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1 如图所示的立体图形是 （
）
A.六棱柱
B.六棱锥
C.三角形
D.六面体
）A.六棱柱
B.六棱锥
C.三角形
D.六面体
答案
1. B
解析
【分析】
解题时可按“先排除明显错误，再对比图形特征”的思路思考：第一步，先区分平面图形和立体图形，直接排除属于平面图形的选项；第二步，回忆棱柱和棱锥的特征，棱柱有两个相同的平行底面，棱锥只有1个底面，侧面都是共顶点的三角形，据此排除棱柱类选项；第三步，观察底面的边数，结合剩余选项判断即可。
【解析】
①首先排除选项C：三角形是平面图形，题干所示是立体图形，不符合要求；
②再排除选项A：六棱柱属于棱柱，特征是有两个互相平行、形状大小完全相同的六边形底面，侧面是平行四边形，和题图特征不符；
③判断图形类型：题图中的立体图形只有1个底面，所有侧面都是三角形，且有公共的顶点，属于棱锥，同时底面是六边形，因此是六棱锥；
④排除选项D：六面体是指共有6个面的立体图形，该六棱锥有1个底面+6个侧面共7个面，不符合六面体的特征。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
棱锥的特征；立体图形识别；棱柱与棱锥的区别
【点评】
本题考查常见立体图形的辨识，解题核心是熟练掌握各类立体图形的典型特征，注意区分平面图形与立体图形、棱柱和棱锥的差异，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
解题时可按“先排除明显错误，再对比图形特征”的思路思考：第一步，先区分平面图形和立体图形，直接排除属于平面图形的选项；第二步，回忆棱柱和棱锥的特征，棱柱有两个相同的平行底面，棱锥只有1个底面，侧面都是共顶点的三角形，据此排除棱柱类选项；第三步，观察底面的边数，结合剩余选项判断即可。
【解析】
①首先排除选项C：三角形是平面图形，题干所示是立体图形，不符合要求；
②再排除选项A：六棱柱属于棱柱，特征是有两个互相平行、形状大小完全相同的六边形底面，侧面是平行四边形，和题图特征不符；
③判断图形类型：题图中的立体图形只有1个底面，所有侧面都是三角形，且有公共的顶点，属于棱锥，同时底面是六边形，因此是六棱锥；
④排除选项D：六面体是指共有6个面的立体图形，该六棱锥有1个底面+6个侧面共7个面，不符合六面体的特征。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
棱锥的特征；立体图形识别；棱柱与棱锥的区别
【点评】
本题考查常见立体图形的辨识，解题核心是熟练掌握各类立体图形的典型特征，注意区分平面图形与立体图形、棱柱和棱锥的差异，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
2 有下列生活、生产现象：① 把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；② 用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；③ 把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④ 大课间排队时，只要定出两个同学的位置，就能使同一列同学站在同一条直线上。其中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 （
A.①③
B.①④
C.②④
D.②③
C
）A.①③
B.①④
C.②④
D.②③
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确“两点确定一条直线”这一基本事实的含义，再逐一分析每个生活现象对应的几何原理，筛选出符合要求的现象即可。解题时可以先逐个判断每个现象的原理，再和题干要求的基本事实比对，排除不符合的选项，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析4个现象：
①笔尖是点，点运动得到线，对应的原理是“点动成线”，和“两点确定一条直线”无关，不符合要求；
②用两颗钉子固定木条，两颗钉子相当于两个点，两个点可以确定唯一的一条直线，因此木条就被固定住，符合“两点确定一条直线”的原理；
③弯曲的公路改直缩短路程，对应的原理是“两点之间，线段最短”，和“两点确定一条直线”无关，不符合要求；
④排队时定出两个同学的位置，这两个同学相当于两个点，两个点确定唯一的一条直线，因此同一列同学就能站在这条直线上，符合“两点确定一条直线”的原理。
综上，符合要求的是②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
两点确定一条直线；两点之间线段最短；点动成线
【点评】
