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1. [2023攀枝花中考]在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$. 已知$a=6$，$b=8$，$c=10$，则$\cos A$的值为（
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
C
）A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
1. C 在 $△ ABC$ 中, $a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, c^2 = 100$,
$\therefore a^2 + b^2 = c^2, \therefore △ ABC$ 是直角三角形, 且 $∠ C = 90°, \therefore \cos A = \frac{b}{c} = \frac{4}{5}$.
$\therefore a^2 + b^2 = c^2, \therefore △ ABC$ 是直角三角形, 且 $∠ C = 90°, \therefore \cos A = \frac{b}{c} = \frac{4}{5}$.
解析
【分析】
已知三角形三边长度要求$\cos A$的值，解题可分为两步思考：第一步先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定直角的位置；第二步若为直角三角形，再根据锐角三角函数中余弦的定义（角的邻边与斜边的比值）代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
在$△ ABC$中，先计算较短两边的平方和：$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
最长边的平方为：$c^2 = 10^2 = 100$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$，
根据余弦的定义，$\cos A = \frac{∠ A的邻边}{斜边} = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先判定三角形为直角三角形，再结合余弦的定义计算即可，熟记相关定理和概念就能快速解答。
【难度系数】
0.85
已知三角形三边长度要求$\cos A$的值，解题可分为两步思考：第一步先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定直角的位置；第二步若为直角三角形，再根据锐角三角函数中余弦的定义（角的邻边与斜边的比值）代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
在$△ ABC$中，先计算较短两边的平方和：$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
最长边的平方为：$c^2 = 10^2 = 100$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$，
根据余弦的定义，$\cos A = \frac{∠ A的邻边}{斜边} = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；余弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先判定三角形为直角三角形，再结合余弦的定义计算即可，熟记相关定理和概念就能快速解答。
【难度系数】
0.85
2. [2024哈尔滨中考] $△ ABC$是直角三角形，$AB = 2\sqrt{3}$，$∠ ABC = 30°$，则$AC$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
2. $2或\sqrt{3}$ 直角不确定, 需分情况讨论:①若 $∠ A = 90°$, 则 $\tan B = \frac{AC}{AB} = \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore AC = \frac{\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{3} = 2$; ②若 $∠ C = 90°$, 则 $\sin B = \frac{AC}{AB} = \sin 30° = \frac{1}{2}$, 则 $AC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$. 综上, $AC$ 的长为 $2$ 或 $\sqrt{3}$.
解析
【分析】
题目仅说明△ABC是直角三角形，未明确直角顶点，首先排除∠ABC=30°为直角的可能，因此需分∠A为直角、∠C为直角两种情况讨论，再结合锐角三角函数的定义分别计算AC的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠ABC=30°，
∴直角不可能为∠B，分两种情况讨论：
①若∠A=90°，在Rt△ABC中，$\tan B=\frac{AC}{AB}$，
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$AB=2\sqrt{3}$，
∴$AC=AB·\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$；
②若∠C=90°，在Rt△ABC中，$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
∵$\sin30°=\frac{1}{2}$，
∴$AC=AB·\sin30°=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$。
综上，AC的长为2或$\sqrt{3}$。
【答案】
$2或\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形分类讨论、锐角三角函数的应用
【点评】
本题易错点是忽略直角顶点的不确定性，出现漏解的情况，解题时需先根据已知条件确定所有可能的直角位置，再结合直角三角形的相关性质计算，考查分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
题目仅说明△ABC是直角三角形，未明确直角顶点，首先排除∠ABC=30°为直角的可能，因此需分∠A为直角、∠C为直角两种情况讨论，再结合锐角三角函数的定义分别计算AC的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠ABC=30°，
∴直角不可能为∠B，分两种情况讨论：
①若∠A=90°，在Rt△ABC中，$\tan B=\frac{AC}{AB}$，
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$AB=2\sqrt{3}$，
∴$AC=AB·\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$；
②若∠C=90°，在Rt△ABC中，$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
∵$\sin30°=\frac{1}{2}$，
∴$AC=AB·\sin30°=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$。
综上，AC的长为2或$\sqrt{3}$。
【答案】
$2或\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形分类讨论、锐角三角函数的应用
【点评】
本题易错点是忽略直角顶点的不确定性，出现漏解的情况，解题时需先根据已知条件确定所有可能的直角位置，再结合直角三角形的相关性质计算，考查分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
3. [2025广州中考] 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,∠ACB = 90°,AD平分∠CAB,已知$\cos∠CAD=\frac{12}{13}$,AB = 26,则点B到AD的距离为
10
。答案
3. 10 如图,过点 $D$ 作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$, 设点 $B$ 到 $AD$ 的距离为 $h$, 则 $\frac{1}{2}AB · DH = \frac{1}{2}AD · h$(等面积法). $\because AD$ 平分 $∠ CAB, DC ⊥ AC, DH ⊥ AB, \therefore CD = DH. \because \cos ∠ CAD = \frac{AC}{AD} = \frac{12}{13}, \therefore$ 设 $AC = 12k, AD = 13k$, 由勾股定理得 $CD = \sqrt{AD^2 - AC^2} = 5k, \therefore \frac{1}{2} × 26 × 5k = \frac{1}{2} × 13k × h, \therefore h = 10$.
