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10.「2026安徽亳州期末，★★★」已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}kx+y=5,\\2x-y=0\end{cases}$有正整数解，其中$k$为整数，则$-k^2+1$的值为（ ）
A.-8或0
B.-8或-4
C.-4
D.0
A.-8或0
B.-8或-4
C.-4
D.0
答案
10.A 在方程组 $\begin{cases}kx+y=5①,\\2x-y=0②\end{cases}$ 中,由②得 $y=2x$,将 $y=2x$ 代入①得 $kx+2x=5$,即 $(k+2)x=5$,解得 $x=\dfrac{5}{k+2}$,
∴ $y=\dfrac{10}{k+2}$,
∴ 方程组的解为 $\begin{cases} x=\dfrac{5}{k+2}, \\ y=\dfrac{10}{k+2}, \end{cases}$
∵ 方程组有正整数解,
∴ $\dfrac{5}{k+2}$ 和 $\dfrac{10}{k+2}$ 均为正整数,
∴ $k+2$ 是 5 和 10 的公因数,
∵ 5 和 10 的公因数有 1,5,
∴ $k+2=1$ 或 $k+2=5$,
∴ $k=-1$ 或 $k=3$,当 $k=-1$ 时,$-k^2+1=-(-1)^2+1=0$,当 $k=3$ 时,$-k^2+1=-3^2+1=-8$,故 $-k^2+1$ 的值为 0 或 -8.故选 A.
∴ $y=\dfrac{10}{k+2}$,
∴ 方程组的解为 $\begin{cases} x=\dfrac{5}{k+2}, \\ y=\dfrac{10}{k+2}, \end{cases}$
∵ 方程组有正整数解,
∴ $\dfrac{5}{k+2}$ 和 $\dfrac{10}{k+2}$ 均为正整数,
∴ $k+2$ 是 5 和 10 的公因数,
∵ 5 和 10 的公因数有 1,5,
∴ $k+2=1$ 或 $k+2=5$,
∴ $k=-1$ 或 $k=3$,当 $k=-1$ 时,$-k^2+1=-(-1)^2+1=0$,当 $k=3$ 时,$-k^2+1=-3^2+1=-8$,故 $-k^2+1$ 的值为 0 或 -8.故选 A.
11.「2026广东佛山期末，★☆」若$\begin{cases}x=-1, \\ y=1\end{cases}$是二元一次方程$mx+n=y$的解，则满足条件的一组$m,n$的值可以是 ______ 。
答案
11.答案 1,2(答案不唯一)
12.「2026湖南邵阳期末，★☆」若$\frac{3}{4}x^{2a+b}y^3$与$\frac{4}{3}x^6y^{a-b}$的和是单项式，则$a+b=$
3
。答案
12.答案 3
解析 由题意可得$\frac{3}{4}x^{2a+b}y^3$与$\frac{4}{3}x^6y^{a-b}$是同类项,所以$\begin{cases}2a+b=6, \\a-b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases}a=3, \\b=0, \end{cases}$所以$a+b=3+0=3$.
解析 由题意可得$\frac{3}{4}x^{2a+b}y^3$与$\frac{4}{3}x^6y^{a-b}$是同类项,所以$\begin{cases}2a+b=6, \\a-b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases}a=3, \\b=0, \end{cases}$所以$a+b=3+0=3$.
13.「2025福建泉州期末，★★☆」若方程组$\begin{cases}x+y=9,\\y+z=7,\\z+x=2\end{cases}$的解满足方程$3k - x - y - z =6$，则k的值为 ______ 。
答案
13.答案 5
解析 方程组$\begin{cases}x+y=9①,\\y+z=7②,\\z+x=2③,\end{cases}$,①+②+③得$2x+2y+2z=18$,所以$x+y+z=9$,因为$3k-x-y-z=6$,所以$3k=6+x+y+z=6+9=15$,所以$k=5$.
解析 方程组$\begin{cases}x+y=9①,\\y+z=7②,\\z+x=2③,\end{cases}$,①+②+③得$2x+2y+2z=18$,所以$x+y+z=9$,因为$3k-x-y-z=6$,所以$3k=6+x+y+z=6+9=15$,所以$k=5$.