本题结合生活实际考查几何基本事实的应用，解题的关键是准确区分不同几何原理对应的实际场景，掌握相关基本事实即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确“两点确定一条直线”这一基本事实的含义，再逐一分析每个生活现象对应的几何原理，筛选出符合要求的现象即可。解题时可以先逐个判断每个现象的原理，再和题干要求的基本事实比对，排除不符合的选项，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析4个现象：
①笔尖是点，点运动得到线，对应的原理是“点动成线”，和“两点确定一条直线”无关，不符合要求；
②用两颗钉子固定木条，两颗钉子相当于两个点，两个点可以确定唯一的一条直线，因此木条就被固定住，符合“两点确定一条直线”的原理；
③弯曲的公路改直缩短路程，对应的原理是“两点之间，线段最短”，和“两点确定一条直线”无关，不符合要求；
④排队时定出两个同学的位置，这两个同学相当于两个点，两个点确定唯一的一条直线，因此同一列同学就能站在这条直线上，符合“两点确定一条直线”的原理。
综上，符合要求的是②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
两点确定一条直线；两点之间线段最短；点动成线
【点评】
本题结合生活实际考查几何基本事实的应用，解题的关键是准确区分不同几何原理对应的实际场景，掌握相关基本事实即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3 如图，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$C$为$AB$的中点，点$D$在线段$AC$上，且$AD:CB=1:3$，则$DB$的长是（
A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$10\ \mathrm{cm}$
D
）A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$10\ \mathrm{cm}$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先利用线段中点的性质求出CB的长度，再根据AD与CB的比例关系求出AD的长度，最后结合线段和差关系，用AB的总长度减去AD的长度即可得到DB的长度。
【解析】
解：
∵点C是AB的中点，AB=12 cm，
∴$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
∵$AD:CB=1:3$，
∴$AD=\frac{1}{3}CB=\frac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$。
∴$DB=AB-AD=12-2=10\ \mathrm{cm}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；线段的比例应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用线段中点的性质求出关键线段CB的长度，再结合比例关系和线段和差公式计算所求线段长度，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用线段中点的性质求出CB的长度，再根据AD与CB的比例关系求出AD的长度，最后结合线段和差关系，用AB的总长度减去AD的长度即可得到DB的长度。
【解析】
解：
∵点C是AB的中点，AB=12 cm，
∴$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
∵$AD:CB=1:3$，
∴$AD=\frac{1}{3}CB=\frac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$。
∴$DB=AB-AD=12-2=10\ \mathrm{cm}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；线段的比例应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用线段中点的性质求出关键线段CB的长度，再结合比例关系和线段和差公式计算所求线段长度，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
4 在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向. 如图，射线OA的方向是 （
A.北偏西 $50°$
B.东北方向
C.北偏东 $40°$
D.北偏东 $50°$
D
）A.北偏西 $50°$
B.东北方向
C.北偏东 $40°$
D.北偏东 $50°$
答案
4. D
解析
【分析】
要确定射线OA的方向，首先要明确方向角的表示规则：方向角以正北、正南方向为基准，先说明偏向北还是南，再说明偏东还是偏西，角度为目标射线与正北或正南方向的夹角。首先观察OA所在的区域，它在正北和正东之间，属于北偏东的方向，再看标注的夹角，OA与正北方向的夹角为50°，结合选项即可选出正确答案。
