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一、选择题
1. 二次函数$y=(x-1)^2 -2$的图象大致为().
1. 二次函数$y=(x-1)^2 -2$的图象大致为().
答案
$\boldsymbol{D}$
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可按照“先看开口方向，再确定顶点坐标，最后验证特殊点”的思路解题：首先由二次项系数的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再根据顶点式直接得到顶点坐标，对照选项顶点位置进一步排除；若有需要可代入x=0求与y轴交点验证，最终确定正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x-1)^2 -2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项A；
2. 确定顶点坐标：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此该函数顶点坐标为$(1,-2)$：
选项B的顶点横坐标为负数，不符合顶点横坐标为1的特征，排除；
选项C的顶点横坐标为负数，不符合顶点横坐标为1的特征，排除；
选项D的顶点坐标为$(1,-2)$，符合特征。
3. 验证特殊点：当$x=0$时，代入得$y=(0-1)^2-2=-1$，即抛物线与y轴交于$(0,-1)$，也符合选项D的图象特征。
综上，答案选D。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题核心是熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征，无需复杂计算即可快速排除错误选项，是巩固二次函数图象基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数的图象，可按照“先看开口方向，再确定顶点坐标，最后验证特殊点”的思路解题：首先由二次项系数的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再根据顶点式直接得到顶点坐标，对照选项顶点位置进一步排除；若有需要可代入x=0求与y轴交点验证，最终确定正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x-1)^2 -2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项A；
2. 确定顶点坐标：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此该函数顶点坐标为$(1,-2)$：
选项B的顶点横坐标为负数，不符合顶点横坐标为1的特征，排除；
选项C的顶点横坐标为负数，不符合顶点横坐标为1的特征，排除；
选项D的顶点坐标为$(1,-2)$，符合特征。
3. 验证特殊点：当$x=0$时，代入得$y=(0-1)^2-2=-1$，即抛物线与y轴交于$(0,-1)$，也符合选项D的图象特征。
综上，答案选D。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题核心是熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征，无需复杂计算即可快速排除错误选项，是巩固二次函数图象基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8
2. 若抛物线$y=(x - m)^2 + m + 1$的顶点在第一象限，则$m$的取值范围为().
A.$m＞1$
B.$m＞0$
C.$m＞-1$
D.$-1＜m＜0$
A.$m＞1$
B.$m＞0$
C.$m＞-1$
D.$-1＜m＜0$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征，先确定给定抛物线的顶点坐标；再根据第一象限内点的坐标特征（横坐标、纵坐标均大于0），列出关于m的不等式组；最后求解不等式组，取两个解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
已知抛物线$y=(x - m)^2 + m + 1$，可得其顶点坐标为$(m, m+1)$。
因为顶点在第一象限，第一象限内的点满足横坐标＞0、纵坐标＞0，因此列不等式组：
$\begin{cases}m＞0 \\m+1＞0\end{cases}$
解不等式$m+1＞0$，得$m＞-1$。
根据“同大取大”的原则，两个不等式的公共解集为$m＞0$。
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；象限点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式的顶点坐标的识别，结合平面直角坐标系中象限的坐标特征求解参数范围，熟练掌握顶点式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征，先确定给定抛物线的顶点坐标；再根据第一象限内点的坐标特征（横坐标、纵坐标均大于0），列出关于m的不等式组；最后求解不等式组，取两个解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
已知抛物线$y=(x - m)^2 + m + 1$，可得其顶点坐标为$(m, m+1)$。
因为顶点在第一象限，第一象限内的点满足横坐标＞0、纵坐标＞0，因此列不等式组：
$\begin{cases}m＞0 \\m+1＞0\end{cases}$
解不等式$m+1＞0$，得$m＞-1$。
根据“同大取大”的原则，两个不等式的公共解集为$m＞0$。
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；象限点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式的顶点坐标的识别，结合平面直角坐标系中象限的坐标特征求解参数范围，熟练掌握顶点式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=a(x+1)^2 + b$有最小值$-1$，则$a$与$b$之间的大小关系是（）.