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路思考：①求点B到AD的距离属于求点到直线的距离，可通过等面积法建立关系求解，无需直接作出该高计算；②已知AD是∠CAB的角平分线，结合角平分线的性质，可得DC=DH（DH为D到AB的距离）；③已知cos∠CAD的值，可利用三角函数定义设参数表示出AC、AD、CD的长度，进而得到DH的长度；④利用△ABD的面积的两种不同表示方法建立等式，消去参数即可求出点B到AD的距离。
【解析】
解：过点$D$作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$，设点 $B$ 到 $AD$ 的距离为 $h$。
1. 根据角平分线的性质：
∵AD平分$∠CAB$，$DC ⊥ AC$，$DH ⊥ AB$，
∴$CD = DH$。
2. 利用三角函数定义：
∵$\cos ∠ CAD = \frac{AC}{AD} = \frac{12}{13}$，
∴设 $AC = 12k$，$AD = 13k$（$k≠0$）。
3. 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得：$CD = \sqrt{AD^2 - AC^2} = \sqrt{(13k)^2 - (12k)^2} = 5k$，因此$DH=CD=5k$。
4. 用等面积法计算$h$：$△ ABD$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB · DH$，也可表示为$\frac{1}{2}AD · h$，因此有：
$\frac{1}{2}AB · DH = \frac{1}{2}AD · h$
代入$AB=26$，$DH=5k$，$AD=13k$，得：
$\frac{1}{2} × 26 × 5k = \frac{1}{2} × 13k × h$
两边同时约去$\frac{1}{2}k$，解得$h=10$。
【答案】
10
【知识点】
角平分线的性质；三角函数的定义；等面积法求高
【点评】
本题是几何综合基础题，将角平分线性质、解直角三角形、面积法结合考查，解题的核心是合理设参数，利用面积相等建立等式消去参数得到结果，是初中几何中求点到直线距离的典型考法。
【难度系数】
0.65
要解决本题，可按以下思路思考：①求点B到AD的距离属于求点到直线的距离，可通过等面积法建立关系求解，无需直接作出该高计算；②已知AD是∠CAB的角平分线，结合角平分线的性质，可得DC=DH（DH为D到AB的距离）；③已知cos∠CAD的值，可利用三角函数定义设参数表示出AC、AD、CD的长度，进而得到DH的长度；④利用△ABD的面积的两种不同表示方法建立等式，消去参数即可求出点B到AD的距离。
【解析】
解：过点$D$作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$，设点 $B$ 到 $AD$ 的距离为 $h$。
1. 根据角平分线的性质：
∵AD平分$∠CAB$，$DC ⊥ AC$，$DH ⊥ AB$，
∴$CD = DH$。
2. 利用三角函数定义：
∵$\cos ∠ CAD = \frac{AC}{AD} = \frac{12}{13}$，
∴设 $AC = 12k$，$AD = 13k$（$k≠0$）。
3. 在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得：$CD = \sqrt{AD^2 - AC^2} = \sqrt{(13k)^2 - (12k)^2} = 5k$，因此$DH=CD=5k$。
4. 用等面积法计算$h$：$△ ABD$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB · DH$，也可表示为$\frac{1}{2}AD · h$，因此有：
$\frac{1}{2}AB · DH = \frac{1}{2}AD · h$
代入$AB=26$，$DH=5k$，$AD=13k$，得：
$\frac{1}{2} × 26 × 5k = \frac{1}{2} × 13k × h$
两边同时约去$\frac{1}{2}k$，解得$h=10$。
【答案】
10
【知识点】
角平分线的性质；三角函数的定义；等面积法求高
【点评】
本题是几何综合基础题，将角平分线性质、解直角三角形、面积法结合考查，解题的核心是合理设参数，利用面积相等建立等式消去参数得到结果，是初中几何中求点到直线距离的典型考法。
【难度系数】
0.65
4. [2024 广元中考] 如图,已知 $y=\sqrt{3}x$ 与 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 $A(2,m)$,点 $B$ 为 $y$ 轴上一点,将 $△ OAB$ 沿 $OA$ 翻折,使点 $B$ 恰好落在 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上点 $C$ 处,则点 $B$ 坐标为
(0,4)
.答案