【解析】
根据方向角的判断方法：
1. 射线OA处于正北方向和正东方向之间，因此方向前缀为“北偏东”；
2. 图中明确标注OA与正北方向的夹角为50°；
因此射线OA的方向是北偏东50°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
方向角的识别
【点评】
本题是基础题，主要考查方向角的基本判断方法，只要掌握“先定南北方向、再定偏东/西方向，角度取与南北方向的夹角”的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定射线OA的方向，首先要明确方向角的表示规则：方向角以正北、正南方向为基准，先说明偏向北还是南，再说明偏东还是偏西，角度为目标射线与正北或正南方向的夹角。首先观察OA所在的区域，它在正北和正东之间，属于北偏东的方向，再看标注的夹角，OA与正北方向的夹角为50°，结合选项即可选出正确答案。
【解析】
根据方向角的判断方法：
1. 射线OA处于正北方向和正东方向之间，因此方向前缀为“北偏东”；
2. 图中明确标注OA与正北方向的夹角为50°；
因此射线OA的方向是北偏东50°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
方向角的识别
【点评】
本题是基础题，主要考查方向角的基本判断方法，只要掌握“先定南北方向、再定偏东/西方向，角度取与南北方向的夹角”的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
5若$∠α$与$∠β$的度数分别是$(2m - 19)°$和$(77 - m)°$，且$∠α$与$∠β$都是$∠\gamma$的补角，则
$∠α$与$∠β$的关系是 （
A.不互余且不相等
B.不互余但相等
C.互为余角且相等
D.互为余角但不相等
$∠α$与$∠β$的关系是 （
C
）A.不互余且不相等
B.不互余但相等
C.互为余角且相等
D.互为余角但不相等
答案
5. C
解析: 由$∠ α$与$∠ β$都是$∠ \gamma$的补角,得$∠ α = ∠ β$,所以$2m-19=77-m$,解得$m=32$. 所以$∠ α = ∠ β=(2m-19)°=45°$. 所以$∠ α + ∠ β=90°$. 所以$∠ α$与$∠ β$互为余角且相等.
解析: 由$∠ α$与$∠ β$都是$∠ \gamma$的补角,得$∠ α = ∠ β$,所以$2m-19=77-m$,解得$m=32$. 所以$∠ α = ∠ β=(2m-19)°=45°$. 所以$∠ α + ∠ β=90°$. 所以$∠ α$与$∠ β$互为余角且相等.
解析
【分析】
解题时首先回忆补角的性质：同角的补角相等，因此已知∠α和∠β都是∠γ的补角，可直接得到∠α=∠β，据此列出关于m的一元一次方程，求解得到m的数值后，代入计算出∠α和∠β的具体度数，再计算两个角的和，根据余角的定义判断二者是否互余，最终确定二者的关系。
【解析】
∵∠α与∠β都是∠γ的补角，根据“同角的补角相等”，可得∠α=∠β，
∴$2m - 19 = 77 - m$，
移项合并得：$3m = 96$，
解得：$m = 32$，
将$m=32$代入得$∠α=(2×32 - 19)°=45°$，
∴$∠β=∠α=45°$，
则$∠α + ∠β=45°+45°=90°$，
因此∠α与∠β互为余角且相等。
【答案】
C
【知识点】
同角的补角相等；余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，将几何中角的性质和代数中一元一次方程的求解结合考查，解题核心是先利用补角的性质建立方程求出参数，再结合余角的定义判断两角的关系，熟练掌握补角、余角的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆补角的性质：同角的补角相等，因此已知∠α和∠β都是∠γ的补角，可直接得到∠α=∠β，据此列出关于m的一元一次方程，求解得到m的数值后，代入计算出∠α和∠β的具体度数，再计算两个角的和，根据余角的定义判断二者是否互余，最终确定二者的关系。
【解析】
∵∠α与∠β都是∠γ的补角，根据“同角的补角相等”，可得∠α=∠β，
∴$2m - 19 = 77 - m$，
移项合并得：$3m = 96$，
解得：$m = 32$，
将$m=32$代入得$∠α=(2×32 - 19)°=45°$，
∴$∠β=∠α=45°$，
则$∠α + ∠β=45°+45°=90°$，
因此∠α与∠β互为余角且相等。
【答案】
C
【知识点】
同角的补角相等；余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，将几何中角的性质和代数中一元一次方程的求解结合考查，解题核心是先利用补角的性质建立方程求出参数，再结合余角的定义判断两角的关系，熟练掌握补角、余角的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
