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8. 试说明通过怎样的平移，可以由抛物线 $ y=-3x^2 $ 得到抛物线 $ y=-3(x+2)^2 $ 和抛物线 $ y=-3(x+2)^2 -4? $
答案
解：
抛物线$y=-3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
抛物线$y=-3(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$，因此将抛物线$y=-3x^2$向左平移2个单位长度，即可得到抛物线$y=-3(x+2)^2$。
抛物线$y=-3(x+2)^2-4$的顶点坐标为$(-2,-4)$，因此将抛物线$y=-3x^2$先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到抛物线$y=-3(x+2)^2-4$。
（也可先将抛物线$y=-3x^2$向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到目标抛物线。）
抛物线$y=-3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
抛物线$y=-3(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$，因此将抛物线$y=-3x^2$向左平移2个单位长度，即可得到抛物线$y=-3(x+2)^2$。
抛物线$y=-3(x+2)^2-4$的顶点坐标为$(-2,-4)$，因此将抛物线$y=-3x^2$先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到抛物线$y=-3(x+2)^2-4$。
（也可先将抛物线$y=-3x^2$向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到目标抛物线。）
解析
【分析】
要解决二次函数图象的平移问题，首先明确：当二次项系数a相同时，抛物线的形状、大小、开口方向完全相同，仅位置不同，平移时只需关注顶点的平移即可。解题思路如下：①先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（顶点坐标为$(h,k)$），分别写出三个抛物线的顶点坐标；②对比平移前后顶点坐标的变化：横坐标的变化对应左右平移（横坐标减小为向左平移，增大为向右平移），纵坐标的变化对应上下平移（纵坐标减小为向下平移，增大为向上平移）；③根据顶点的平移方向和距离，确定抛物线的平移方式。
【解析】
解：抛物线$y=-3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
1. 抛物线$y=-3(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$，对比顶点从$(0,0)$到$(-2,0)$，横坐标减少2，纵坐标不变，因此将抛物线$y=-3x^2$向左平移2个单位长度，即可得到抛物线$y=-3(x+2)^2$。
2. 抛物线$y=-3(x+2)^2-4$的顶点坐标为$(-2,-4)$，对比顶点从$(0,0)$到$(-2,-4)$，横坐标减少2，纵坐标减少4，因此有两种平移方式：
方式一：将抛物线$y=-3x^2$先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到$y=-3(x+2)^2-4$；
方式二：将抛物线$y=-3x^2$先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到$y=-3(x+2)^2-4$。
【答案】
将抛物线$y=-3x^2$向左平移2个单位长度得到抛物线$y=-3(x+2)^2$；将抛物线$y=-3x^2$先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度（或先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度）得到抛物线$y=-3(x+2)^2-4$。
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题考查二次函数的图象平移变换，解题核心是抓住“抛物线平移即顶点平移”的规律，结合“左加右减、上加下减”的平移规则即可求解，需注意左右平移和上下平移的先后顺序不影响最终平移结果。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数图象的平移问题，首先明确：当二次项系数a相同时，抛物线的形状、大小、开口方向完全相同，仅位置不同，平移时只需关注顶点的平移即可。解题思路如下：①先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（顶点坐标为$(h,k)$），分别写出三个抛物线的顶点坐标；②对比平移前后顶点坐标的变化：横坐标的变化对应左右平移（横坐标减小为向左平移，增大为向右平移），纵坐标的变化对应上下平移（纵坐标减小为向下平移，增大为向上平移）；③根据顶点的平移方向和距离，确定抛物线的平移方式。
【解析】
解：抛物线$y=-3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
1. 抛物线$y=-3(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$，对比顶点从$(0,0)$到$(-2,0)$，横坐标减少2，纵坐标不变，因此将抛物线$y=-3x^2$向左平移2个单位长度，即可得到抛物线$y=-3(x+2)^2$。
2. 抛物线$y=-3(x+2)^2-4$的顶点坐标为$(-2,-4)$，对比顶点从$(0,0)$到$(-2,-4)$，横坐标减少2，纵坐标减少4，因此有两种平移方式：
方式一：将抛物线$y=-3x^2$先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到$y=-3(x+2)^2-4$；
方式二：将抛物线$y=-3x^2$先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到$y=-3(x+2)^2-4$。
【答案】
将抛物线$y=-3x^2$向左平移2个单位长度得到抛物线$y=-3(x+2)^2$；将抛物线$y=-3x^2$先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度（或先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度）得到抛物线$y=-3(x+2)^2-4$。
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题考查二次函数的图象平移变换，解题核心是抓住“抛物线平移即顶点平移”的规律，结合“左加右减、上加下减”的平移规则即可求解，需注意左右平移和上下平移的先后顺序不影响最终平移结果。
【难度系数】
0.8
9. 下图是二次函数 $y=a(x+1)^2+2$ 图象的一部分.根据图象解答下列问题：
（1）确定 $a$ 的值；
（2）抛物线与 $x$ 轴的一个交点 $A$ 的坐标为$(-3,0)$，则抛物线与 $x$ 轴的另一个交点 $B$ 的坐标为；
（3）设抛物线的顶点为 $P$，试求$△ PAB$ 的面积.
（1）确定 $a$ 的值；
（2）抛物线与 $x$ 轴的一个交点 $A$ 的坐标为$(-3,0)$，则抛物线与 $x$ 轴的另一个交点 $B$ 的坐标为；
（3）设抛物线的顶点为 $P$，试求$△ PAB$ 的面积.