4. $(0,4)$ 如图,过点 $A$ 作 $AH ⊥ y$ 轴于点 $H$, 过点 $C$ 作 $CD ⊥ x$ 轴于点 $D$. 把点 $A(2,m)$ 代入 $y = \sqrt{3}x$, 得 $m = 2\sqrt{3}, \therefore A(2, 2\sqrt{3})$. 把 $A(2,2\sqrt{3})$ 代入 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$, 解得 $k = 4\sqrt{3}, \therefore y = \frac{4\sqrt{3}}{x}$. 设 $C(n, \frac{4\sqrt{3}}{n})$, 在 $\mathrm{Rt}△ AHO$ 中, $\tan ∠ 1 = \frac{AH}{OH} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\therefore ∠ 1 = 30°. \because △ OAC$ 是由 $△ OAB$ 沿 $OA$ 翻折得到的, $\therefore ∠ 2 = ∠ 1 = 30°, OC = OB, \therefore ∠ 3 = 90° - ∠ 1 - ∠ 2 = 30°, \therefore \frac{CD}{OD} = \tan ∠ 3 = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{n}}{n}, \therefore n = 2\sqrt{3}, \therefore C(2\sqrt{3}, 2), \therefore OB = OC = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = 4, \therefore B(0,4)$.
解析
【分析】
解题时先从已知的交点A入手，首先将A点横坐标代入正比例函数解析式求出A点纵坐标，得到A点坐标后再代入反比例函数求出k值，确定反比例函数的解析式。接下来利用折叠的性质得到对应角相等、对应边相等，通过A点坐标求出OA与y轴的夹角，进而得到OC与x轴的夹角，结合C点在反比例函数图象上的特点，设出C点坐标利用三角函数关系列方程求出C点坐标，最后计算OC的长度，由OC=OB即可得到B点坐标。
【解析】
过点A作$AH ⊥ y$轴于点$H$，过点$C$作$CD ⊥ x$轴于点$D$。
1. 求点$A$坐标：把$A(2,m)$代入$y = \sqrt{3}x$，得$m = 2\sqrt{3}$，$\therefore A(2, 2\sqrt{3})$。
2. 求反比例函数解析式：把$A(2,2\sqrt{3})$代入$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$，解得$k = 2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$\therefore$反比例函数解析式为$y = \frac{4\sqrt{3}}{x}$。
3. 求夹角大小：在$\mathrm{Rt}△ AHO$中，$\tan ∠ 1 = \frac{AH}{OH} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore ∠ 1 = 30°$。
4. 利用折叠性质：$\because △ OAC$是由$△ OAB$沿$OA$翻折得到的，$\therefore ∠ 2 = ∠ 1 = 30°, OC = OB$，$\therefore ∠ 3 = 90° - ∠ 1 - ∠ 2 = 30°$。
5. 求点$C$坐标：设$C(n, \frac{4\sqrt{3}}{n})$，在$\mathrm{Rt}△CDO$中，$\tan ∠ 3 = \frac{CD}{OD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{n}}{n}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$n^2=12$，$\because x＞0$，$\therefore n=2\sqrt{3}$，即$C(2\sqrt{3}, 2)$。
6. 求点$B$坐标：$OC = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = 4$，$\because OC=OB$且点$B$在$y$轴上，$\therefore B(0,4)$。
【答案】
$(0,4)$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，折叠的性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合考查了一次函数与反比例函数的交点问题、图形折叠的性质，解题关键是利用折叠的性质得到相等的角和边，结合锐角三角函数求出点C的坐标，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的交点A入手，首先将A点横坐标代入正比例函数解析式求出A点纵坐标，得到A点坐标后再代入反比例函数求出k值，确定反比例函数的解析式。接下来利用折叠的性质得到对应角相等、对应边相等，通过A点坐标求出OA与y轴的夹角，进而得到OC与x轴的夹角，结合C点在反比例函数图象上的特点，设出C点坐标利用三角函数关系列方程求出C点坐标，最后计算OC的长度，由OC=OB即可得到B点坐标。
【解析】