6 如图,线段 AB 的长为 m,C 为 AB 上一动点(不与点 A,B 重合),D 为 AC 的中点,E 为 BC 的中点,随着点 C 的运动,线段 DE 的长度
(
A.随之变化
B.不改变,且为$\frac{2}{3}m$
C.不改变,且为$\frac{3}{5}m$
D.不改变,且为$\frac{1}{2}m$
(
D
)A.随之变化
B.不改变,且为$\frac{2}{3}m$
C.不改变,且为$\frac{3}{5}m$
D.不改变,且为$\frac{1}{2}m$
答案
6. D
解析
【分析】
要判断DE的长度是否随点C的运动变化，我们可以结合线段中点的性质和线段和差关系推导：首先利用中点定义把DC、CE分别用AC、BC表示，再将DC与CE相加，即可把DE的长度和AB的长度关联起来，最终判断DE的长度是否变化，以及具体数值。
【解析】
∵ D是AC的中点，根据线段中点的定义
∴ $ DC=\frac{1}{2}AC $
∵ E是BC的中点，同理可得
∴ $ CE=\frac{1}{2}BC $
由线段和的关系可知$ DE=DC+CE $，代入上述结论得：
$ DE=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC) $
又
∵ 点C在AB上，$ AC+BC=AB=m $
∴ $ DE=\frac{1}{2}m $，该值与点C的位置无关。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段动点类基础题，解题核心是利用中点性质将未知线段转化为定长线段的部分，无需分析动点的具体位置，掌握线段中点和和差运算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断DE的长度是否随点C的运动变化，我们可以结合线段中点的性质和线段和差关系推导：首先利用中点定义把DC、CE分别用AC、BC表示，再将DC与CE相加，即可把DE的长度和AB的长度关联起来，最终判断DE的长度是否变化，以及具体数值。
【解析】
∵ D是AC的中点，根据线段中点的定义
∴ $ DC=\frac{1}{2}AC $
∵ E是BC的中点，同理可得
∴ $ CE=\frac{1}{2}BC $
由线段和的关系可知$ DE=DC+CE $，代入上述结论得：
$ DE=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC) $
又
∵ 点C在AB上，$ AC+BC=AB=m $
∴ $ DE=\frac{1}{2}m $，该值与点C的位置无关。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段动点类基础题，解题核心是利用中点性质将未知线段转化为定长线段的部分，无需分析动点的具体位置，掌握线段中点和和差运算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7 如图，射线OC，OD，OE，OF分别平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC。如果∠AOF＝27°，那么∠AOB的度数为
$72°$
。答案
7. $72°$
解析
【分析】
本题已知多条角平分线，可通过设∠AOB的度数为未知数，结合角平分线的性质，逐步用未知数表示出与已知角∠AOF相关的小角，再根据角的和差关系建立方程求解。解题时先明确各射线的位置顺序，理清各角之间的和差关系是前提，再利用角平分线把各小角用含未知数的式子表示，最后代入已知角度解方程即可。
【解析】
设∠AOB的度数为$x$。
1. 因为OC平分∠AOB，根据角平分线的定义，得：
$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}x$
2. 因为OE平分∠AOC，同理得：
$∠ AOE = ∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}x$
3. 因为OF平分∠EOC，同理得：
$∠ EOF = \frac{1}{2}∠ EOC = \frac{1}{2} × \frac{1}{4}x = \frac{1}{8}x$
4. 观察图形可知$∠ AOF = ∠ AOE + ∠ EOF$，代入已知$∠ AOF=27°$，得：
$\frac{1}{4}x + \frac{1}{8}x = 27°$
合并同类项得$\frac{3}{8}x = 27°$，解得$x = 27° ÷ \frac{3}{8} = 72°$
【答案】
$72°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质转化角的数量关系，通过设未知数建立方程的方法可以清晰理清各角之间的关系，解题时要注意准确识别角的组成，避免混淆角的和差。
【难度系数】
0.7