A.$a ＜ b$
B.$a = b$
C.$a ＞ b$
D.不能确定
A.$a ＜ b$
B.$a = b$
C.$a ＞ b$
D.不能确定
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的性质，对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$：①$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$时开口向上，函数有最小值；$a＜0$时开口向下，函数有最大值；②顶点坐标为$(h,k)$，$k$就是函数的最值。本题中已知函数有最小值，可先推出$a$的符号，再结合最小值求出$b$的值，最后比较$a$和$b$的大小即可。
【解析】
1. 二次函数$y=a(x+1)^2 + b$是顶点式，其顶点坐标为$(-1, b)$。
2. 因为该二次函数有最小值$-1$，说明抛物线开口向上，因此$a＞0$；同时函数的最小值就是顶点的纵坐标，因此$b=-1$。
3. 由于$a＞0$，$b=-1＜0$，所以$a＞b$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值判断
【点评】
本题核心考查二次函数顶点式中参数的意义，掌握开口方向与$a$的对应关系、最值与顶点纵坐标的关系是解题的关键，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的性质，对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$：①$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$时开口向上，函数有最小值；$a＜0$时开口向下，函数有最大值；②顶点坐标为$(h,k)$，$k$就是函数的最值。本题中已知函数有最小值，可先推出$a$的符号，再结合最小值求出$b$的值，最后比较$a$和$b$的大小即可。
【解析】
1. 二次函数$y=a(x+1)^2 + b$是顶点式，其顶点坐标为$(-1, b)$。
2. 因为该二次函数有最小值$-1$，说明抛物线开口向上，因此$a＞0$；同时函数的最小值就是顶点的纵坐标，因此$b=-1$。
3. 由于$a＞0$，$b=-1＜0$，所以$a＞b$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值判断
【点评】
本题核心考查二次函数顶点式中参数的意义，掌握开口方向与$a$的对应关系、最值与顶点纵坐标的关系是解题的关键，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
4. 抛物线 $y=4(x-3)^2 - 3$ 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ，当 $x=$ 时，函数 $y=4(x-3)^2 - 3$ 取得最 值，最值是 。
答案
解：
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
顶点坐标为$(h,k)$，代入$a=4,h=3,k=-3$，得顶点坐标是$\boldsymbol{(3,-3)}$；
对称轴为直线$x=h$，因此对称轴是$\boldsymbol{直线x=3}$；
由于$a=4＞0$，可知抛物线开口向$\boldsymbol{上}$；
开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，因此当$x=\boldsymbol{3}$时，函数取得最$\boldsymbol{小}$值，最值是$\boldsymbol{-3}$。
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
顶点坐标为$(h,k)$，代入$a=4,h=3,k=-3$，得顶点坐标是$\boldsymbol{(3,-3)}$；
对称轴为直线$x=h$，因此对称轴是$\boldsymbol{直线x=3}$；
由于$a=4＞0$，可知抛物线开口向$\boldsymbol{上}$；
开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，因此当$x=\boldsymbol{3}$时，函数取得最$\boldsymbol{小}$值，最值是$\boldsymbol{-3}$。
解析
【分析】
拿到本题首先观察二次函数解析式的形式，可判断为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，解题思路如下：第一步先确定解析式中$a$、$h$、$k$的取值；第二步结合顶点式的性质逐一推导对应结论：顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；$a$的正负决定开口方向，$a＞0$开口向上，函数在顶点处取最小值，$a＜0$开口向下，函数在顶点处取最大值，最值为$k$。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），本题中解析式为$y=4(x-3)^2 - 3$，可得$a=4$，$h=3$，$k=-3$：
1. 顶点坐标为$(h,k)$，因此顶点坐标是$\boldsymbol{(3,-3)}$；
2. 对称轴为直线$x=h$，因此对称轴是$\boldsymbol{直线x=3}$；
3. 由于$a=4＞0$，可知抛物线开口向$\boldsymbol{上}$；
4. 开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，因此当$x=\boldsymbol{3}$时，函数取得最$\boldsymbol{小}$值，最值是$\boldsymbol{-3}$。
【答案】