过点A作$AH ⊥ y$轴于点$H$，过点$C$作$CD ⊥ x$轴于点$D$。
1. 求点$A$坐标：把$A(2,m)$代入$y = \sqrt{3}x$，得$m = 2\sqrt{3}$，$\therefore A(2, 2\sqrt{3})$。
2. 求反比例函数解析式：把$A(2,2\sqrt{3})$代入$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$，解得$k = 2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$\therefore$反比例函数解析式为$y = \frac{4\sqrt{3}}{x}$。
3. 求夹角大小：在$\mathrm{Rt}△ AHO$中，$\tan ∠ 1 = \frac{AH}{OH} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore ∠ 1 = 30°$。
4. 利用折叠性质：$\because △ OAC$是由$△ OAB$沿$OA$翻折得到的，$\therefore ∠ 2 = ∠ 1 = 30°, OC = OB$，$\therefore ∠ 3 = 90° - ∠ 1 - ∠ 2 = 30°$。
5. 求点$C$坐标：设$C(n, \frac{4\sqrt{3}}{n})$，在$\mathrm{Rt}△CDO$中，$\tan ∠ 3 = \frac{CD}{OD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{n}}{n}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$n^2=12$，$\because x＞0$，$\therefore n=2\sqrt{3}$，即$C(2\sqrt{3}, 2)$。
6. 求点$B$坐标：$OC = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = 4$，$\because OC=OB$且点$B$在$y$轴上，$\therefore B(0,4)$。
【答案】
$(0,4)$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，折叠的性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合考查了一次函数与反比例函数的交点问题、图形折叠的性质，解题关键是利用折叠的性质得到相等的角和边，结合锐角三角函数求出点C的坐标，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
5. [2025攀枝花中考]如图,已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别为$a$,$b$,$c$.
(1)根据锐角三角函数的定义,证明:$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
(2)若$\sin A = \dfrac{1}{3}$,求$\cos A$的值.
(1)根据锐角三角函数的定义,证明:$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
(2)若$\sin A = \dfrac{1}{3}$,求$\cos A$的值.
答案
5. (1)证明:根据题意得, $\sin A = \frac{a}{c}, \cos A = \frac{b}{c}$,
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, 由勾股定理得, $a^2 + b^2 = c^2$,
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$.
(2)解: $\because \sin A = \frac{1}{3}, \sin^2 A + \cos^2 A = 1$,
$\therefore \frac{1}{9} + \cos^2 A = 1, \therefore \cos^2 A = \frac{8}{9}$,
$\therefore \cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}(0 ＜ \cos A ＜ 1)$.
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, 由勾股定理得, $a^2 + b^2 = c^2$,
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$.
(2)解: $\because \sin A = \frac{1}{3}, \sin^2 A + \cos^2 A = 1$,
$\therefore \frac{1}{9} + \cos^2 A = 1, \therefore \cos^2 A = \frac{8}{9}$,
$\therefore \cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}(0 ＜ \cos A ＜ 1)$.