本题已知多条角平分线，可通过设∠AOB的度数为未知数，结合角平分线的性质，逐步用未知数表示出与已知角∠AOF相关的小角，再根据角的和差关系建立方程求解。解题时先明确各射线的位置顺序，理清各角之间的和差关系是前提，再利用角平分线把各小角用含未知数的式子表示，最后代入已知角度解方程即可。
【解析】
设∠AOB的度数为$x$。
1. 因为OC平分∠AOB，根据角平分线的定义，得：
$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}x$
2. 因为OE平分∠AOC，同理得：
$∠ AOE = ∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}x$
3. 因为OF平分∠EOC，同理得：
$∠ EOF = \frac{1}{2}∠ EOC = \frac{1}{2} × \frac{1}{4}x = \frac{1}{8}x$
4. 观察图形可知$∠ AOF = ∠ AOE + ∠ EOF$，代入已知$∠ AOF=27°$，得：
$\frac{1}{4}x + \frac{1}{8}x = 27°$
合并同类项得$\frac{3}{8}x = 27°$，解得$x = 27° ÷ \frac{3}{8} = 72°$
【答案】
$72°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质转化角的数量关系，通过设未知数建立方程的方法可以清晰理清各角之间的关系，解题时要注意准确识别角的组成，避免混淆角的和差。
【难度系数】
0.7
8 [2026嘉兴南湖段测]上午8:00，时钟的时针和分针所成角(小于平角)的度数为
120
°。答案
8. 120
解析
【分析】
解题时首先回忆钟面的基本特征：整个钟面是周角，总度数为360°，被平均分成12个大格，因此可以先算出每个大格对应的角度。再定位8:00时时针和分针的位置：时针指向8，分针指向12，数出两个指针之间间隔的大格数，最后用间隔大格数乘每个大格的度数，即可得到小于平角的夹角。
【解析】
1. 计算钟面上每个大格的度数：
钟面一周为360°，共平均分为12个大格，因此每个大格的度数为 $ 360° ÷ 12 = 30° $。
2. 确定8:00时针与分针的间隔大格数：
上午8:00时，时针指向8，分针指向12，二者之间间隔4个大格。
3. 计算夹角度数：
夹角为 $ 4 × 30° = 120° $，且120°＜180°，符合题目小于平角的要求。
【答案】
120
【知识点】
钟面角计算，角的度量
【点评】
本题是钟面夹角的基础计算题，解题核心是记住钟面每个大格对应30°，准确数出时针与分针的间隔格数就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆钟面的基本特征：整个钟面是周角，总度数为360°，被平均分成12个大格，因此可以先算出每个大格对应的角度。再定位8:00时时针和分针的位置：时针指向8，分针指向12，数出两个指针之间间隔的大格数，最后用间隔大格数乘每个大格的度数，即可得到小于平角的夹角。
【解析】
1. 计算钟面上每个大格的度数：
钟面一周为360°，共平均分为12个大格，因此每个大格的度数为 $ 360° ÷ 12 = 30° $。
2. 确定8:00时针与分针的间隔大格数：
上午8:00时，时针指向8，分针指向12，二者之间间隔4个大格。
3. 计算夹角度数：
夹角为 $ 4 × 30° = 120° $，且120°＜180°，符合题目小于平角的要求。
【答案】
120
【知识点】
钟面角计算，角的度量
【点评】
本题是钟面夹角的基础计算题，解题核心是记住钟面每个大格对应30°，准确数出时针与分针的间隔格数就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9 如图，线段AB的长为1，$C_1$是AB的中点，$C_2$是$C_1B$的中点，$C_3$是$C_2B$的中点，$C_4$是$C_3B$的中点……依此类推，线段$AC_{2027}$的长为
$1-\dfrac{1}{2^{2027}}$
。答案
9. $1-\dfrac{1}{2^{2027}}$
解析: 因为线段$AB$的长为1,$C_1$是$AB$的中点,所以$C_1B=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×1=\dfrac{1}{2}$. 因为$C_2$是$C_1B$的中点,所以$C_2B=\dfrac{1}{2}C_1B=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^2}$. 因为$C_3$是$C_2B$的中点,所以$C_3B=\dfrac{1}{2}C_2B=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2^3}$……以此类推,得$C_{2027}B=\dfrac{1}{2^{2027}}$. 所以$AC_{2027}=AB-C_{2027}B=1-\dfrac{1}{2^{2027}}$.