$(3,-3)$；直线$x=3$；上；$3$；小；$-3$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的图象特征；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数顶点式相关性质的基础考查，核心是掌握顶点式中$a$、$h$、$k$三个参数分别对应的几何意义，熟练掌握后可快速求解此类题型。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先观察二次函数解析式的形式，可判断为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，解题思路如下：第一步先确定解析式中$a$、$h$、$k$的取值；第二步结合顶点式的性质逐一推导对应结论：顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；$a$的正负决定开口方向，$a＞0$开口向上，函数在顶点处取最小值，$a＜0$开口向下，函数在顶点处取最大值，最值为$k$。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），本题中解析式为$y=4(x-3)^2 - 3$，可得$a=4$，$h=3$，$k=-3$：
1. 顶点坐标为$(h,k)$，因此顶点坐标是$\boldsymbol{(3,-3)}$；
2. 对称轴为直线$x=h$，因此对称轴是$\boldsymbol{直线x=3}$；
3. 由于$a=4＞0$，可知抛物线开口向$\boldsymbol{上}$；
4. 开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，因此当$x=\boldsymbol{3}$时，函数取得最$\boldsymbol{小}$值，最值是$\boldsymbol{-3}$。
【答案】
$(3,-3)$；直线$x=3$；上；$3$；小；$-3$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的图象特征；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数顶点式相关性质的基础考查，核心是掌握顶点式中$a$、$h$、$k$三个参数分别对应的几何意义，熟练掌握后可快速求解此类题型。
【难度系数】
0.9
5. 已知抛物线$y=-4(x+3)^2+4$，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；抛物线$y=-4(x+3)^2+4$可由抛物线$y=-4x^2$向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度得到。
答案
解：
抛物线$y=-4(x+3)^2+4$的二次项系数为$-4＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-3$。
因此当$x ＜ -3$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x ＞ -3$时，$y$随$x$的增大而减小。
根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，抛物线$y=-4(x+3)^2+4$可由抛物线$y=-4x^2$向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到。
最终答案依次为：$\boldsymbol{＜-3}$；$\boldsymbol{＞-3}$；$\boldsymbol{左}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{上}$；$\boldsymbol{4}$。
抛物线$y=-4(x+3)^2+4$的二次项系数为$-4＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-3$。
因此当$x ＜ -3$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x ＞ -3$时，$y$随$x$的增大而减小。
根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，抛物线$y=-4(x+3)^2+4$可由抛物线$y=-4x^2$向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到。
最终答案依次为：$\boldsymbol{＜-3}$；$\boldsymbol{＞-3}$；$\boldsymbol{左}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{上}$；$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
解决这道题需要分两部分思考：1. 二次函数的增减性判断：首先要从顶点式中提取二次项系数判断开口方向，再确定对称轴，开口向下的抛物线在对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；2. 二次函数图象平移判断：可以用“左加右减、上加下减”的平移口诀直接分析，也可以对比两个抛物线的顶点坐标变化，顶点的平移方向和距离就是抛物线的平移方向和距离。
【解析】
首先分析抛物线$y=-4(x+3)^2+4$的性质：
1. 二次项系数为$-4＜0$，因此抛物线开口向下，其对称轴为直线$x=-3$；
2. 结合开口方向和对称轴可得：当$x＜-3$时，y随x的增大而增大；当$x＞-3$时，y随x的增大而减小。
再分析平移规律：
根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规则，对比$y=-4x^2$和$y=-4(x+3)^2+4$，自变量x加了3，对应向左平移3个单位长度，函数整体加了4，对应向上平移4个单位长度。
【答案】
＜-3；＞-3；左；3；上；4
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考察对二次函数顶点式相关性质的掌握，只要熟记开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，以及平移口诀，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要分两部分思考：1. 二次函数的增减性判断：首先要从顶点式中提取二次项系数判断开口方向，再确定对称轴，开口向下的抛物线在对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；2. 二次函数图象平移判断：可以用“左加右减、上加下减”的平移口诀直接分析，也可以对比两个抛物线的顶点坐标变化，顶点的平移方向和距离就是抛物线的平移方向和距离。
