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8. 已知抛物线 $y=a(x-3)^2$ 经过点$(4,2)$。
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）将抛物线 $y=a(x-3)^2$ 向右平移2个单位长度，写出所得抛物线对应的函数表达式。
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）将抛物线 $y=a(x-3)^2$ 向右平移2个单位长度，写出所得抛物线对应的函数表达式。
答案
解：
（1）将点$(4,2)$代入$y=a(x-3)^2$，得：
$2=a·(4-3)^2$
解得$a=2$
∴这条抛物线对应的函数表达式为$y=2(x-3)^2$。
（2）根据二次函数图象平移“左加右减”的规则，将抛物线$y=2(x-3)^2$向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为：
$y=2(x-3-2)^2=2(x-5)^2$
（1）将点$(4,2)$代入$y=a(x-3)^2$，得：
$2=a·(4-3)^2$
解得$a=2$
∴这条抛物线对应的函数表达式为$y=2(x-3)^2$。
（2）根据二次函数图象平移“左加右减”的规则，将抛物线$y=2(x-3)^2$向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为：
$y=2(x-3-2)^2=2(x-5)^2$
解析
【分析】
（1）第一问中抛物线解析式为顶点式，仅系数$a$未知，已知图象过点$(4,2)$，只需将点的坐标代入解析式，建立关于$a$的方程求解，就能确定函数表达式。
（2）第二问考查二次函数图象平移规则，平移时遵循“左加右减，上加下减”的规律，其中“左加右减”是针对自变量$x$的调整，向右平移2个单位，就将原解析式中的$x$替换为$x-2$，化简后即可得到平移后的解析式。
【解析】
（1）将点$(4,2)$代入$y=a(x-3)^2$，得：
$2=a·(4-3)^2$
解得$a=2$
∴这条抛物线对应的函数表达式为$y=2(x-3)^2$。
（2）根据二次函数图象平移“左加右减”的规则，将抛物线$y=2(x-3)^2$向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为：
$y=2(x-3-2)^2=2(x-5)^2$
【答案】
（1）$y=2(x-3)^2$；（2）$y=2(x-5)^2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用和二次函数平移的基本规则，熟练掌握平移时针对自变量“左加右减”的运算规律，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
（1）第一问中抛物线解析式为顶点式，仅系数$a$未知，已知图象过点$(4,2)$，只需将点的坐标代入解析式，建立关于$a$的方程求解，就能确定函数表达式。
（2）第二问考查二次函数图象平移规则，平移时遵循“左加右减，上加下减”的规律，其中“左加右减”是针对自变量$x$的调整，向右平移2个单位，就将原解析式中的$x$替换为$x-2$，化简后即可得到平移后的解析式。
【解析】
（1）将点$(4,2)$代入$y=a(x-3)^2$，得：
$2=a·(4-3)^2$
解得$a=2$
∴这条抛物线对应的函数表达式为$y=2(x-3)^2$。
（2）根据二次函数图象平移“左加右减”的规则，将抛物线$y=2(x-3)^2$向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为：
$y=2(x-3-2)^2=2(x-5)^2$
【答案】
（1）$y=2(x-3)^2$；（2）$y=2(x-5)^2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用和二次函数平移的基本规则，熟练掌握平移时针对自变量“左加右减”的运算规律，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
9. 已知抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点为$(-1,0)$，且经过点$A(-2,-\dfrac{1}{2})$.
（1）求这个抛物线对应的函数表达式；
（2）这条抛物线是否经过点$B(2,-2)$？若不经过，怎样沿$x$轴方向平移该抛物线，使它经过点$B$？并写出平移后新抛物线对应的函数表达式.
（1）求这个抛物线对应的函数表达式；
（2）这条抛物线是否经过点$B(2,-2)$？若不经过，怎样沿$x$轴方向平移该抛物线，使它经过点$B$？并写出平移后新抛物线对应的函数表达式.