解析: 因为线段$AB$的长为1,$C_1$是$AB$的中点,所以$C_1B=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×1=\dfrac{1}{2}$. 因为$C_2$是$C_1B$的中点,所以$C_2B=\dfrac{1}{2}C_1B=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^2}$. 因为$C_3$是$C_2B$的中点,所以$C_3B=\dfrac{1}{2}C_2B=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2^3}$……以此类推,得$C_{2027}B=\dfrac{1}{2^{2027}}$. 所以$AC_{2027}=AB-C_{2027}B=1-\dfrac{1}{2^{2027}}$.
解析
【分析】
要求线段$AC_{2027}$的长，可利用线段和差关系转化思路：$AC_{2027}=AB - C_{2027}B$，只需要先求出$C_{2027}B$的长度即可。我们可以先计算前几个$C_nB$的长度，总结规律：每个后续点都是前一段$C_{n-1}B$的中点，所以每段$C_nB$的长度都是前一段$C_{n-1}B$的$\frac{1}{2}$，由此推导出$C_{2027}B$的长度，代入计算就能得到结果。
【解析】
已知线段$AB=1$：
1. 因为$C_1$是$AB$的中点，所以$C_1B=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2^1}$；
2. 因为$C_2$是$C_1B$的中点，所以$C_2B=\frac{1}{2}C_1B=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$；
3. 因为$C_3$是$C_2B$的中点，所以$C_3B=\frac{1}{2}C_2B=\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2^3}$；
……
依此类推，可得规律$C_nB=\frac{1}{2^n}$，因此$C_{2027}B=\frac{1}{2^{2027}}$。
所以$AC_{2027}=AB - C_{2027}B=1-\frac{1}{2^{2027}}$。
【答案】
$1-\dfrac{1}{2^{2027}}$
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；规律探究
【点评】
本题是线段与规律探究结合的基础题型，解题核心是运用转化思想，将求$AC_n$的长度转化为求总长度与剩余段$C_nB$的差，再通过归纳得到$C_nB$的长度规律即可求解，解题时需注意下标与指数的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
要求线段$AC_{2027}$的长，可利用线段和差关系转化思路：$AC_{2027}=AB - C_{2027}B$，只需要先求出$C_{2027}B$的长度即可。我们可以先计算前几个$C_nB$的长度，总结规律：每个后续点都是前一段$C_{n-1}B$的中点，所以每段$C_nB$的长度都是前一段$C_{n-1}B$的$\frac{1}{2}$，由此推导出$C_{2027}B$的长度，代入计算就能得到结果。
【解析】
已知线段$AB=1$：
1. 因为$C_1$是$AB$的中点，所以$C_1B=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2^1}$；
2. 因为$C_2$是$C_1B$的中点，所以$C_2B=\frac{1}{2}C_1B=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$；
3. 因为$C_3$是$C_2B$的中点，所以$C_3B=\frac{1}{2}C_2B=\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2^3}$；
……
依此类推，可得规律$C_nB=\frac{1}{2^n}$，因此$C_{2027}B=\frac{1}{2^{2027}}$。
所以$AC_{2027}=AB - C_{2027}B=1-\frac{1}{2^{2027}}$。
【答案】
$1-\dfrac{1}{2^{2027}}$
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；规律探究
【点评】
本题是线段与规律探究结合的基础题型，解题核心是运用转化思想，将求$AC_n$的长度转化为求总长度与剩余段$C_nB$的差，再通过归纳得到$C_nB$的长度规律即可求解，解题时需注意下标与指数的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
10 新情境 地域特色 重庆来福士坐落于重庆市渝中区朝天门接圣街8号，是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”.如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成的几何体，建筑整体高度为$h$，其中$AB=a$，$AC=b$，$EF=x$，$DE=y$.
