21.「2025青海中考，★★☆」(10分)如图，直线$y=-x+b$与x轴交于点$A(1,0)$，与y轴交于点B，与反比例函数$y=\frac{m}{x}$（m为常数，$m≠0$）的图象在第二象限交于点$C(-1,a)$。
(1)求反比例函数的解析式。
(2)求$△ BOC$的面积。

(1)把 $(1,0)$ 代入 $y=-x+b$,得 $0=-1+b$,$\therefore b=1$,$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=-x+1$.
把 $(-1,a)$ 代入 $y=-x+1$,得 $a=1+1=2$,$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(-1,2)$.
把 $(-1,2)$ 代入 $y=\frac{m}{x}$,得 $2=\frac{m}{-1}$,$\therefore m=-2$,$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=-\frac{2}{x}$.
(2)如图,过 C 点作 $CH ⊥ y$ 轴于点 H,
$\because C(-1,2)$,$\therefore CH=1$,
把 $x=0$ 代入 $y=-x+1$,得 $y=1$,$\therefore B(0,1)$,$\therefore OB=1$,
$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB · CH=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$.

22.「2026广东广州海珠期中，★★☆」(10分)如图，已知$□ OABC$的顶点A,C都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，点C的坐标为(2,3)，点B的纵坐标为4.
(1)求A点的坐标.
(2)求$□ OABC$的面积.

(1)$\because$ 点 $C(2,3)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,$\therefore k=2×3=6$,$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{6}{x}$.
$\because$ 在 $□ OABC$ 中,$AB // OC$,$BC // OA$,且 $AB=OC$,$BC=OA$,$C(2,3)$,点 B 的纵坐标为 4,$\therefore$ 点 A 的纵坐标为 1,
把 $y=1$ 代入 $y=\frac{6}{x}$,得 $x=6$,$\therefore A(6,1)$.
(2)如图,过 A 点作 $AE ⊥ x$ 轴于点 E,过 C 点作 $CF ⊥ x$ 轴于点 F,连接 AC.
$\because$ 四边形 OABC 是平行四边形,$\therefore S_{□ OABC}=2S_{△ AOC}$.由反比例函数中 k的几何意义,得 $S_{△ OCF}=S_{△ OAE}=\frac{|k|}{2}$,$\therefore S_{△ AOC}=S_{\mathrm{梯形}AEFC}$.
$\because A(6,1)$,$C(2,3)$,$\therefore AE=1$,$CF=3$,$EF=6-2=4$,$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×(1+3)×4=8$,$\therefore S_{□ OABC}=16$.

23. 核心素养 模型观念「2026 山东济南长清期中，★★☆」(12分)如图所示的是某公园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BC段可看成一段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=6米，AB=2米.以点O为原点，水面上OE所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求BC段滑梯所在的双曲线的解析式(不需写出x的取值范围).
(2)出口C点到水面的距离为1.5米，求B,C之间的水平距离.
(3)若想要在滑梯BC上的点Q处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点Q到BE的距离为2米，是否符合要求？

(1)$\because OA=6$ 米,$AB=2$ 米,$\therefore$ 点 B 的坐标为 $(2,6)$,设 BC 段滑梯所在的双曲线的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$,将$(2,6)$ 代入,得 $\frac{k}{2}=6$,解得 $k=12$,$\therefore BC$ 段滑梯所在的双曲线的解析式为 $y=\frac{12}{x}$.
(2)设点 C 的坐标为 $(m,1.5)$,将 $(m,1.5)$ 代入 $y=\frac{12}{x}$,得 $\frac{12}{m}=1.5$,解得 $m=8$,$8-2=6$(米),$\therefore B,C$ 之间的水平距离为 6 米.
(3)当点 Q 到 BE 的距离为 2 米时,点 Q 的横坐标为 $2+2=4$,此时点 Q 的纵坐标为 $y=\frac{12}{4}=3$,$\because$ 要求安全警示牌到水面的距离不低于 3 米,$\therefore$ 点 Q 到 BE 的距离为 2 米时,符合要求.