1. 教材例题变式 一座堤坝的横截面是梯形ABCD，各部分的数据如图所示，则坝底AD长为m.

过点B作BF⊥AD于点F,则BF=CE=4 m,EF=BC=4.5 m. 在Rt△AFB中,AB=5 m,BF=4 m,由勾股定理得,AF=$\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$(m).
∵斜坡CD的坡度i=1:√3,CE=4 m,
∴DE=4√3 m,
∴AD=AF+EF+DE=3+4.5+4√3=$\frac{15+8\sqrt{3}}{2}$(m).

【分析】
要求坝底AD的长度，可通过作辅助线将梯形ABCD分割为两个直角三角形和一个矩形，把AD拆分为AF、EF、DE三段分别计算再求和：①过B作BF⊥AD，易得四边形BCEF是矩形，因此EF=BC，BF=CE；②在Rt△ABF中，已知AB和BF的长度，用勾股定理可求出AF的长度；③根据斜坡CD的坡度定义，结合CE的长度可求出DE的长度；最后将三段长度相加即可得到AD的总长。
【解析】
过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF为矩形，因此BF=CE=4 m，EF=BC=4.5 m。
在Rt△AFB中，AB=5 m，BF=4 m，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ m。
∵斜坡CD的坡度$i=1:\sqrt{3}$，坡度为铅直高度与水平宽度的比，即$\frac{CE}{DE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，且CE=4 m，
∴$DE=4\sqrt{3}$ m。
因此$AD=AF+EF+DE=3+4.5+4\sqrt{3}=\frac{15+8\sqrt{3}}{2}$ m。
【答案】
$\frac{15+8\sqrt{3}}{2}$

【知识点】
勾股定理，坡度的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用类基础题，解题核心是通过作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，再结合勾股定理、坡度的性质分别计算各段线段长度，最终求和得到所求线段长。
【难度系数】
0.7

2. [2025济南中考]某水上乐园有两个相邻的水上滑梯,如图,左边滑梯的长度AB为21 m,倾斜角为40°,右边滑梯的高度DF为11 m,倾斜角为32°,支架AC,NF都与地面垂直,AN,MD都与地面平行,两支架之间的距离CF为3 m.(点B,C,F,E在同一条直线上)
(1)求两滑梯的高度差;
(2)两滑梯的底端分别为B,E,求BE的长.
(结果精确到0.01 m,参考数据:$\sin 32° \approx 0.530,\cos 32° \approx 0.848,\tan 32° \approx 0.625,\sin 40° \approx 0.643,\cos 40° \approx 0.766,\tan 40° \approx 0.839$)

解:(1)根据题意得,两滑梯的高度差AM=AC-MC=AC-DF.
在Rt△ABC中,$\sin B=\frac{AC}{AB}=\sin 40°$,
∴AC=AB·sin40°≈21×0.643=13.503(m),
∴AC-DF=13.503-11≈2.50(m).
答:两滑梯的高度差约为2.50 m.
(2)根据题意得,BE=BC+CF+EF.
在Rt△ABC中,$\cos B=\frac{BC}{AB}=\cos 40°$,
∴BC=AB·cos40°≈21×0.766=16.086(m).
在Rt△EFD中,$\tan∠DEF=\frac{DF}{EF}=\tan 32°$,
∴EF=$\frac{DF}{\tan 32°}≈\frac{11}{0.625}=17.6$(m),
∴BE=BC+CF+EF=16.086+3+17.6≈36.69(m).