（1）求该几何体的体积；
（2）若$b(a - 4x)=18$，$y(a - 3b)=41$，$h(x + y)=125$，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）.
（1）求该几何体的体积；
（2）若$b(a - 4x)=18$，$y(a - 3b)=41$，$h(x + y)=125$，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）.
答案
10. (1) 四座塔楼的体积为$4xy(h-b)$,"水晶廊桥"的体积为$aby$,所以这个几何体的体积为$4xy(h-b)+aby$
(2) 一座塔楼的表面积(含底面,不含连接面)为$xy+2x(h-b)+2y(h-b)$,"水晶廊桥"的表面积(含底面,不含连接面)为$2ay+2by+2ab-4xy$,所以这个几何体的表面积为$4xy+8x(h-b)+8y(h-b)+2ay+2by+2ab-4xy=8x(h-b)+8y(h-b)+2ay+2by+2ab=8xh-8xb+8yh-8yb+2ay+2by+2ab=2ab-8xb+2ay-6yb+8xh+8yh=2b(a-4x)+2y(a-3b)+8h(x+y)$. 因为$b(a-4x)=18$,$y(a-3b)=41$,$h(x+y)=125$,所以$2b(a-4x)+2y(a-3b)+8h(x+y)=2×18+2×41+8×125=1118$
(2) 一座塔楼的表面积(含底面,不含连接面)为$xy+2x(h-b)+2y(h-b)$,"水晶廊桥"的表面积(含底面,不含连接面)为$2ay+2by+2ab-4xy$,所以这个几何体的表面积为$4xy+8x(h-b)+8y(h-b)+2ay+2by+2ab-4xy=8x(h-b)+8y(h-b)+2ay+2by+2ab=8xh-8xb+8yh-8yb+2ay+2by+2ab=2ab-8xb+2ay-6yb+8xh+8yh=2b(a-4x)+2y(a-3b)+8h(x+y)$. 因为$b(a-4x)=18$,$y(a-3b)=41$,$h(x+y)=125$,所以$2b(a-4x)+2y(a-3b)+8h(x+y)=2×18+2×41+8×125=1118$
解析
【分析】
（1）该几何体可拆分为上方的“水晶廊桥”和下方4座相同的塔楼两部分，均为长方体结构。计算体积时只需利用长方体体积公式“体积=长×宽×高”分别计算两部分体积，再相加即可。（2）计算表面积时，同样拆分两部分分别计算，注意扣除塔楼与廊桥连接的重合面，再对得到的总表面积代数式整理变形，将已知的三个代数式的值整体代入计算，无需单独求每个未知数的取值。
【解析】
（1）“水晶廊桥”是长为$a$、宽为$b$、高为$y$的长方体，体积为$a× b× y=aby$；
每座塔楼是长为$x$、宽为$y$、高为$(h-b)$的长方体，共4座，塔楼总体积为$4× x× y× (h-b)=4xy(h-b)$；
因此该几何体的总体积为两部分体积之和：$4xy(h-b)+aby$。
（2）先算4座塔楼的总表面积（含底面，不含与廊桥的连接面）：
单座塔楼的表面积=底面面积+4个侧面面积，即$xy + 2x(h-b) + 2y(h-b)$，
4座塔楼总表面积为$4[xy + 2x(h-b) + 2y(h-b)] = 4xy + 8x(h-b) + 8y(h-b)$。
再算“水晶廊桥”的表面积（含上下底面，不含与塔楼连接的4个重合面）：
廊桥本身的表面积为$2(ab+ay+by)$，扣除4个连接面的总面积$4xy$，得到廊桥需计入的表面积为$2ab + 2ay + 2by - 4xy$。
将两部分表面积相加，化简得总表面积：
