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14 如图，$AC=m$，$BC=n$，$C$为线段$AB$上一点，$D$为$AC$的中点，$E$为$BC$的中点，$F$为$DE$的中点。
（第14题）
（1）若$|m-4|+(n-6)^2=0$，求：
① $DE$的长；
② $CF$的长。
（2）若$AB=12CF$，求$\frac{AC}{CB}$的值。
（第14题）（1）若$|m-4|+(n-6)^2=0$，求：
① $DE$的长；
② $CF$的长。
（2）若$AB=12CF$，求$\frac{AC}{CB}$的值。
答案
14. (1) 由题意,得$m-4=0$,$n-6=0$,所以$m=4$,$n=6$. 所以$AC=4$,$BC=6$. ① 因为$D$为$AC$的中点,$E$为$BC$的中点,所以$DC=AD=\dfrac{1}{2}AC=2$,$CE=BE=\dfrac{1}{2}BC=3$. 所以$DE=DC+CE=2+3=5$ ② 因为$F$为$DE$的中点,所以$DF=\dfrac{1}{2}DE=2.5$. 所以$CF=DF-DC=2.5-2=0.5$
(2) 分两种情况:当$AC＜BC$时,设$DC=AD=x$,$CE=BE=y$,所以$AB=AC+BC=2x+2y$,$DE=DC+CE=x+y$. 所以$DF=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{1}{2}(x+y)$. 所以$CF=DF-CD=\dfrac{1}{2}(x+y)-x=\dfrac{1}{2}(y-x)$. 因为$AB=12CF$,所以$2x+2y=12×\dfrac{1}{2}(y-x)$. 所以$2x=y$. 所以$\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{2x}{2y}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{2}$. 当$AC＞BC$时,如图,设$DC=AD=x$,$CE=BE=y$,所以$AB=AC+BC=2x+2y$,$DE=DC+CE=x+y$. 所以$DF=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{1}{2}(x+y)$. 所以$CF=CD-DF=x-\dfrac{1}{2}(x+y)=\dfrac{1}{2}(x-y)$. 因为$AB=12CF$,所以$2x+2y=12×\dfrac{1}{2}(x-y)$. 所以$2y=x$. 所以$\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{2x}{2y}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{2y}{y}=2$. 综上所述,$\dfrac{AC}{CB}$的值为$\dfrac{1}{2}$或2
解析
【分析】
本题解题思路如下：
（1）首先利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时两个非负数均为0，求出m、n的值，得到AC、BC的长度。①求DE的长：根据线段中点的性质，可得DC是AC的一半，CE是BC的一半，DE为DC与CE的和，代入数值计算即可。②求CF的长：先由F是DE中点求出DF的长度，再用DF减去DC的长度即可得到CF的长。
（2）第二问需分类讨论：第一种是AC＜BC的情况，此时F在D、C之间；第二种是AC＞BC的情况，此时F在C、E之间。设AD=DC=x，CE=EB=y，分别用x、y表示出AB和CF的长度，再根据AB=12CF的等量关系列方程，求出x和y的比值，即可得到$\frac{AC}{CB}$的值。
【解析】
（1）$\because |m-4|≥0$，$(n-6)^2≥0$，且$|m-4|+(n-6)^2=0$
$\therefore m-4=0$，$n-6=0$，解得$m=4$，$n=6$，即$AC=4$，$BC=6$。
① $\because$ D是AC的中点，E是BC的中点
$\therefore DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$
$\therefore DE=DC+CE=2+3=5$
② $\because$ F是DE的中点
$\therefore DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×5=2.5$
$\therefore CF=DF-DC=2.5-2=0.5$
（2）分两种情况讨论：
情况1：当$AC＜BC$时，设$DC=AD=x$，$CE=BE=y$
则$AB=AC+BC=2x+2y$，$DE=DC+CE=x+y$
$\because$ F是DE中点
$\therefore DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}(x+y)$
$\therefore CF=DF-CD=\frac{1}{2}(x+y)-x=\frac{1}{2}(y-x)$