解析
【分析】
(1) 要证明$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，首先根据锐角三角函数的定义，分别写出$\sin A$和$\cos A$关于直角三角形三边的表达式，将两者平方后相加，再结合直角三角形的勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入化简即可完成证明。
(2) 已知$\sin A$的值，直接利用第一问证明得到的$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$的结论，代入数值求解$\cos^2 A$，再结合$∠ A$是锐角，余弦值为正数，舍去负根即可得到$\cos A$的值。
【解析】
(1) 证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{b}{c}$，
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$。
由勾股定理可知，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，
代入上式得：$\sin^2 A + \cos^2 A = \frac{c^2}{c^2} = 1$，原式得证。
(2) 解：由(1)可知$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，将$\sin A = \frac{1}{3}$代入得：
$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 A = 1$，即$\frac{1}{9} + \cos^2 A = 1$，
移项计算得$\cos^2 A = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$，
$\because ∠ A$是直角三角形的锐角，$\therefore 0 ＜ \cos A ＜ 1$，
$\therefore \cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\cos A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义 2. 勾股定理 3. 同角三角函数平方关系
【点评】
本题属于基础题，第一问引导学生通过已有知识推导同角三角函数的核心关系，加深对概念的理解，第二问直接应用推导结论计算，侧重对基础知识的掌握和简单应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
(1) 要证明$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，首先根据锐角三角函数的定义，分别写出$\sin A$和$\cos A$关于直角三角形三边的表达式，将两者平方后相加，再结合直角三角形的勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入化简即可完成证明。
(2) 已知$\sin A$的值，直接利用第一问证明得到的$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$的结论，代入数值求解$\cos^2 A$，再结合$∠ A$是锐角，余弦值为正数，舍去负根即可得到$\cos A$的值。
【解析】
(1) 证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{b}{c}$，
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$。
由勾股定理可知，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，
代入上式得：$\sin^2 A + \cos^2 A = \frac{c^2}{c^2} = 1$，原式得证。
(2) 解：由(1)可知$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，将$\sin A = \frac{1}{3}$代入得：
$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 A = 1$，即$\frac{1}{9} + \cos^2 A = 1$，
移项计算得$\cos^2 A = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$，
$\because ∠ A$是直角三角形的锐角，$\therefore 0 ＜ \cos A ＜ 1$，
$\therefore \cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\cos A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义 2. 勾股定理 3. 同角三角函数平方关系
【点评】
本题属于基础题，第一问引导学生通过已有知识推导同角三角函数的核心关系，加深对概念的理解，第二问直接应用推导结论计算，侧重对基础知识的掌握和简单应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
6. [2024浙江中考]如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$AE$是$BC$边上的中线,$AB = 10$,$AD = 6$,$\tan∠ ACB = 1$.
(1)求$BC$的长.
(2)求$\sin∠ DAE$的值.
(1)求$BC$的长.
(2)求$\sin∠ DAE$的值.
答案
6. 解:(1) $\because AD ⊥ BC, AB = 10, AD = 6$,
$\therefore BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
$\because \tan ∠ ACB = 1, \therefore CD = AD = 6$,
$\therefore BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$.
(2) $\because AE$ 是 $BC$ 边上的中线,
$\therefore CE = \frac{1}{2}BC = 7, \therefore DE = CE - CD = 7 - 6 = 1$.
$\because AD ⊥ BC, \therefore AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$,
$\therefore \sin ∠ DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$.
$\therefore BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
$\because \tan ∠ ACB = 1, \therefore CD = AD = 6$,
$\therefore BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$.
(2) $\because AE$ 是 $BC$ 边上的中线,
$\therefore CE = \frac{1}{2}BC = 7, \therefore DE = CE - CD = 7 - 6 = 1$.
$\because AD ⊥ BC, \therefore AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$,
$\therefore \sin ∠ DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$.
解析
【分析】
（1）求BC的长可拆分求BD和CD的长度再相加：首先由AD⊥BC可知△ABD为直角三角形，已知AB、AD的长度，利用勾股定理可求出BD；再由tan∠ACB=1可知Rt△ADC为等腰直角三角形，可得CD=AD，将BD与CD相加即可得到BC的长。
（2）求sin∠DAE的值，需结合锐角三角函数的定义，在Rt△ADE中计算：首先根据AE是BC边上的中线，求出CE的长度，再用CE减去CD得到DE的长度；接着用勾股定理求出斜边AE的长度，最后根据正弦是对边与斜边的比值计算即可，注意结果要分母有理化。
【解析】
(1) $\because AD ⊥ BC, AB = 10, AD = 6$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
$\because \tan ∠ ACB = 1, AD⊥ BC$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC$为等腰直角三角形，$CD = AD = 6$,
$\therefore BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$.
