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24 已知代数式$A=2x^2 - 2x -1$，$B=-x^2 + xy +1$，$M=4A-(3A-2B)$。
（1）当$(x+1)^2 + |y-2|=0$时，求代数式$M$的值；
（2）若代数式$M$的值与$x$的取值无关，求$y$的值。
（1）当$(x+1)^2 + |y-2|=0$时，求代数式$M$的值；
（2）若代数式$M$的值与$x$的取值无关，求$y$的值。
答案
$M=4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B=2x^2-2x-1+2(-x^2+xy+1)=2x^2-2x-1-2x^2+2xy+2=-2x+2xy+1$.
(1) 因为$(x+1)^2+|y-2|=0$,所以$x+1=0,y-2=0$,解得$x=-1,y=2$.所以$M=-2×(-1)+2×(-1)×2+1=2-4+1=-1$
（2）因为$M=-2x+2xy+1=-2(1-y)x+1$的值与$x$的取值无关,所以$1-y=0$.所以$y=1$
(1) 因为$(x+1)^2+|y-2|=0$,所以$x+1=0,y-2=0$,解得$x=-1,y=2$.所以$M=-2×(-1)+2×(-1)×2+1=2-4+1=-1$
（2）因为$M=-2x+2xy+1=-2(1-y)x+1$的值与$x$的取值无关,所以$1-y=0$.所以$y=1$
解析
【分析】
解题时首先需要先化简代数式M：先对M=4A-(3A-2B)去括号、合并同类项，得到M的最简形式，降低后续计算的复杂度。针对第(1)问，已知$(x+1)^2+|y-2|=0$，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加为0时各自都为0，即可求出x、y的取值，代入化简后的M计算结果即可。针对第(2)问，若M的值与x的取值无关，说明M中所有含x的项的系数为0，将M整理为关于x的一次式，令x的系数为0即可求出y的值。
【解析】
首先化简代数式M：
$M=4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
将$A=2x^2 - 2x -1$，$B=-x^2 + xy +1$代入得：
$\begin{aligned}M&=2x^2-2x-1+2(-x^2+xy+1)\\&=2x^2-2x-1-2x^2+2xy+2\\&=-2x+2xy+1\end{aligned}$
(1) 因为$(x+1)^2$和$|y-2|$都是非负数，且$(x+1)^2+|y-2|=0$，所以：
$x+1=0$，$y-2=0$
解得$x=-1$，$y=2$
将$x=-1$，$y=2$代入$M=-2x+2xy+1$得：
$M=-2×(-1)+2×(-1)×2+1=2-4+1=-1$
(2) 将M整理为关于x的一次式：
$M=-2x+2xy+1=-2(1-y)x+1$
因为M的值与x的取值无关，所以x的系数为0，即：
$1-y=0$
解得$y=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{y=1}$
【知识点】
整式的加减运算，非负数的性质，代数式与变量无关的条件
【点评】
本题是整式章节的常见综合题型，解题核心是先正确化简代数式，再结合对应知识点求解，计算时要注意去括号的符号变化，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要先化简代数式M：先对M=4A-(3A-2B)去括号、合并同类项，得到M的最简形式，降低后续计算的复杂度。针对第(1)问，已知$(x+1)^2+|y-2|=0$，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加为0时各自都为0，即可求出x、y的取值，代入化简后的M计算结果即可。针对第(2)问，若M的值与x的取值无关，说明M中所有含x的项的系数为0，将M整理为关于x的一次式，令x的系数为0即可求出y的值。
【解析】
首先化简代数式M：
$M=4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
将$A=2x^2 - 2x -1$，$B=-x^2 + xy +1$代入得：
$\begin{aligned}M&=2x^2-2x-1+2(-x^2+xy+1)\\&=2x^2-2x-1-2x^2+2xy+2\\&=-2x+2xy+1\end{aligned}$
(1) 因为$(x+1)^2$和$|y-2|$都是非负数，且$(x+1)^2+|y-2|=0$，所以：
$x+1=0$，$y-2=0$
解得$x=-1$，$y=2$
将$x=-1$，$y=2$代入$M=-2x+2xy+1$得：
$M=-2×(-1)+2×(-1)×2+1=2-4+1=-1$