由$AB=12CF$，得$2x+2y=12×\frac{1}{2}(y-x)$
化简得$2x+2y=6y-6x$，整理得$2x=y$
$\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{2x}{2y}=\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$
情况2：当$AC＞BC$时，设$DC=AD=x$，$CE=BE=y$
则$AB=AC+BC=2x+2y$，$DE=DC+CE=x+y$
$\because$ F是DE中点
$\therefore DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}(x+y)$
$\therefore CF=CD-DF=x-\frac{1}{2}(x+y)=\frac{1}{2}(x-y)$
由$AB=12CF$，得$2x+2y=12×\frac{1}{2}(x-y)$
化简得$2x+2y=6x-6y$，整理得$x=2y$
$\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{2x}{2y}=\frac{x}{y}=2$
综上，$\frac{AC}{CB}$的值为$\frac{1}{2}$或$2$
【答案】
(1) ① $DE=5$；② $CF=0.5$
(2) $\dfrac{AC}{CB}$的值为$\dfrac{1}{2}$或$2$
【知识点】
非负数的性质；线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题综合考查了非负数的性质与线段和差、中点性质的应用，解题的关键是熟练掌握线段中点的倍分关系转化线段长度，第二问需要注意根据F的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题解题思路如下：
（1）首先利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时两个非负数均为0，求出m、n的值，得到AC、BC的长度。①求DE的长：根据线段中点的性质，可得DC是AC的一半，CE是BC的一半，DE为DC与CE的和，代入数值计算即可。②求CF的长：先由F是DE中点求出DF的长度，再用DF减去DC的长度即可得到CF的长。
（2）第二问需分类讨论：第一种是AC＜BC的情况，此时F在D、C之间；第二种是AC＞BC的情况，此时F在C、E之间。设AD=DC=x，CE=EB=y，分别用x、y表示出AB和CF的长度，再根据AB=12CF的等量关系列方程，求出x和y的比值，即可得到$\frac{AC}{CB}$的值。
【解析】
（1）$\because |m-4|≥0$，$(n-6)^2≥0$，且$|m-4|+(n-6)^2=0$
$\therefore m-4=0$，$n-6=0$，解得$m=4$，$n=6$，即$AC=4$，$BC=6$。
① $\because$ D是AC的中点，E是BC的中点
$\therefore DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$
$\therefore DE=DC+CE=2+3=5$
② $\because$ F是DE的中点
$\therefore DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×5=2.5$
$\therefore CF=DF-DC=2.5-2=0.5$
（2）分两种情况讨论：
情况1：当$AC＜BC$时，设$DC=AD=x$，$CE=BE=y$
则$AB=AC+BC=2x+2y$，$DE=DC+CE=x+y$
$\because$ F是DE中点
$\therefore DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}(x+y)$
$\therefore CF=DF-CD=\frac{1}{2}(x+y)-x=\frac{1}{2}(y-x)$
由$AB=12CF$，得$2x+2y=12×\frac{1}{2}(y-x)$
化简得$2x+2y=6y-6x$，整理得$2x=y$
$\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{2x}{2y}=\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$
情况2：当$AC＞BC$时，设$DC=AD=x$，$CE=BE=y$
则$AB=AC+BC=2x+2y$，$DE=DC+CE=x+y$
$\because$ F是DE中点
$\therefore DF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}(x+y)$
$\therefore CF=CD-DF=x-\frac{1}{2}(x+y)=\frac{1}{2}(x-y)$
由$AB=12CF$，得$2x+2y=12×\frac{1}{2}(x-y)$
化简得$2x+2y=6x-6y$，整理得$x=2y$
