11 如图所示为一个正方体的表面展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数互为相反数，求 $ x - y + z $ 的值。

11. 根据题意,得"$x$"与"6","$y$"与"$-3$","$z$"与"$-5$"是对面. 又因为相对的两个面上的数互为相反数,所以$x=-6$,$y=3$,$z=5$. 所以$x-y+z=-6-3+5=-4$

【分析】
解题时首先要掌握正方体表面展开图找相对面的规律，本题属于“一四一”型展开图：上层单独的面和下层单独的面相对，中间四个面中，间隔一个面的两个面互为相对面。找到x、y、z各自的对面数字后，再根据“相对的两个面上的数互为相反数”的条件，分别求出x、y、z的数值，最后代入代数式x-y+z计算结果即可。
【解析】
解：首先确定正方体相对的面：
根据正方体展开图的规律，可得“x”的对面是“6”，“y”的对面是“-3”，“z”的对面是“-5”。
已知相对的两个面上的数互为相反数，因此：
x是6的相反数，即x=-6；
y是-3的相反数，即y=3；
z是-5的相反数，即z=5。
将x=-6，y=3，z=5代入x-y+z得：
$x-y+z=-6 - 3 + 5 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
正方体展开图对面识别、相反数的定义、代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握正方体展开图的相对面判断规则，结合相反数的性质求出未知量后代入计算即可，解题的易错点是找错相对面，只要熟练展开图规律就能准确解答。
【难度系数】
0.7

12 如图，O为直线AB上一点，$∠ AOC = 50°$，OD平分$∠ AOC$，$∠ DOE = 90°$.
（1）请你数一数，图中有个小于平角的角；
（2）$∠ COD$的余角有；
（3）求$∠ BOD$的度数.

12. (1) 9
(2) $∠ COE,∠ BOE$
(3) 因为$∠ AOC=50°$,$OD$平分$∠ AOC$,所以$∠ DOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}×50°=25°$. 因为$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-50°=130°$,所以$∠ BOD=∠ DOC+∠ BOC=25°+130°=155°$

【分析】
（1）数小于平角的角时，按固定始边顺序枚举可避免重漏：依次以OA、OD、OC、OE为始边，找出所有小于180°的角即可。
（2）余角是和为90°的两个角，先由角平分线性质求出∠COD的度数，再结合直角、平角的性质，找出和∠COD相加等于90°的角即可。
（3）求∠BOD可先利用角平分线求出∠DOC的度数，再结合平角性质求出∠BOC的度数，二者相加即可得到结果。
【解析】
（1）按顺序枚举小于平角的角：∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠DOC、∠DOE、∠DOB、∠COE、∠COB、∠EOB，共9个。
（2）
∵OD平分∠AOC，∠AOC=50°，
∴∠COD=∠AOD=25°。
∵∠DOE=90°，
∴∠COD+∠COE=90°，∠COE是∠COD的余角；
又
∵∠AOB为平角，
∴∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°，等量代换得∠COD+∠BOE=90°，∠BOE也是∠COD的余角。
（3）
∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC，
∴$∠ DOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}×50°=25°$，
∵∠BOC与∠AOC互为邻补角，
∴$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-50°=130°$，
∴$∠ BOD=∠ DOC+∠ BOC=25°+130°=155°$。
【答案】
(1) 9
(2) $∠ COE,∠ BOE$
(3) $155°$
【知识点】
角的计数，余角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题是几何初步的基础综合题，考查角的相关概念和运算，解题核心是按顺序数角避免遗漏，结合角平分线、平角、直角的性质推导角度关系。
【难度系数】
0.7

13 如图，A，B，C，D 四点在同一直线上，点 D在线段AB上.
（1）若$AB=24$，C 是线段AB 的中点，点 D在点 C 的右侧，$CD=\frac{1}{3}BD$，求线段CD的长；
（2）若$AB=16$，点 C 在直线AB 上，$BC=3AC$，M，N 分别为线段AB，BC 的中点，求线段MN 的长.
（第13题）

13. (1) 因为$AB=24$,$C$是线段$AB$的中点,所以$AC=BC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×24=12$. 又因为$CD=\dfrac{1}{3}BD$,$BD+CD=BC=12$,所以$3CD+CD=12$. 所以$CD=3$
(2) 如图①,当点$C$在线段$AB$上时,因为$AB=AC+BC=16$,$BC=3AC$,所以$AC=\dfrac{1}{1+3}AB=\dfrac{1}{4}AB=\dfrac{1}{4}×16=4$,$BC=\dfrac{3}{1+3}AB=\dfrac{3}{4}AB=\dfrac{3}{4}×16=12$. 因为$M,N$分别为线段$AB,BC$的中点,所以$AM=BM=\dfrac{1}{2}AB=8$,$BN=CN=\dfrac{1}{2}BC=6$. 所以$MN=BM-BN=8-6=2$. 如图②,当点$C$在线段$BA$的延长线上时,因为$AB=BC-AC=16$,$BC=3AC$,所以$3AC-AC=16$. 所以$AC=8$. 所以$BC=AC+AB=8+16=24$. 因为$M,N$分别为线段$AB,BC$的中点,所以$AM=BM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×16=8$,$BN=CN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×24=12$. 所以$AN=NC-AC=12-8=4$. 所以$MN=AM-AN=8-4=4$. 综上所述,线段$MN$的长为2或4

【分析】
（1）先根据线段中点的性质求出BC的长度，再结合CD与BD的数量关系，以及CD+BD=BC的和差关系，建立等式即可求解CD的长度。
（2）点C在直线AB上，位置不唯一，需分两种情况讨论：①点C在线段AB上；②点C在线段BA的延长线上。两种情况都先根据BC=3AC和AB的长度求出AC、BC的长，再利用中点的性质求出对应中点分线段的长度，最后通过线段的和差运算得到MN的长度。
【解析】
（1）$\because AB=24$，C是线段AB的中点，
$\therefore AC=BC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×24=12$。
$\because CD=\dfrac{1}{3}BD$，即$BD=3CD$，且点D在点C右侧，$CD+BD=BC=12$，
$\therefore CD+3CD=12$，解得$CD=3$。
（2）分两种情况讨论：
①当点C在线段AB上时（如图①）：
$\because AB=AC+BC=16$，$BC=3AC$，
$\therefore AC+3AC=16$，解得$AC=4$，$BC=3×4=12$。
$\because$M，N分别为线段AB，BC的中点，
$\therefore BM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×16=8$，$BN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×12=6$，
$\therefore MN=BM-BN=8-6=2$。
②当点C在线段BA的延长线上时（如图②）：
$\because AB=BC-AC=16$，$BC=3AC$，
$\therefore 3AC-AC=16$，解得$AC=8$，$BC=3×8=24$。
$\because$M，N分别为线段AB，BC的中点，
$\therefore AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×16=8$，$CN=BN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×24=12$，
$\therefore AN=CN-AC=12-8=4$，
$\therefore MN=AM-AN=8-4=4$。
综上所述，线段MN的长为2或4。
【答案】
(1) $CD=3$；(2) 线段$MN$的长为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{4}$

【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型题型，第一问难度较低，直接结合中点性质和线段和差关系即可求解；第二问需注意“点在直线上”的前提，要对线段上、线段延长线上两种位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7