(2) 将M整理为关于x的一次式：
$M=-2x+2xy+1=-2(1-y)x+1$
因为M的值与x的取值无关，所以x的系数为0，即：
$1-y=0$
解得$y=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{y=1}$
【知识点】
整式的加减运算，非负数的性质，代数式与变量无关的条件
【点评】
本题是整式章节的常见综合题型，解题核心是先正确化简代数式，再结合对应知识点求解，计算时要注意去括号的符号变化，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
25 七年级一班数学兴趣小组开展活动，小明胸有成竹地对小亮说：“只要你将心中所想的数加上2，乘10，再减去19，最后告诉我结果，我就知道你所想的数是多少.”小亮不相信，就与小明比赛，却屡战屡败.这是为什么呢？
答案
设小亮所想的数为$x$,则$10(x+2)-19=10x+20-19=10x+1$.所以若知道小亮的最后结果,小明只要把这个结果减去1后再除以10就是小亮所想的数
解析
【分析】
遇到这类描述运算规则的趣味问题，我们可以先把未知的所想数设为字母，再严格按照题目给出的运算顺序列出对应的代数式，对代数式化简后就能找到最终结果和原数的关系，自然就能明白小明猜对数字的原理。
【解析】
设小亮所想的数为$x$，按照小明说的运算步骤列式：
1. 所想数加上2：$x+2$
2. 所得结果乘10：$10(x+2)$
3. 所得结果减去19：$10(x+2)-19$
化简代数式：
$10(x+2)-19=10x+20-19=10x+1$
由此可知运算的最终结果是原数的10倍加1，因此对最终结果做逆运算：先减1，再除以10，就可以得到小亮最初所想的数。
【答案】
设小亮所想的数为$x$,则$10(x+2)-19=10x+20-19=10x+1$.所以若知道小亮的最后结果,小明只要把这个结果减去1后再除以10就是小亮所想的数
【知识点】
1. 列代数式 2. 整式化简 3. 代数式应用
【点评】
本题结合趣味小游戏考查整式运算的实际应用，只要熟练掌握根据运算规则列代数式、化简代数式的方法，就能快速找到运算前后的数量规律，也能直观体会到数学的实用性和趣味性。
【难度系数】
0.85
遇到这类描述运算规则的趣味问题，我们可以先把未知的所想数设为字母，再严格按照题目给出的运算顺序列出对应的代数式，对代数式化简后就能找到最终结果和原数的关系，自然就能明白小明猜对数字的原理。
【解析】
设小亮所想的数为$x$，按照小明说的运算步骤列式：
1. 所想数加上2：$x+2$
2. 所得结果乘10：$10(x+2)$
3. 所得结果减去19：$10(x+2)-19$
化简代数式：
$10(x+2)-19=10x+20-19=10x+1$
由此可知运算的最终结果是原数的10倍加1，因此对最终结果做逆运算：先减1，再除以10，就可以得到小亮最初所想的数。
【答案】
设小亮所想的数为$x$,则$10(x+2)-19=10x+20-19=10x+1$.所以若知道小亮的最后结果,小明只要把这个结果减去1后再除以10就是小亮所想的数
【知识点】
1. 列代数式 2. 整式化简 3. 代数式应用
【点评】
本题结合趣味小游戏考查整式运算的实际应用，只要熟练掌握根据运算规则列代数式、化简代数式的方法，就能快速找到运算前后的数量规律，也能直观体会到数学的实用性和趣味性。
【难度系数】
0.85
26 [2026杭州上城期中]“整体思想”是数学中的重要思想，从全局着眼，通过整体代入、整体构造等方式，使问题化繁为简，化难为易。这种方法也可以应用在多项式的化简与求值中，例如：我们把$(a+b)$看成一个整体，则$\frac{5}{2}(a+b)-2(a+b)+\frac{1}{2}(a+b)=(\frac{5}{2}-2+\frac{1}{2})(a+b)=a+b.$
请你尝试应用整体思想解决下列问题：
(1) 求代数式的值：$3(x-y)^2 -4(x-y)^2 +2(x-y)^2$，其中$x-y=\frac{3}{2}$；
(2) 若$x^2 -2y=4$，则代数式$\frac{3}{2}x^2 -3y$的值为
(3) 当$x=13$时，$px^3 +qx -1=-20$，则当$x=-13$时，求$px^3 +qx +4$的值。
请你尝试应用整体思想解决下列问题：
(1) 求代数式的值：$3(x-y)^2 -4(x-y)^2 +2(x-y)^2$，其中$x-y=\frac{3}{2}$；
(2) 若$x^2 -2y=4$，则代数式$\frac{3}{2}x^2 -3y$的值为
6
；(3) 当$x=13$时，$px^3 +qx -1=-20$，则当$x=-13$时，求$px^3 +qx +4$的值。
答案
(1) 由题意,得$3(x-y)^2-4(x-y)^2+2(x-y)^2=(3-4+2)(x-y)^2=(x-y)^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$