(2) $\because AE$ 是 $BC$ 边上的中线,
$\therefore CE = \frac{1}{2}BC = 7$,
$\therefore DE = CE - CD = 7 - 6 = 1$.
$\because AD ⊥ BC$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$,
$\therefore \sin ∠ DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$.
【答案】
(1) $BC=14$；(2) $\sin∠DAE=\frac{\sqrt{37}}{37}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数，三角形中线的定义
【点评】
本题属于三角形基础综合题，解题的关键是结合垂直构造直角三角形，利用勾股定理、锐角三角函数的定义和中线的性质逐步求解各边长度，侧重考察基础应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求BC的长可拆分求BD和CD的长度再相加：首先由AD⊥BC可知△ABD为直角三角形，已知AB、AD的长度，利用勾股定理可求出BD；再由tan∠ACB=1可知Rt△ADC为等腰直角三角形，可得CD=AD，将BD与CD相加即可得到BC的长。
（2）求sin∠DAE的值，需结合锐角三角函数的定义，在Rt△ADE中计算：首先根据AE是BC边上的中线，求出CE的长度，再用CE减去CD得到DE的长度；接着用勾股定理求出斜边AE的长度，最后根据正弦是对边与斜边的比值计算即可，注意结果要分母有理化。
【解析】
(1) $\because AD ⊥ BC, AB = 10, AD = 6$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
$\because \tan ∠ ACB = 1, AD⊥ BC$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC$为等腰直角三角形，$CD = AD = 6$,
$\therefore BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$.
(2) $\because AE$ 是 $BC$ 边上的中线,
$\therefore CE = \frac{1}{2}BC = 7$,
$\therefore DE = CE - CD = 7 - 6 = 1$.
$\because AD ⊥ BC$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$,
$\therefore \sin ∠ DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$.
【答案】
(1) $BC=14$；(2) $\sin∠DAE=\frac{\sqrt{37}}{37}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数，三角形中线的定义
【点评】
本题属于三角形基础综合题，解题的关键是结合垂直构造直角三角形，利用勾股定理、锐角三角函数的定义和中线的性质逐步求解各边长度，侧重考察基础应用能力。
【难度系数】
0.7
7. [2025陕西中考]小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度. 在征得家长同意后,他们带着工具前往测量.测量示意图如图所示,他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE,测得信号杆顶端A的仰角α为45°,DE与坡面的夹角β为72.5°,又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22 m.已知DE = 1.7 m,点A,B,C在同一条直线上,AB,DE均与水平线FC垂直.求信号杆的高AB.(参考数据:sin 72.5°≈0.95,cos 72.5°≈0.30,tan 72.5°≈3.17)
答案
7. 解:如图,过点 $E$ 作 $EI ⊥ AC$ 于点 $I$, 过点 $D$ 作 $DH ⊥ AC$ 于点 $H$.
$\because AB, DE$ 均与水平线 $FC$ 垂直, $\therefore DE // AC$,
$\therefore ∠ DBH = ∠ BDE = 72.5°$.
根据题意得, $AB = AI + HI - BH$.
$\because ∠ AEI = 45°, \therefore ∠ A = 45°, \therefore AI = EI$.
$\because DE // AC, EI // DH, \therefore$ 四边形 $EDHI$ 是平行四边形.
$\because ∠ DHI = 90°, \therefore$ 平行四边形 $EDHI$ 是矩形,
$\therefore EI = DH, IH = DE, \therefore AI = DH$.
在 $\mathrm{Rt}△ DBH$ 中, $BD = 22 \mathrm{ m}$,
$\sin ∠ DBH = \frac{DH}{BD} = \sin 72.5°, \cos ∠ DBH = \frac{BH}{BD} = \cos 72.5°$,
$\therefore DH \approx 22 × 0.95 = 20.9(\mathrm{m}), BH \approx 22 × 0.30 = 6.6(\mathrm{m})$,
$\therefore AB = AI + HI - BH = 20.9 + 1.7 - 6.6 = 16(\mathrm{m})$.
