如图,已知△ABC.

【基础设问】
(1)若∠A是锐角,且$\cos(∠ B + 15°) = \frac{1}{2}$,则∠B的度数为.
(2)若∠C=90°,AC=3,$\tan A = \frac{8}{3}$,则BC的值为,AB的值为.
(3)若∠C=90°,∠A=2∠B,求$\cos^2 A + \sqrt{3}\sin A · \tan B$的值.
【能力设问】
(4)若∠C=90°,$\sin A = \frac{2}{3}$,求$\tan B$和$\cos A$的值.
(5)若BC=12,$\tan A = \frac{3}{4}$,∠B=30°,求AC和AB的长.
(6)如图,若∠ACB=90°,∠A=2∠B,AC=4,D为AB中点,求CD的长.

(7)如图,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度,在点A处测得树顶C的仰角为45°,在点B处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一直线上,若AB=16 m,求这棵树CD的高度.

(8)某步道外形近似于如图所示的Rt△ABC,其中∠C=90°,AB与BC间另有步道DE相连,D地在AB正中位置,E地与C地相距1 km.若$\tan∠ ABC = \frac{3}{4}$,∠DEB=45°,小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈,他跑了多少千米?

(1) $45°$
由题意得, $∠ B + 15° = 60°, \therefore ∠ B = 45°$.
(2) $8 \quad \sqrt{73}$
$\because \tan A = \frac{BC}{AC}, \therefore BC = AC · \tan A = 3 × \frac{8}{3} = 8$. 由勾股定理得,
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{73}$.
(3) $\because ∠ A + ∠ B = 90°, ∠ A = 2∠ B, \therefore ∠ A = 60°, ∠ B = 30°$,
$\therefore \cos^2 A + \sqrt{3}\sin A · \tan B = \cos^2 60° + \sqrt{3}\sin 60° · \tan 30° = \frac{1}{4} + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
(4) $\because \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}, \therefore$ 设 $BC = 2k, AB = 3k$.
由勾股定理得, $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5}k$,
$\therefore \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}k}{2k} = \frac{\sqrt{5}}{2}, \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}k}{3k} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
(5) 如图,过点 $C$ 作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCH$ 中, $\because BC = 12, ∠ B = 30°$,
$\therefore CH = 6, \therefore BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = 6\sqrt{3}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中, $\because \tan A = \frac{3}{4} = \frac{CH}{AH}, \therefore AH = 8$,
$\therefore AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = 10, \therefore AB = AH + BH = 8 + 6\sqrt{3}$.
(6) $\because ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ A + ∠ B = 90°$.
$\because ∠ A = 2∠ B, \therefore ∠ B = 30°, \therefore AB = 2AC$.
$\because AC = 4, \therefore AB = 4 × 2 = 8$,
$\because D$ 为斜边 $AB$ 中点, $\therefore CD = \frac{1}{2}AB, \therefore CD = 4$.
(7) 设 $AD = x \mathrm{ m}$.
$\because AB = 16 \mathrm{ m}, \therefore BD = AB - AD = (16 - x) \mathrm{ m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $∠ A = 45°, \therefore CD = AD · \tan 45° = x \mathrm{ m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ CDB$ 中, $∠ B = 60°, \therefore \tan 60° = \frac{CD}{BD} = \frac{x}{16 - x} = \sqrt{3}$,
$\therefore x = 24 - 8\sqrt{3}$, 经检验, $x = 24 - 8\sqrt{3}$ 是原分式方程的根且符合题意,
$\therefore CD = 24 - 8\sqrt{3} = 8(3 - \sqrt{3})(\mathrm{m})$.
答:这棵树 $CD$ 的高度为 $8(3 - \sqrt{3})(\mathrm{m})$.
(8) 如图,过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$ 于点 $F$.
设 $EF = x \mathrm{ km}$, 则 $DF = x \mathrm{ km}, BF = \frac{4}{3}x \mathrm{ km}$.
在 $\mathrm{Rt}△ BFD$ 中, $BD = \sqrt{BF^2 + DF^2} = \frac{5}{3}x \mathrm{ km}$.
$\because D$ 地在 $AB$ 正中位置, $\therefore AB = 2BD = \frac{10}{3}x \mathrm{ km}$.
$\because \tan ∠ ABC = \frac{3}{4}, \therefore \cos ∠ ABC = \frac{4}{5}$,
$\therefore \frac{x + \frac{4}{3}x + 1}{\frac{10}{3}x} = \frac{4}{5}$, 解得 $x = 3$,
经检验, $x = 3$ 是原分式方程的根且符合题意,
则 $BC = 8 \mathrm{ km}, AB = 10 \mathrm{ km}, \therefore AC = 6 \mathrm{ km}$.
故小张某天沿 $A \to C \to E \to B \to D \to A$ 路线跑一圈,他跑了 $8 + 10 + 6 = 24(\mathrm{km})$.

