24.「2025重庆奉节期末，★★」(14分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于A,B两点,与y轴交于点C,连接OA,$△ AOC$的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点,且位于直线AB下方,过点P作$PD⊥x$轴交直线AB于点D,作$PE⊥y$轴于点E,若$PD+PE=6$,求点P的坐标.
(3)若M是x轴负半轴上一点,N是反比例函数图象上一点,当以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求点N的坐标.

(1)如图,过点 A 作 $AH ⊥ y$ 轴于点 H,
对于 $y=\frac{1}{2}x+1$,当 $x=0$ 时,$y=1$,$\therefore OC=1$,
$\because △ AOC$ 的面积为 1,$\therefore \frac{1}{2}OC · AH=1$,$\therefore AH=2$,
当 $x=2$ 时,$y=\frac{1}{2}×2+1=2$,$\therefore A(2,2)$,
将 $(2,2)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=2×2=4$,$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{4}{x}$.
(2)联立,得 $\begin{cases}y=\frac{4}{x},\\y=\frac{1}{2}x+1,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=2,\\y=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-4,\\y=-1,\end{cases}$
结合题意可知 $B(-4,-1)$,设 $P(a,\frac{4}{a})$,
则 $D(a,\frac{1}{2}a+1)$,$PE=-a$,$\therefore PD=\frac{1}{2}a+1-\frac{4}{a}$,
$\therefore PD+PE=\frac{1}{2}a+1-\frac{4}{a}-a=6$,$\therefore a^2+10a+8=0$,
解得 $a=-5±\sqrt{17}$,
由题意可知 $-4＜a＜0$.$\therefore a=-5+\sqrt{17}$,
此时 $y=-\frac{\sqrt{17}+5}{2}$,$\therefore P(-5+\sqrt{17},-\frac{\sqrt{17}+5}{2})$.
(3)设 $M(m,0)$,$N(n,\frac{4}{n})$,其中 $m＜0$,
$\because$ 以 A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,$A(2,2)$,$B(-4,-1)$,
$\therefore$ 当 AB,MN 为对角线时,$2-4=m+n$,$2-1=\frac{4}{n}$,解得 $m=-6$,$n=4$,$\therefore N(4,1)$.
当 AM,BN 为对角线时,$2+m=-4+n$,$2=-1+\frac{4}{n}$,解得 $m=-\frac{14}{3}$,$n=\frac{4}{3}$,$\therefore N(\frac{4}{3},3)$.
当 AN,BM 为对角线时,$2+n=-4+m$,$2+\frac{4}{n}=-1$,解得 $m=\frac{14}{3}$,$n=-\frac{4}{3}$(舍去).
综上所述,点 N 的坐标为 $(4,1)$ 或 $(\frac{4}{3},3)$.