答:信号杆的高 $AB$ 约为 $16 \mathrm{ m}$.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作EI⊥AC、DH⊥AC的辅助线，将图形拆解为矩形和直角三角形；再结合已知的垂直关系证明DE//AC，得到∠DBH=β=72.5°，同时证明四边形EDHI为矩形，得到IH=DE、EI=DH的等量关系；接着利用仰角α=45°推出△AEI为等腰直角三角形，得AI=EI=DH；最后在Rt△DBH中用锐角三角函数求出DH、BH的长度，代入AB=AI+IH-BH即可计算出结果。
【解析】
如图，过点 $E$ 作 $EI ⊥ AC$ 于点 $I$, 过点 $D$ 作 $DH ⊥ AC$ 于点 $H$.
$\because AB, DE$ 均与水平线 $FC$ 垂直, $\therefore DE // AC$,
$\therefore ∠ DBH = ∠ BDE = 72.5°$.
根据题意得, $AB = AI + HI - BH$.
$\because ∠ AEI = 45°, \therefore ∠ A = 45°, \therefore AI = EI$.
$\because DE // AC, EI // DH, \therefore$ 四边形 $EDHI$ 是平行四边形.
$\because ∠ DHI = 90°, \therefore$ 平行四边形 $EDHI$ 是矩形,
$\therefore EI = DH, IH = DE, \therefore AI = DH$.
在 $\mathrm{Rt}△ DBH$ 中, $BD = 22 \mathrm{ m}$,
$\sin ∠ DBH = \frac{DH}{BD} = \sin 72.5°, \cos ∠ DBH = \frac{BH}{BD} = \cos 72.5°$,
$\therefore DH \approx 22 × 0.95 = 20.9(\mathrm{m}), BH \approx 22 × 0.30 = 6.6(\mathrm{m})$,
$\therefore AB = AI + HI - BH = 20.9 + 1.7 - 6.6 = 16(\mathrm{m})$.
答：信号杆的高 $AB$ 约为 $16 \mathrm{ m}$.
【答案】
信号杆的高AB约为16 m。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合实际测量场景命题，考查了学生建模的能力，解题的核心是正确作出辅助线，将实际问题转化为几何求解问题，需要熟练掌握矩形性质和锐角三角函数的相关运算。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作EI⊥AC、DH⊥AC的辅助线，将图形拆解为矩形和直角三角形；再结合已知的垂直关系证明DE//AC，得到∠DBH=β=72.5°，同时证明四边形EDHI为矩形，得到IH=DE、EI=DH的等量关系；接着利用仰角α=45°推出△AEI为等腰直角三角形，得AI=EI=DH；最后在Rt△DBH中用锐角三角函数求出DH、BH的长度，代入AB=AI+IH-BH即可计算出结果。
【解析】
如图，过点 $E$ 作 $EI ⊥ AC$ 于点 $I$, 过点 $D$ 作 $DH ⊥ AC$ 于点 $H$.
$\because AB, DE$ 均与水平线 $FC$ 垂直, $\therefore DE // AC$,
$\therefore ∠ DBH = ∠ BDE = 72.5°$.
根据题意得, $AB = AI + HI - BH$.
$\because ∠ AEI = 45°, \therefore ∠ A = 45°, \therefore AI = EI$.
$\because DE // AC, EI // DH, \therefore$ 四边形 $EDHI$ 是平行四边形.
$\because ∠ DHI = 90°, \therefore$ 平行四边形 $EDHI$ 是矩形,
$\therefore EI = DH, IH = DE, \therefore AI = DH$.
在 $\mathrm{Rt}△ DBH$ 中, $BD = 22 \mathrm{ m}$,
$\sin ∠ DBH = \frac{DH}{BD} = \sin 72.5°, \cos ∠ DBH = \frac{BH}{BD} = \cos 72.5°$,
$\therefore DH \approx 22 × 0.95 = 20.9(\mathrm{m}), BH \approx 22 × 0.30 = 6.6(\mathrm{m})$,
$\therefore AB = AI + HI - BH = 20.9 + 1.7 - 6.6 = 16(\mathrm{m})$.
答：信号杆的高 $AB$ 约为 $16 \mathrm{ m}$.
【答案】
信号杆的高AB约为16 m。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合实际测量场景命题，考查了学生建模的能力，解题的核心是正确作出辅助线，将实际问题转化为几何求解问题，需要熟练掌握矩形性质和锐角三角函数的相关运算。
【难度系数】
0.7