(2) 6
(3) 由题意,得$13^3p+13q-1=-20$,所以$13^3p+13q=-19$.所以当$x=-13$时,$px^3+qx+4=(-13)^3p-13q+4=-(13^3p+13q)+4=-(-19)+4=23$
(2) 6
(3) 由题意,得$13^3p+13q-1=-20$,所以$13^3p+13q=-19$.所以当$x=-13$时,$px^3+qx+4=(-13)^3p-13q+4=-(13^3p+13q)+4=-(-19)+4=23$
解析
【分析】
(1) 将$(x-y)^2$看作一个整体，先合并同类项化简代数式，再将$x-y=\frac{3}{2}$代入化简后的式子计算即可；
(2) 观察所求代数式的结构，提取公因式$\frac{3}{2}$，将代数式变形为含$x^2-2y$的形式，再将$x^2-2y=4$整体代入计算；
(3) 先将$x=13$代入原式，求出$13^3p+13q$的整体值，再利用奇数次幂的符号性质，将$x=-13$时的代数式变形为含$13^3p+13q$的形式，最后整体代入计算即可。
【解析】
(1) 合并同类项得：
$3(x-y)^2 -4(x-y)^2 +2(x-y)^2=(3-4+2)(x-y)^2=(x-y)^2$
将$x-y=\frac{3}{2}$代入得：原式$=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$
(2) 对代数式变形得：
$\frac{3}{2}x^2 -3y=\frac{3}{2}(x^2-2y)$
将$x^2-2y=4$代入得：原式$=\frac{3}{2}×4=6$
(3) 当$x=13$时，代入$px^3 +qx -1=-20$得：
$13^3p+13q-1=-20$，移项得$13^3p+13q=-19$
当$x=-13$时，$px^3+qx+4=(-13)^3p -13q +4=-(13^3p+13q)+4$
将$13^3p+13q=-19$代入得：原式$=-(-19)+4=23$
【答案】
(1) $\frac{9}{4}$；(2) $6$；(3) $23$
【知识点】
整体代入思想，代数式求值，合并同类项
【点评】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，通过观察代数式的结构选取合适的整体代换，可大幅简化计算过程，是代数式化简求值的常用技巧，需要熟练掌握代数式结构观察和整体变形的方法。
【难度系数】
0.7
(1) 将$(x-y)^2$看作一个整体，先合并同类项化简代数式，再将$x-y=\frac{3}{2}$代入化简后的式子计算即可；
(2) 观察所求代数式的结构，提取公因式$\frac{3}{2}$，将代数式变形为含$x^2-2y$的形式，再将$x^2-2y=4$整体代入计算；
(3) 先将$x=13$代入原式，求出$13^3p+13q$的整体值，再利用奇数次幂的符号性质，将$x=-13$时的代数式变形为含$13^3p+13q$的形式，最后整体代入计算即可。
【解析】
(1) 合并同类项得：
$3(x-y)^2 -4(x-y)^2 +2(x-y)^2=(3-4+2)(x-y)^2=(x-y)^2$
将$x-y=\frac{3}{2}$代入得：原式$=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$
(2) 对代数式变形得：
$\frac{3}{2}x^2 -3y=\frac{3}{2}(x^2-2y)$
将$x^2-2y=4$代入得：原式$=\frac{3}{2}×4=6$
(3) 当$x=13$时，代入$px^3 +qx -1=-20$得：
$13^3p+13q-1=-20$，移项得$13^3p+13q=-19$
当$x=-13$时，$px^3+qx+4=(-13)^3p -13q +4=-(13^3p+13q)+4$
将$13^3p+13q=-19$代入得：原式$=-(-19)+4=23$
【答案】
(1) $\frac{9}{4}$；(2) $6$；(3) $23$
【知识点】
整体代入思想，代数式求值，合并同类项
【点评】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，通过观察代数式的结构选取合适的整体代换，可大幅简化计算过程，是代数式化简求值的常用技巧，需要熟练掌握代数式结构观察和整体变形的方法。
【难度系数】
0.7
27 某学校计划开展“健康校园，阳光跳绳”活动，为此学校准备从某厂家购买A，B，C三种跳绳.已知该厂家这三种跳绳的价格如下表：
（1）若学校要购买这三种跳绳共40根，其中购买A种跳绳x根，购买B种跳绳的数量比A种跳绳的2倍少3根，用含x的代数式表示购买C种跳绳的数量；
（2）在（1）的条件下，用含x的代数式表示学校购买这三种跳绳需要的总费用.