$\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{2x}{2y}=\frac{x}{y}=2$
综上，$\frac{AC}{CB}$的值为$\frac{1}{2}$或$2$
【答案】
(1) ① $DE=5$；② $CF=0.5$
(2) $\dfrac{AC}{CB}$的值为$\dfrac{1}{2}$或$2$
【知识点】
非负数的性质；线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题综合考查了非负数的性质与线段和差、中点性质的应用，解题的关键是熟练掌握线段中点的倍分关系转化线段长度，第二问需要注意根据F的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
15 已知点 O 在直线 AB 上，∠BOC＝50°，将一把三角尺的直角顶点放在点 O 处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）。
（1）如图①，若三角尺的短直角边 OD 与射线 OB 重合，则∠COE＝
（2）如图②，将三角尺 DOE 绕点 O 按逆时针方向旋转。若 OE 恰好平分∠AOC，试说明：OD 所在射线是∠BOC 的平分线。
（3）如图③，将三角尺 DOE 绕点 O 按逆时针方向旋转，使∠COD＝$\frac{1}{4}$∠AOE，求∠BOD 的度数。
（4）将图①中的三角尺绕点 O 以每秒 5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，OE 恰好与直线 OC 重合，求 t 的值。
（1）如图①，若三角尺的短直角边 OD 与射线 OB 重合，则∠COE＝
$40°$
。（2）如图②，将三角尺 DOE 绕点 O 按逆时针方向旋转。若 OE 恰好平分∠AOC，试说明：OD 所在射线是∠BOC 的平分线。
（3）如图③，将三角尺 DOE 绕点 O 按逆时针方向旋转，使∠COD＝$\frac{1}{4}$∠AOE，求∠BOD 的度数。
（4）将图①中的三角尺绕点 O 以每秒 5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，OE 恰好与直线 OC 重合，求 t 的值。
答案
15. (1) $40°$
(2) 因为$OE$平分$∠ AOC$,所以$∠ COE=∠ AOE$. 因为$∠ EOD=90°$,所以$∠ AOE+∠ DOB=90°$,$∠ COE+∠ COD=90°$. 所以$∠ COD=∠ DOB$. 所以$OD$所在射线是$∠ BOC$的平分线
(3) 设$∠ COD=x°$. 因为$∠ COD=\dfrac{1}{4}∠ AOE$,所以$∠ AOE=4x°$. 因为$∠ DOE=90°$,$∠ BOC=50°$,所以$∠ AOE+∠ COD=180°-∠ DOE-∠ BOC=180°-90°-50°=40°$. 所以$4x+x=40$,解得$x=8$. 所以$∠ COD=8°$. 所以$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=50°+8°=58°$
(4) 如图,分两种情况:在一周之内,当$OE$与射线$OC$的反向延长线重合时,三角尺绕点$O$按逆时针方向旋转了$90°+50°=140°$,$140÷5=28$(秒);当$OE$(即$OE'$)与射线$OC$重合时,三角尺绕点$O$按逆时针方向旋转了$180°+140°=320°$,$320÷5=64$(秒). 综上所述,$t$的值为28或64
解析
【分析】
（1）已知三角尺直角∠DOE=90°，且短直角边OD与OB重合，结合∠BOC=50°，直接用∠DOE减去∠BOC即可求出∠COE的度数。
（2）要证明OD是∠BOC的平分线，只需证明∠COD=∠BOD。首先根据平角的定义和∠EOD=90°，可得∠AOE与∠DOB互余；再由OE平分∠AOC得∠AOE=∠COE，结合∠COE与∠COD互余，根据同角的余角相等即可推出∠COD=∠BOD，完成证明。
（3）采用设未知数的方法，设∠COD=x°，根据题意表示出∠AOE=4x°，观察图形可知∠AOE、∠DOE、∠COD、∠BOC四个角的和为平角180°，列方程求解x后，再计算∠BOD=∠BOC+∠COD即可。
（4）旋转过程中OE与直线OC重合分两种情况：①OE旋转到OC的反向延长线位置；②OE旋转到与射线OC重合。分别计算两种情况的旋转角度，再除以旋转速度每秒5°，即可得到对应的t值，注意旋转一周为360°，不要漏解。
【解析】
（1）
∵ OD与射线OB重合，∠DOE=90°，∠BOC=50°，
∴ $∠ COE = ∠ DOE - ∠ BOC = 90° - 50° = 40°$。
（2）
∵ OE平分$∠ AOC$，
∴ $∠ COE = ∠ AOE$。
∵ 点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，$∠ EOD=90°$，
∴ $∠ AOE + ∠ DOB = ∠ AOB - ∠ EOD = 180° - 90° = 90°$，
又
∵ $∠ COE + ∠ COD = ∠ EOD = 90°$，
∴ $∠ COD = ∠ DOB$（同角的余角相等），