【解析】
首先分析抛物线$y=-4(x+3)^2+4$的性质：
1. 二次项系数为$-4＜0$，因此抛物线开口向下，其对称轴为直线$x=-3$；
2. 结合开口方向和对称轴可得：当$x＜-3$时，y随x的增大而增大；当$x＞-3$时，y随x的增大而减小。
再分析平移规律：
根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规则，对比$y=-4x^2$和$y=-4(x+3)^2+4$，自变量x加了3，对应向左平移3个单位长度，函数整体加了4，对应向上平移4个单位长度。
【答案】
＜-3；＞-3；左；3；上；4
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考察对二次函数顶点式相关性质的掌握，只要熟记开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，以及平移口诀，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6. 下列关于二次函数$y=-(x-m)^2+m^2+1$（$m$为常数）的结论：① 该函数的图象与函数$y=-x^2$的图象形状相同；② 该函数的图象一定经过点$(0,1)$；③ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；④ 该函数的图象的顶点在函数$y=x^2+1$的图象上。其中正确的是。（填序号）
答案
解：
对于结论①：二次函数的图象形状由二次项系数决定，该函数二次项系数为$-1$，函数$y=-x^2$的二次项系数也为$-1$，因此两个函数图象形状相同，①正确。
对于结论②：将$x=0$代入$y=-(x-m)^2+m^2+1$，得$y=-m^2 + m^2 +1=1$，因此该函数图象一定经过点$(0,1)$，②正确。
对于结论③：该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=m$，当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而减小，$m$的值不确定，无法保证$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，③错误。
对于结论④：该函数图象的顶点坐标为$(m, m^2+1)$，将$x=m$代入$y=x^2+1$，得$y=m^2+1$，顶点坐标满足$y=x^2+1$，即顶点在函数$y=x^2+1$的图象上，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②④}$。
对于结论①：二次函数的图象形状由二次项系数决定，该函数二次项系数为$-1$，函数$y=-x^2$的二次项系数也为$-1$，因此两个函数图象形状相同，①正确。
对于结论②：将$x=0$代入$y=-(x-m)^2+m^2+1$，得$y=-m^2 + m^2 +1=1$，因此该函数图象一定经过点$(0,1)$，②正确。
对于结论③：该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=m$，当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而减小，$m$的值不确定，无法保证$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，③错误。
对于结论④：该函数图象的顶点坐标为$(m, m^2+1)$，将$x=m$代入$y=x^2+1$，得$y=m^2+1$，顶点坐标满足$y=x^2+1$，即顶点在函数$y=x^2+1$的图象上，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②④}$。
解析
【分析】
解题时需对4个结论逐一验证：①判断二次函数图象形状是否相同，只需看二次项系数是否一致；②判断函数是否过定点，将点的横坐标代入解析式，验证纵坐标是否对应即可；③分析二次函数的增减性，需要结合开口方向和对称轴共同判断，本题对称轴含参数m，需注意m的取值不确定；④判断顶点是否在某函数图象上，先求出该二次函数的顶点坐标，再代入目标函数解析式验证是否成立即可。
【解析】
对于结论①：二次函数的图象形状由二次项系数决定，该函数二次项系数为$-1$，函数$y=-x^2$的二次项系数也为$-1$，因此两个函数图象形状相同，①正确。
对于结论②：将$x=0$代入$y=-(x-m)^2+m^2+1$，得$y=-m^2 + m^2 +1=1$，因此该函数图象一定经过点$(0,1)$，②正确。
对于结论③：该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=m$，当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而减小，$m$的值不确定，无法保证$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，③错误。
对于结论④：该函数图象的顶点坐标为$(m, m^2+1)$，将$x=m$代入$y=x^2+1$，得$y=m^2+1$，顶点坐标满足$y=x^2+1$，即顶点在函数$y=x^2+1$的图象上，④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数顶点式，点与函数图象的关系
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质，难度不大，解题时需逐项验证结论，注意参数的不确定性对增减性判断的影响，熟练掌握二次函数顶点式的相关特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时需对4个结论逐一验证：①判断二次函数图象形状是否相同，只需看二次项系数是否一致；②判断函数是否过定点，将点的横坐标代入解析式，验证纵坐标是否对应即可；③分析二次函数的增减性，需要结合开口方向和对称轴共同判断，本题对称轴含参数m，需注意m的取值不确定；④判断顶点是否在某函数图象上，先求出该二次函数的顶点坐标，再代入目标函数解析式验证是否成立即可。