$\begin{aligned}&4xy + 8x(h-b) + 8y(h-b) + 2ab + 2ay + 2by - 4xy\\=&8x(h-b) + 8y(h-b) + 2ab + 2ay + 2by\\=&8xh - 8xb + 8yh - 8yb + 2ab + 2ay + 2by\\=&2b(a-4x) + 2y(a-3b) + 8h(x+y)\end{aligned}$
将$b(a - 4x)=18$，$y(a - 3b)=41$，$h(x + y)=125$代入上式：
原式$=2×18 + 2×41 + 8×125 = 36 + 82 + 1000 = 1118$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{4xy(h-b)+aby}$；（2）$\boldsymbol{1118}$
【知识点】
长方体体积计算、长方体表面积计算、代数式化简求值
【点评】
本题结合地标建筑的实际情境，考查几何体体积、表面积的计算和代数式的运算，解题核心是合理拆分复杂几何体，注意重合面的扣除，灵活运用整体代入法简化计算，避免不必要的未知数求解。
【难度系数】
0.6
（1）该几何体可拆分为上方的“水晶廊桥”和下方4座相同的塔楼两部分，均为长方体结构。计算体积时只需利用长方体体积公式“体积=长×宽×高”分别计算两部分体积，再相加即可。（2）计算表面积时，同样拆分两部分分别计算，注意扣除塔楼与廊桥连接的重合面，再对得到的总表面积代数式整理变形，将已知的三个代数式的值整体代入计算，无需单独求每个未知数的取值。
【解析】
（1）“水晶廊桥”是长为$a$、宽为$b$、高为$y$的长方体，体积为$a× b× y=aby$；
每座塔楼是长为$x$、宽为$y$、高为$(h-b)$的长方体，共4座，塔楼总体积为$4× x× y× (h-b)=4xy(h-b)$；
因此该几何体的总体积为两部分体积之和：$4xy(h-b)+aby$。
（2）先算4座塔楼的总表面积（含底面，不含与廊桥的连接面）：
单座塔楼的表面积=底面面积+4个侧面面积，即$xy + 2x(h-b) + 2y(h-b)$，
4座塔楼总表面积为$4[xy + 2x(h-b) + 2y(h-b)] = 4xy + 8x(h-b) + 8y(h-b)$。
再算“水晶廊桥”的表面积（含上下底面，不含与塔楼连接的4个重合面）：
廊桥本身的表面积为$2(ab+ay+by)$，扣除4个连接面的总面积$4xy$，得到廊桥需计入的表面积为$2ab + 2ay + 2by - 4xy$。
将两部分表面积相加，化简得总表面积：
$\begin{aligned}&4xy + 8x(h-b) + 8y(h-b) + 2ab + 2ay + 2by - 4xy\\=&8x(h-b) + 8y(h-b) + 2ab + 2ay + 2by\\=&8xh - 8xb + 8yh - 8yb + 2ab + 2ay + 2by\\=&2b(a-4x) + 2y(a-3b) + 8h(x+y)\end{aligned}$
将$b(a - 4x)=18$，$y(a - 3b)=41$，$h(x + y)=125$代入上式：
原式$=2×18 + 2×41 + 8×125 = 36 + 82 + 1000 = 1118$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{4xy(h-b)+aby}$；（2）$\boldsymbol{1118}$
【知识点】
长方体体积计算、长方体表面积计算、代数式化简求值
【点评】
本题结合地标建筑的实际情境，考查几何体体积、表面积的计算和代数式的运算，解题核心是合理拆分复杂几何体，注意重合面的扣除，灵活运用整体代入法简化计算，避免不必要的未知数求解。
【难度系数】
0.6