答案
解：
（1）∵抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点为$(-1,0)$，
∴$-m=-1$，解得$m=1$，
∴抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$，
将点$A(-2,-\dfrac{1}{2})$代入得：
$-\dfrac{1}{2}=a·(-2+1)^2$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$，
∴这个抛物线对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$。
（2）当$x=2$时，代入$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$得：
$y=-\dfrac{1}{2}×(2+1)^2=-\dfrac{9}{2}≠-2$，
∴这条抛物线不经过点$B(2,-2)$。
设沿$x$轴方向平移后新抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+t)^2$，将$B(2,-2)$代入得：
$-2=-\dfrac{1}{2}(2+t)^2$，
整理得$(2+t)^2=4$，
解得$t_1=0$，$t_2=-4$。
对应两种平移方式：
① 将原抛物线沿$x$轴向右平移1个单位，新抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$；
② 将原抛物线沿$x$轴向右平移5个单位，新抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2$。
（1）∵抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点为$(-1,0)$，
∴$-m=-1$，解得$m=1$，
∴抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$，
将点$A(-2,-\dfrac{1}{2})$代入得：
$-\dfrac{1}{2}=a·(-2+1)^2$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$，
∴这个抛物线对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$。
（2）当$x=2$时，代入$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$得：
$y=-\dfrac{1}{2}×(2+1)^2=-\dfrac{9}{2}≠-2$，
∴这条抛物线不经过点$B(2,-2)$。
设沿$x$轴方向平移后新抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+t)^2$，将$B(2,-2)$代入得：
$-2=-\dfrac{1}{2}(2+t)^2$，
整理得$(2+t)^2=4$，
解得$t_1=0$，$t_2=-4$。
对应两种平移方式：
① 将原抛物线沿$x$轴向右平移1个单位，新抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$；
② 将原抛物线沿$x$轴向右平移5个单位，新抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2$。
解析
【分析】
（1）抛物线$y=a(x+m)^2$是顶点式，其顶点坐标为$(-m,0)$，已知顶点坐标为$(-1,0)$，可先求出$m$的值，再将点$A$的坐标代入顶点式求出$a$的值，即可得到原抛物线的函数表达式。
（2）判断点$B$是否在抛物线上，只需将$x=2$代入原函数表达式，计算对应的$y$值，与点$B$的纵坐标对比即可。沿$x$轴平移抛物线时，二次项系数$a$不变，仅顶点横坐标改变，因此可设平移后新抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+t)^2$，代入点$B$的坐标求出$t$的值，再根据“左加右减”的平移规律确定平移方向和距离，得到新的函数表达式。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点为$(-1,0)$，
∴$-m=-1$，解得$m=1$，
∴抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$，
将点$A(-2,-\frac{1}{2})$代入得：
$-\frac{1}{2}=a·(-2+1)^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴这个抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$。
（2）当$x=2$时，代入$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$得：
$y=-\frac{1}{2}×(2+1)^2=-\frac{9}{2}≠-2$，
∴这条抛物线不经过点$B(2,-2)$。
设沿$x$轴方向平移后新抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+t)^2$，将$B(2,-2)$代入得：
$-2=-\frac{1}{2}(2+t)^2$，
整理得$(2+t)^2=4$，
解得$t_1=0$，$t_2=-4$。
对应两种平移方式：
① 将原抛物线沿$x$轴向右平移1个单位，新抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2$；
② 将原抛物线沿$x$轴向右平移5个单位，新抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2$。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$；
（2）不经过点$B$，平移方案有两种：①沿$x$轴向右平移1个单位，新抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$；②沿$x$轴向右平移5个单位，新抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2$。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的平移；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用与平移性质，解题核心是掌握顶点式参数与顶点坐标的对应关系，以及平移时“左加右减”的规律，注意本题存在两种平移方案，解题时不要漏解。
【难度系数】
0.7
（1）抛物线$y=a(x+m)^2$是顶点式，其顶点坐标为$(-m,0)$，已知顶点坐标为$(-1,0)$，可先求出$m$的值，再将点$A$的坐标代入顶点式求出$a$的值，即可得到原抛物线的函数表达式。
（2）判断点$B$是否在抛物线上，只需将$x=2$代入原函数表达式，计算对应的$y$值，与点$B$的纵坐标对比即可。沿$x$轴平移抛物线时，二次项系数$a$不变，仅顶点横坐标改变，因此可设平移后新抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+t)^2$，代入点$B$的坐标求出$t$的值，再根据“左加右减”的平移规律确定平移方向和距离，得到新的函数表达式。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点为$(-1,0)$，
∴$-m=-1$，解得$m=1$，
∴抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$，
将点$A(-2,-\frac{1}{2})$代入得：
$-\frac{1}{2}=a·(-2+1)^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴这个抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$。
（2）当$x=2$时，代入$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$得：
$y=-\frac{1}{2}×(2+1)^2=-\frac{9}{2}≠-2$，
∴这条抛物线不经过点$B(2,-2)$。
设沿$x$轴方向平移后新抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+t)^2$，将$B(2,-2)$代入得：
$-2=-\frac{1}{2}(2+t)^2$，
整理得$(2+t)^2=4$，
解得$t_1=0$，$t_2=-4$。
对应两种平移方式：
① 将原抛物线沿$x$轴向右平移1个单位，新抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2$；
② 将原抛物线沿$x$轴向右平移5个单位，新抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2$。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$；
（2）不经过点$B$，平移方案有两种：①沿$x$轴向右平移1个单位，新抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$；②沿$x$轴向右平移5个单位，新抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2$。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的平移；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用与平移性质，解题核心是掌握顶点式参数与顶点坐标的对应关系，以及平移时“左加右减”的规律，注意本题存在两种平移方案，解题时不要漏解。
【难度系数】
0.7