∴ OD所在射线是$∠ BOC$的平分线。
（3）设$∠ COD = x°$，
∵ $∠ COD = \frac{1}{4}∠ AOE$，
∴ $∠ AOE = 4x°$。
∵ $∠ AOE + ∠ DOE + ∠ COD + ∠ BOC = ∠ AOB = 180°$，$∠ DOE=90°$，$∠ BOC=50°$，
代入得：$4x + 90 + x + 50 = 180$，
解得$x=8$，即$∠ COD=8°$，
∴ $∠ BOD = ∠ BOC + ∠ COD = 50° + 8° = 58°$。
（4）分两种情况讨论：
① 当OE逆时针旋转至与OC的反向延长线重合时，旋转角度为$90° + 50° = 140°$，
旋转速度为每秒$5°$，则$t = 140 ÷ 5 = 28$（秒）；
② 当OE继续逆时针旋转至与射线OC重合时，旋转角度为$180° + 140° = 320°$，
则$t = 320 ÷ 5 = 64$（秒）。
综上，t的值为28或64。
【答案】
(1) $40°$
(2) 因为$OE$平分$∠ AOC$,所以$∠ COE=∠ AOE$. 因为$∠ EOD=90°$,所以$∠ AOE+∠ DOB=90°$,$∠ COE+∠ COD=90°$. 所以$∠ COD=∠ DOB$. 所以$OD$所在射线是$∠ BOC$的平分线
(3) $58°$
(4) $t$的值为28或64
【知识点】
角的和差计算，角平分线的判定，动态角度分类讨论
【点评】
本题综合考察了静态角度运算、角平分线的证明以及旋转场景下的动态角度求解，既涉及基础的角度性质运用，也需要掌握分类讨论思想避免漏解，能有效提升对角度关系的理解和复杂问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）已知三角尺直角∠DOE=90°，且短直角边OD与OB重合，结合∠BOC=50°，直接用∠DOE减去∠BOC即可求出∠COE的度数。
（2）要证明OD是∠BOC的平分线，只需证明∠COD=∠BOD。首先根据平角的定义和∠EOD=90°，可得∠AOE与∠DOB互余；再由OE平分∠AOC得∠AOE=∠COE，结合∠COE与∠COD互余，根据同角的余角相等即可推出∠COD=∠BOD，完成证明。
（3）采用设未知数的方法，设∠COD=x°，根据题意表示出∠AOE=4x°，观察图形可知∠AOE、∠DOE、∠COD、∠BOC四个角的和为平角180°，列方程求解x后，再计算∠BOD=∠BOC+∠COD即可。
（4）旋转过程中OE与直线OC重合分两种情况：①OE旋转到OC的反向延长线位置；②OE旋转到与射线OC重合。分别计算两种情况的旋转角度，再除以旋转速度每秒5°，即可得到对应的t值，注意旋转一周为360°，不要漏解。
【解析】
（1）
∵ OD与射线OB重合，∠DOE=90°，∠BOC=50°，
∴ $∠ COE = ∠ DOE - ∠ BOC = 90° - 50° = 40°$。
（2）
∵ OE平分$∠ AOC$，
∴ $∠ COE = ∠ AOE$。
∵ 点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，$∠ EOD=90°$，
∴ $∠ AOE + ∠ DOB = ∠ AOB - ∠ EOD = 180° - 90° = 90°$，
又
∵ $∠ COE + ∠ COD = ∠ EOD = 90°$，
∴ $∠ COD = ∠ DOB$（同角的余角相等），
∴ OD所在射线是$∠ BOC$的平分线。
（3）设$∠ COD = x°$，
∵ $∠ COD = \frac{1}{4}∠ AOE$，
∴ $∠ AOE = 4x°$。
∵ $∠ AOE + ∠ DOE + ∠ COD + ∠ BOC = ∠ AOB = 180°$，$∠ DOE=90°$，$∠ BOC=50°$，
代入得：$4x + 90 + x + 50 = 180$，
解得$x=8$，即$∠ COD=8°$，
∴ $∠ BOD = ∠ BOC + ∠ COD = 50° + 8° = 58°$。
（4）分两种情况讨论：
① 当OE逆时针旋转至与OC的反向延长线重合时，旋转角度为$90° + 50° = 140°$，
旋转速度为每秒$5°$，则$t = 140 ÷ 5 = 28$（秒）；
② 当OE继续逆时针旋转至与射线OC重合时，旋转角度为$180° + 140° = 320°$，
则$t = 320 ÷ 5 = 64$（秒）。
综上，t的值为28或64。
【答案】
(1) $40°$
(2) 因为$OE$平分$∠ AOC$,所以$∠ COE=∠ AOE$. 因为$∠ EOD=90°$,所以$∠ AOE+∠ DOB=90°$,$∠ COE+∠ COD=90°$. 所以$∠ COD=∠ DOB$. 所以$OD$所在射线是$∠ BOC$的平分线
(3) $58°$
(4) $t$的值为28或64
【知识点】
角的和差计算，角平分线的判定，动态角度分类讨论
【点评】
本题综合考察了静态角度运算、角平分线的证明以及旋转场景下的动态角度求解，既涉及基础的角度性质运用，也需要掌握分类讨论思想避免漏解，能有效提升对角度关系的理解和复杂问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