【分析】
(1)求两滑梯高度差，首先明确左边滑梯高度为AC，右边滑梯高度为DF，由题意得MC=DF，故高度差为AC-DF。AC在Rt△ABC中，已知斜边AB和∠B的度数，可通过正弦函数求出AC，再减去DF即可得到结果。
(2)求BE的长，观察图形可知BE=BC+CF+EF，其中CF已知为3m；BC可在Rt△ABC中通过余弦函数求出，EF可在Rt△DFE中通过正切函数求出，三者相加即可得到BE的长度，计算时结合给出的参考数据，结果保留两位小数。
【解析】
(1)两滑梯的高度差为AC与DF的差值：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，AB=21m，
由正弦函数定义得$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
∴$AC=AB·\sin40°\approx21×0.643=13.503\ \mathrm{m}$，
已知DF=11m，
∴高度差为$AC-DF\approx13.503-11=2.50\ \mathrm{m}$。
(2)由图形可知$BE=BC+CF+EF$，其中CF=3m：
在Rt△ABC中，由余弦函数定义得$\cos B=\frac{BC}{AB}$，
∴$BC=AB·\cos40°\approx21×0.766=16.086\ \mathrm{m}$，
在Rt△DFE中，∠DFE=90°，∠E=32°，DF=11m，
由正切函数定义得$\tan E=\frac{DF}{EF}$，
∴$EF=\frac{DF}{\tan32°}\approx\frac{11}{0.625}=17.6\ \mathrm{m}$，
∴$BE=16.086+3+17.6\approx36.69\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)两滑梯的高度差约为2.50 m；
(2)BE的长约为36.69 m。
【知识点】
锐角三角函数的定义，解直角三角形，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，找准对应直角三角形，合理选择三角函数列式计算，同时注意满足计算精度要求。
【难度系数】
0.7

3. [2025天津中考]综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度(如图1).某学习小组设计了一个方案:如图2,点A,E,C依次在同一条水平直线上,CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.7 m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°,在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°,CE=32 m.根据该学习小组测得的数据,计算世纪钟建筑AB的高度.(结果取整数,参考数据:tan 22°≈0.4,tan 31°≈0.6)

解:如图,延长DF与AB交于点G,则AB=AG+GB.
在Rt△FGB中,$\tan∠GFB=\frac{GB}{GF}=\tan 31°$,
∴$GF=\frac{GB}{\tan 31°}$.
在Rt△DGB中,$\tan∠GDB=\frac{GB}{GD}=\tan 22°$,
∴$GD=\frac{GB}{\tan 22°}$.
根据题意得,四边形GAEF,FECD,GACD都是矩形,
∴EC=FD,AG=EF=1.7 m,
∴GD-GF=32 m,
∴$\frac{GB}{\tan 22°}-\frac{GB}{\tan 31°}=32$,
∴$GB=\frac{32×\tan 22°\tan 31°}{\tan 31°-\tan 22°}≈\frac{32×0.4×0.6}{0.6-0.4}=38.4$(m),
∴AB=AG+GB=1.7+38.4≈40(m).
答:世纪钟建筑AB的高度约为40 m.

【分析】
这是一道利用解直角三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：首先将实际问题转化为几何模型，延长DF交AB于点G，构造出两个含仰角的直角三角形Rt△FGB和Rt△DGB，同时得到多个矩形，可推出AG的长度等于测角仪高度1.7m，FD的长度等于CE的长度32m。两个直角三角形有公共直角边BG，可利用正切函数分别用BG表示出GF和GD的长度，再根据GD-GF=32m的等量关系列方程求出BG的长度，最后将BG与AG相加即可得到AB的高度。
【解析】
解：延长DF与AB交于点G，则AB=AG+GB。
∵CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，DG为水平线段，
∴四边形GAEF、四边形FECD、四边形GACD均为矩形，
∴AG=EF=1.7m，FD=CE=32m。
在Rt△FGB中，∠GFB=31°，
∵$\tan∠GFB=\frac{GB}{GF}$，
∴$GF=\frac{GB}{\tan31°}$。
在Rt△DGB中，∠GDB=22°，
∵$\tan∠GDB=\frac{GB}{GD}$，
∴$GD=\frac{GB}{\tan22°}$。
又
∵$GD-GF=FD=32\mathrm{m}$，
∴$\frac{GB}{\tan22°}-\frac{GB}{\tan31°}=32$，
代入$\tan22°≈0.4$，$\tan31°≈0.6$，得：
$GB=\frac{32×\tan22°×\tan31°}{\tan31°-\tan22°}≈\frac{32×0.4×0.6}{0.6-0.4}=38.4(\mathrm{m})$，
∴$AB=AG+GB=1.7+38.4≈40(\mathrm{m})$。
【答案】
答：世纪钟建筑AB的高度约为40 m。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，解题核心是通过构造辅助线得到含公共直角边的两个直角三角形，结合线段等量关系建立方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7