清晰，能有效巩固二次函数的基础应用。
【难度系数】
0.6
