4. [2025南京中考]如图,码头B位于码头A的南偏东$30°$方向,A,B之间的距离为40 km,灯塔P在AB的中点处.轮船甲从A出发,沿正南方向航行,同时轮船乙从B出发,沿正东方向航行.当甲航行到C处时,乙航行了相同的距离到达D处,此时,C,P,D三点恰好在一条直线上.求甲航行的距离AC.(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)

解:如图,延长AC,DB交于点E.
∵∠A=30°,
∴$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$(km).
∵$\cos A=\frac{AE}{AB}=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}×40=20\sqrt{3}$(km).
过点B作BH⊥BD交CD于点H,
∴AC//BH,
∴∠A=∠PBH.
在△APC和△BPH中,$\begin{cases}∠A=∠PBH,\\AP=BP,\\∠APC=∠BPH,\end{cases}$
∴△APC≌△BPH(ASA),
∴AC=BH,
∴BD=BH,
∴∠HDB=45°,
∴EC=ED,
∴AE-AC=BE+AC,
∴$20\sqrt{3}-AC=20+AC$,
∴$AC=10\sqrt{3}-10≈7.3$(km).
答:甲航行的距离AC约为7.3 km.

【分析】
解题时先根据方位角特征构造直角三角形：延长AC、DB交于点E，可得∠E=90°，结合∠A=30°、AB=40km，先利用含30°角的直角三角形性质和三角函数求出BE、AE的长度。再结合P是AB中点，过B作BH⊥BD，可得AC//BH，进而证明△APC≌△BPH，推出AC=BH，结合航行距离相等AC=BD，可得△BHD是等腰直角三角形，即∠D=45°，因此△CED也是等腰直角三角形，EC=ED，最后将EC、ED用含AC的式子表示，列方程即可求解AC的长度。
【解析】
如图，延长AC，DB交于点E。
∵轮船甲沿正南方向航行，轮船乙沿正东方向航行，
∴∠E=90°，
∵∠A=30°，AB=40km，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$(km)，
∵$\cos A=\frac{AE}{AB}=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$AE=AB·\cos30°=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}$(km)。
过点B作BH⊥BD交CD于点H，
∵AC⊥ED，BH⊥ED，
∴AC//BH，
∴∠A=∠PBH。
∵P是AB的中点，
∴AP=BP，
在△APC和△BPH中，
$\begin{cases}∠A=∠PBH,\\AP=BP,\\∠APC=∠BPH,\end{cases}$
∴△APC≌△BPH(ASA)，
∴AC=BH，
由题意知两船航行距离相等，即AC=BD，
∴BD=BH，又∠HBD=90°，
∴∠HDB=45°，
在Rt△CED中，∠E=90°，∠D=45°，
∴EC=ED，
又
∵EC=AE-AC，ED=BE+BD=BE+AC，
∴$20\sqrt{3}-AC=20+AC$，
解得$AC=10\sqrt{3}-10≈10×1.73 -10=7.3$(km)。
【答案】
甲航行的距离AC约为7.3 km。
【知识点】
方位角的应用；全等三角形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题型，结合了全等三角形、等腰直角三角形的性质，解题的关键是合理构造辅助线，将实际问题中的线段关系转化为几何图形中的边角关系，再通过方程思想求解，是方向角类解直角三角形的典型考法。
【难度系数】
0.6

5. [2025成都中考]在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为$30°$，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为$63.4°$.求校园西门A与东门B之间的距离.（结果精确到0.1米，参考数据：$\sin 63.4°\approx0.89,\cos 63.4°\approx0.45,\tan 63.4°\approx2.00,\sqrt{3}\approx1.73$）

解:根据题意得,CD//AB,
∴∠B=∠DCB=30°.
∵$\tan B=\frac{AC}{AB}=\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$AB=\sqrt{3}AC$.
∵$\tan D=\frac{AC}{CD}=\tan 63.4°$,
∴AC=CD×tan63.4°≈60×2.00=120(米),
∴$AB=\sqrt{3}AC=\sqrt{3}×120=120\sqrt{3}≈207.6$(米).
答:校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米.

【分析】
首先梳理题中条件：AC垂直于AB，CD沿AB方向飞行因此CD//AB，CD长度为60米，C处测得B的俯角为30°，D处测得A的俯角为63.4°。解题思路如下：第一步，利用平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角；第二步，先在Rt△ACD中，结合已知CD长度和63.4°角的正切值求出竖直高度AC；第三步，再在Rt△ACB中，结合30°角的正切值和已求出的AC长度，计算得到AB的距离，最后代入参考数据取近似值即可。
【解析】
解：根据题意得，$CD// AB$，$AC⊥ AB$，
$\therefore ∠ B=∠ DCB=30°$，$∠ ADC=63.4°$。
在$Rt△ ACD$中，$\tan∠ ADC=\frac{AC}{CD}=\tan63.4°$，
$\therefore AC=CD×\tan63.4°\approx60×2.00=120$（米）。
在$Rt△ ACB$中，$\tan B=\frac{AC}{AB}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore AB=\sqrt{3}AC=\sqrt{3}×120\approx120×1.73=207.6$（米）。
【答案】
校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米。
【知识点】
1. 解直角三角形的俯角应用
2. 锐角三角函数
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，核心是将实际测量中的俯角转化为几何图形中直角三角形的内角，通过三角函数建立边角关系求解，侧重考查实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7

6. [2025大庆中考]数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC. 如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45°，测得楼顶C处的俯角为30°(点A,B,C,D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量)；第二小组人工测量得到点A和楼房之间的水平距离AB=70米. 请根据提供的数据，求出楼房高度.(结果精确到1米，参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)

解:如图,延长BC交直线l于点F,过点A作AE⊥l于点E.
根据题意得,四边形ABFE是矩形,
∴EF=AB=70米,BF=AE=40米.
在Rt△ADE中,∠ADE=45°,
∴$\tan∠ADE=\tan 45°=\frac{AE}{DE}=1$,
∴DE=AE=40米,
∴DF=EF-DE=70-40=30(米).
∵∠FDC=30°,
∴$\tan∠FDC=\tan 30°=\frac{CF}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$CF=DF×\frac{\sqrt{3}}{3}=30×\frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}$(米),
∴$BC=BF-CF=40-10\sqrt{3}≈23$(米).
答:楼房高度约为23米.

【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用问题，解题时先结合俯角的定义构造辅助线：过点A作AE垂直于无人机所在的水平线l，延长BC交l于点F，得到矩形ABFE，将已知的AB=70米、D点离地面高度40米转化为矩形的边长。接下来先在含45°角的Rt△ADE中，利用45°角的正切值求出DE的长度，进而得到DF的长度；再在含30°角的Rt△DFC中，利用30°角的正切值求出CF的长度；最后用BF的长度减去CF的长度即可得到楼房BC的高度。
【解析】
如图，延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l于点E。
根据题意得，四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=70米，BF=AE=40米。
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴$\tan∠ADE=\tan 45°=\frac{AE}{DE}=1$，
∴DE=AE=40米，
∴DF=EF-DE=70-40=30(米)。
∵∠FDC=30°，
∴$\tan∠FDC=\tan 30°=\frac{CF}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$CF=DF×\frac{\sqrt{3}}{3}=30×\frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}$(米)，
∴$BC=BF-CF=40-10\sqrt{3}≈23$(米)。
答：楼房高度约为23米。
【答案】
楼房高度约为23米。
【知识点】
1. 仰角俯角问题 2. 矩形的性质 3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际场景中的长度、角度条件转化为几何图形中的已知量，结合三角函数计算求解，考查了转化思想与基本运算能力。
【难度系数】
0.7