答案
解：
(1) 将点$A(-3, 0)$代入$y=a(x+1)^2+2$，得：
$0=a(-3+1)^2+2$
即$4a+2=0$
解得$a=-\frac{1}{2}$。
(2) 由二次函数解析式可知抛物线的对称轴为直线$x=-1$，
点$A(-3,0)$与点$B$关于直线$x=-1$对称，设点$B$横坐标为$x$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，
所以点$B$的坐标为$\boldsymbol{(1, 0)}$。
(3) 由二次函数解析式得顶点$P$的坐标为$(-1, 2)$，
$AB = 1 - (-3) = 4$，点$P$到$x$轴的距离为$2$，即$△ PAB$中$AB$边上的高为$2$，
$\therefore S_{△ PAB} = \frac{1}{2} × AB × 2 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
(1) 将点$A(-3, 0)$代入$y=a(x+1)^2+2$，得：
$0=a(-3+1)^2+2$
即$4a+2=0$
解得$a=-\frac{1}{2}$。
(2) 由二次函数解析式可知抛物线的对称轴为直线$x=-1$，
点$A(-3,0)$与点$B$关于直线$x=-1$对称，设点$B$横坐标为$x$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，
所以点$B$的坐标为$\boldsymbol{(1, 0)}$。
(3) 由二次函数解析式得顶点$P$的坐标为$(-1, 2)$，
$AB = 1 - (-3) = 4$，点$P$到$x$轴的距离为$2$，即$△ PAB$中$AB$边上的高为$2$，
$\therefore S_{△ PAB} = \frac{1}{2} × AB × 2 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
解析
【分析】
（1）求参数$a$：已知二次函数为顶点式，且图象过点$A(-3,0)$，将点$A$坐标代入解析式，解一元一次方程即可求出$a$的值；
（2）求另一个交点$B$的坐标：二次函数图象关于对称轴对称，由顶点式可直接得到对称轴为直线$x=-1$，点$A$和点$B$关于该对称轴对称，利用对称点的横坐标满足“两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标”，即可求出点$B$的横坐标，得到对应坐标；
（3）求$△ PAB$的面积：先从顶点式得到顶点$P$的坐标，$AB$的长度可通过$A$、$B$两点的横坐标差计算，由于$AB$在$x$轴上，$AB$边上的高就是顶点$P$纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 将点$A(-3, 0)$代入$y=a(x+1)^2+2$，得：
$0=a(-3+1)^2+2$
即$4a+2=0$
解得$a=-\frac{1}{2}$。
(2) 由二次函数解析式可知抛物线的对称轴为直线$x=-1$，
点$A(-3,0)$与点$B$关于直线$x=-1$对称，设点$B$横坐标为$x$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，
所以点$B$的坐标为$(1, 0)$。
(3) 由二次函数解析式得顶点$P$的坐标为$(-1, 2)$，
$AB = 1 - (-3) = 4$，点$P$到$x$轴的距离为$2$，即$△ PAB$中$AB$边上的高为$2$，
$\therefore S_{△ PAB} = \frac{1}{2} × AB × 2 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{2}$；
(2) $(1,0)$；
(3) $4$
【知识点】
二次函数顶点式应用，二次函数对称性，三角形面积计算
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质出题，考察内容较为常规，解题的核心是熟练掌握二次函数顶点式的特点、对称性的应用，能结合坐标特征计算平面图形的面积。
【难度系数】
0.8
（1）求参数$a$：已知二次函数为顶点式，且图象过点$A(-3,0)$，将点$A$坐标代入解析式，解一元一次方程即可求出$a$的值；
（2）求另一个交点$B$的坐标：二次函数图象关于对称轴对称，由顶点式可直接得到对称轴为直线$x=-1$，点$A$和点$B$关于该对称轴对称，利用对称点的横坐标满足“两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标”，即可求出点$B$的横坐标，得到对应坐标；
（3）求$△ PAB$的面积：先从顶点式得到顶点$P$的坐标，$AB$的长度可通过$A$、$B$两点的横坐标差计算，由于$AB$在$x$轴上，$AB$边上的高就是顶点$P$纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 将点$A(-3, 0)$代入$y=a(x+1)^2+2$，得：
$0=a(-3+1)^2+2$
即$4a+2=0$
解得$a=-\frac{1}{2}$。
(2) 由二次函数解析式可知抛物线的对称轴为直线$x=-1$，
点$A(-3,0)$与点$B$关于直线$x=-1$对称，设点$B$横坐标为$x$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，
所以点$B$的坐标为$(1, 0)$。
(3) 由二次函数解析式得顶点$P$的坐标为$(-1, 2)$，
$AB = 1 - (-3) = 4$，点$P$到$x$轴的距离为$2$，即$△ PAB$中$AB$边上的高为$2$，
$\therefore S_{△ PAB} = \frac{1}{2} × AB × 2 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{2}$；
(2) $(1,0)$；
(3) $4$
【知识点】
二次函数顶点式应用，二次函数对称性，三角形面积计算
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质出题，考察内容较为常规，解题的核心是熟练掌握二次函数顶点式的特点、对称性的应用，能结合坐标特征计算平面图形的面积。
【难度系数】
0.8