（1）若学校要购买这三种跳绳共40根，其中购买A种跳绳x根，购买B种跳绳的数量比A种跳绳的2倍少3根，用含x的代数式表示购买C种跳绳的数量；
（2）在（1）的条件下，用含x的代数式表示学校购买这三种跳绳需要的总费用.
答案
(1) 因为购买A种跳绳$x$根,购买B种跳绳的数量比A种跳绳的2倍少3根,所以购买B种跳绳$(2x-3)$根.所以购买C种跳绳$40-x-(2x-3)=(43-3x)$根
（2）因为购买A种跳绳$x$根一共花费$12x$元,购买B种跳绳$(2x-3)$根一共花费$8(2x-3)$元,购买C种跳绳$(43-3x)$根一共花费$6(43-3x)$元,所以学校购买这三种跳绳需要的总费用为$12x+8(2x-3)+6(43-3x)=12x+16x-24+258-18x=(10x+234)$元
（2）因为购买A种跳绳$x$根一共花费$12x$元,购买B种跳绳$(2x-3)$根一共花费$8(2x-3)$元,购买C种跳绳$(43-3x)$根一共花费$6(43-3x)$元,所以学校购买这三种跳绳需要的总费用为$12x+8(2x-3)+6(43-3x)=12x+16x-24+258-18x=(10x+234)$元
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是抓住三种跳绳的总数量为40根，先根据“A种跳绳x根，B种数量是A的2倍少3根”表示出B种跳绳的数量，再用总数量依次减去A、B两种的数量，就能得到C种跳绳的数量。
（2）解决第二问的思路是“总费用=每种跳绳的费用之和”，分别用“单价×数量”算出A、B、C三种跳绳的费用，再相加，最后合并同类项化简得到总费用的代数式即可。
【解析】
（1）已知购买A种跳绳$x$根，因为购买B种跳绳的数量比A种的2倍少3根，所以B种跳绳的数量为$(2x-3)$根。
三种跳绳一共购买40根，因此C种跳绳的数量为：
$40-x-(2x-3)=40-x-2x+3=(43-3x)$根。
（2）根据“总费用=单价×数量”分别计算三种跳绳的费用：
A种跳绳费用：$12x$元；
B种跳绳费用：$8(2x-3)$元；
C种跳绳费用：$6(43-3x)$元。
总费用为三种费用之和，计算得：
$\begin{split}&12x+8(2x-3)+6(43-3x)\\=&12x+16x-24+258-18x\\=&(10x+234)元\end{split}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{(43-3x)}$根
（2）$\boldsymbol{(10x+234)}$元
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题结合实际生活场景考查代数式的相关应用，解题的关键是准确梳理题目中的数量关系，正确表示出未知量，再按照整式运算的规则化简即可，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.85
（1）解决第一问的核心是抓住三种跳绳的总数量为40根，先根据“A种跳绳x根，B种数量是A的2倍少3根”表示出B种跳绳的数量，再用总数量依次减去A、B两种的数量，就能得到C种跳绳的数量。
（2）解决第二问的思路是“总费用=每种跳绳的费用之和”，分别用“单价×数量”算出A、B、C三种跳绳的费用，再相加，最后合并同类项化简得到总费用的代数式即可。
【解析】
（1）已知购买A种跳绳$x$根，因为购买B种跳绳的数量比A种的2倍少3根，所以B种跳绳的数量为$(2x-3)$根。
三种跳绳一共购买40根，因此C种跳绳的数量为：
$40-x-(2x-3)=40-x-2x+3=(43-3x)$根。
（2）根据“总费用=单价×数量”分别计算三种跳绳的费用：
A种跳绳费用：$12x$元；
B种跳绳费用：$8(2x-3)$元；
C种跳绳费用：$6(43-3x)$元。
总费用为三种费用之和，计算得：
$\begin{split}&12x+8(2x-3)+6(43-3x)\\=&12x+16x-24+258-18x\\=&(10x+234)元\end{split}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{(43-3x)}$根
（2）$\boldsymbol{(10x+234)}$元
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题结合实际生活场景考查代数式的相关应用，解题的关键是准确梳理题目中的数量关系，正确表示出未知量，再按照整式运算的规则化简即可，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.85