【解析】
对于结论①：二次函数的图象形状由二次项系数决定，该函数二次项系数为$-1$，函数$y=-x^2$的二次项系数也为$-1$，因此两个函数图象形状相同，①正确。
对于结论②：将$x=0$代入$y=-(x-m)^2+m^2+1$，得$y=-m^2 + m^2 +1=1$，因此该函数图象一定经过点$(0,1)$，②正确。
对于结论③：该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=m$，当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而减小，$m$的值不确定，无法保证$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，③错误。
对于结论④：该函数图象的顶点坐标为$(m, m^2+1)$，将$x=m$代入$y=x^2+1$，得$y=m^2+1$，顶点坐标满足$y=x^2+1$，即顶点在函数$y=x^2+1$的图象上，④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数顶点式，点与函数图象的关系
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质，难度不大，解题时需逐项验证结论，注意参数的不确定性对增减性判断的影响，熟练掌握二次函数顶点式的相关特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 已知二次函数 $y=a(x-2)^2+3$ 的图象经过点$(3,0)$。
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
7. 已知二次函数 $y=a(x-2)^2+3$ 的图象经过点$(3,0)$。
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
答案
解：
（1）把点$(3,0)$代入$y=a(x-2)^2+3$，可得：
$0=a(3-2)^2+3$
化简得$a+3=0$，解得$a=-3$。
所以这个二次函数的表达式为$y=-3(x-2)^2+3$（或整理为$y=-3x^2+12x-9$）。
（2）$\because a=-3＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,3)$。
（1）把点$(3,0)$代入$y=a(x-2)^2+3$，可得：
$0=a(3-2)^2+3$
化简得$a+3=0$，解得$a=-3$。
所以这个二次函数的表达式为$y=-3(x-2)^2+3$（或整理为$y=-3x^2+12x-9$）。
（2）$\because a=-3＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,3)$。
解析
【分析】
（1）题给出的二次函数为顶点式，仅含未知参数a，已知函数图象过点(3,0)，将该点坐标代入函数表达式即可建立关于a的一元一次方程，解方程求出a的值就能得到二次函数的表达式。
（2）二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，a的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，结合第一问求出的a值，直接提取对应参数即可得到结论。
【解析】
（1）把点$(3,0)$代入$y=a(x-2)^2+3$，可得：
$0=a(3-2)^2+3$
化简得$a+3=0$，解得$a=-3$。
所以这个二次函数的表达式为$y=-3(x-2)^2+3$，展开整理也可写为$y=-3x^2+12x-9$。
（2）$\because a=-3＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,3)$。
【答案】
（1）$y=-3(x-2)^2+3$（或$y=-3x^2+12x-9$）；
（2）开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,3)$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对顶点式特征的理解与应用，熟练掌握待定系数法求解析式的方法、以及顶点式各参数对应的图象性质是解题关键。
【难度系数】
0.9
（1）题给出的二次函数为顶点式，仅含未知参数a，已知函数图象过点(3,0)，将该点坐标代入函数表达式即可建立关于a的一元一次方程，解方程求出a的值就能得到二次函数的表达式。
（2）二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，a的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，结合第一问求出的a值，直接提取对应参数即可得到结论。
【解析】
（1）把点$(3,0)$代入$y=a(x-2)^2+3$，可得：
$0=a(3-2)^2+3$
化简得$a+3=0$，解得$a=-3$。
所以这个二次函数的表达式为$y=-3(x-2)^2+3$，展开整理也可写为$y=-3x^2+12x-9$。
（2）$\because a=-3＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,3)$。
【答案】
（1）$y=-3(x-2)^2+3$（或$y=-3x^2+12x-9$）；
（2）开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,3)$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对顶点式特征的理解与应用，熟练掌握待定系数法求解析式的方法、以及顶点式各参数对应的图象性质是解题关键。
【难度系数】
0.9