【分析】
本系列题目围绕直角三角形与锐角三角函数相关知识设置，解题思路如下：
1. 涉及特殊角三角函数值的问题，先牢记特殊角的三角函数值，根据已知三角函数值反推对应角度，再计算未知角；
2. 直角三角形中求边长的问题，先根据锐角三角函数的定义，即对边、邻边、斜边的比值，结合已知边长求出未知边，再用勾股定理计算剩余边长；
3. 涉及角度关系的，先利用直角三角形两锐角互余求出各角度数，再代入三角函数式计算；
4. 非直角三角形或实际应用问题，通过作高构造直角三角形，分别在两个直角三角形中利用三角函数表示公共边的长度，建立方程求解；
5. 结合直角三角形斜边中线等于斜边一半、30°角所对直角边是斜边一半的性质可快速求解相关线段长度。
【解析】
(1) 已知$\cos(∠ B + 15°)=\frac{1}{2}$，根据特殊角的三角函数值，$\cos60°=\frac{1}{2}$，且$∠ B$是三角形内角为锐角，因此$∠ B + 15°=60°$，解得$∠ B=45°$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}$，代入$AC=3$，$\tan A=\frac{8}{3}$，得$BC=AC·\tan A=3×\frac{8}{3}=8$；再由勾股定理$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}$。
(3) 已知$∠ C=90°$，则$∠ A+∠ B=90°$，结合$∠ A=2∠ B$，解得$∠ A=60°$，$∠ B=30°$。代入式子得：
$\cos^2 A + \sqrt{3}\sin A · \tan B=\cos^260°+\sqrt{3}\sin60°·\tan30°=(\frac{1}{2})^2+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(4) 已知$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，设$BC=2k$，$AB=3k$（$k＞0$），由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{5}k$。因此$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}k}{2k}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
(5) 过点$C$作$CH⊥AB$于点$H$ ：
在$Rt△ BCH$中，$BC=12$，$∠ B=30°$，因此$CH=\frac{1}{2}BC=6$，$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$；
在$Rt△ ACH$中，$\tan A=\frac{CH}{AH}=\frac{3}{4}$，代入$CH=6$得$AH=8$，因此$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，$AB=AH+BH=8+6\sqrt{3}$。
(6) 已知$∠ ACB=90°$，则$∠ A+∠ B=90°$，结合$∠ A=2∠ B$，得$∠ B=30°$，因此$AB=2AC=2×4=8$；又因为$D$是斜边$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线性质，$CD=\frac{1}{2}AB=4$。
(7) 设$AD=x\ \mathrm{m}$，则$BD=AB-AD=(16-x)\ \mathrm{m}$：
在$Rt△ ADC$中，$∠ A=45°$，因此$CD=AD·\tan45°=x\ \mathrm{m}$；
在$Rt△ CDB$中，$∠ B=60°$，$\tan60°=\frac{CD}{BD}=\frac{x}{16-x}=\sqrt{3}$，解得$x=24-8\sqrt{3}$，经检验$x=24-8\sqrt{3}$是原方程的根且符合题意，因此$CD=24-8\sqrt{3}=8(3-\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(8) 过点$D$作$DF⊥BC$于点$F$ ，设$EF=x\ \mathrm{km}$：
因为$∠ DEB=45°$，所以$DF=EF=x\ \mathrm{km}$；在$Rt△ BFD$中，$\tan∠ ABC=\frac{DF}{BF}=\frac{3}{4}$，因此$BF=\frac{4}{3}x\ \mathrm{km}$，$BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\frac{5}{3}x\ \mathrm{km}$；
因为$D$是$AB$中点，所以$AB=2BD=\frac{10}{3}x\ \mathrm{km}$；又$\cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$BC=CE+EF+BF=1+x+\frac{4}{3}x$，代入得$\frac{1+\frac{7}{3}x}{\frac{10}{3}x}=\frac{4}{5}$，解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的根且符合题意；
因此$BC=8\ \mathrm{km}$，$AB=10\ \mathrm{km}$，由勾股定理得$AC=6\ \mathrm{km}$，总路程为$AC+BC+AB=6+8+10=24\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) $45°$
(2) $8$；$\sqrt{73}$
(3) $\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
(4) $\tan B=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\cos A=\frac{\sqrt{5}}{3}$
(5) $AC=10$，$AB=8+6\sqrt{3}$
(6) $4$
(7) $8(3-\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
(8) $24\ \mathrm{km}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，解直角三角形，直角三角形的性质
【点评】
本组题目由浅入深，既考查了特殊角三角函数值的识记、锐角三角函数基本定义的应用，也考查了构造直角三角形解决实际问题的能力，注重对基础知识点的掌握和灵活运用能力的考察。
【难度系数】
0.65