14.「2026河北张家口期末，★★☆」加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文.某加密规则为明文$(x,y)$对应密文$(x+2y,2x+3y)$.若接收到的密文为$(7,12)$，则发送的明文是
(3,2)
.答案
14.答案 (3,2)
解析 设明文为$(x,y)$,根据题意可得$\begin{cases}x+2y=7, \\2x+3y=12, \end{cases}$解得$\begin{cases}x=3, \\y=2, \end{cases}$所以发送的明文是$(3,2)$.
解析 设明文为$(x,y)$,根据题意可得$\begin{cases}x+2y=7, \\2x+3y=12, \end{cases}$解得$\begin{cases}x=3, \\y=2, \end{cases}$所以发送的明文是$(3,2)$.
15.「2025重庆南岸期末，★★☆」一名考生步行前往考场，5分钟走了总路程的$\frac{1}{6}$，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示，则他到达考场的时间比一直步行提前了
20
分钟。答案
15.答案 20
解析 由题意可知,步行到考场需要的时间为$5×6=30$(分钟),设$x≥5$时,$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$,把$(5,\frac{1}{6})$和$(7,\frac{1}{2})$代入,得$\begin{cases}5k+b=\dfrac{1}{6}, \\7k+b=\dfrac{1}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{6}, \\b=-\dfrac{2}{3}, \end{cases}$
∴ $y=\frac{1}{6}x-\frac{2}{3}$,当$y=1$时,$x=10$,
∴ 他到达考场的时间比一直步行提前了$30-10=20$(分钟).
解析 由题意可知,步行到考场需要的时间为$5×6=30$(分钟),设$x≥5$时,$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$,把$(5,\frac{1}{6})$和$(7,\frac{1}{2})$代入,得$\begin{cases}5k+b=\dfrac{1}{6}, \\7k+b=\dfrac{1}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{6}, \\b=-\dfrac{2}{3}, \end{cases}$
∴ $y=\frac{1}{6}x-\frac{2}{3}$,当$y=1$时,$x=10$,
∴ 他到达考场的时间比一直步行提前了$30-10=20$(分钟).
16.「★☆☆」某社区出资100元全部用于采购A,B,C三种图书,A种图书每本6元,B种图书每本5元,C种图书每本4元,其中A种图书只能买5本或6本(三种图书都要买),此次采购的方案有
6
种.答案
16.答案 6
解析 当购买5本A种图书时,设购买$x$本B种图书,$y$本C种图书,根据题意得$6×5+5x+4y=100$,
∴ $x=14-\frac{4}{5}y$,
∵ $x,y$均为正整数,
∴ $\begin{cases}x=10, \\y=5 \end{cases}$或$\begin{cases}x=6, \\y=10 \end{cases}$或$\begin{cases}x=2, \\y=15, \end{cases}$
∴ 当购买5本A种图书时,有3种采购方案.当购买6本A种图书时,设购买$m$本B种图书,$n$本C种图书,根据题意得$6×6+5m+4n=100$,
∴ $n=16-\frac{5}{4}m$,
∵ $m,n$均为正整数,
∴ $\begin{cases}m=4, \\n=11 \end{cases}$或$\begin{cases}m=8, \\n=6 \end{cases}$或$\begin{cases}m=12, \\n=1, \end{cases}$
∴ 当购买6本A种图书时,有3种采购方案,
∴ 此次采购的方案有$3+3=6$(种).
解析 当购买5本A种图书时,设购买$x$本B种图书,$y$本C种图书,根据题意得$6×5+5x+4y=100$,
∴ $x=14-\frac{4}{5}y$,
∵ $x,y$均为正整数,
∴ $\begin{cases}x=10, \\y=5 \end{cases}$或$\begin{cases}x=6, \\y=10 \end{cases}$或$\begin{cases}x=2, \\y=15, \end{cases}$
∴ 当购买5本A种图书时,有3种采购方案.当购买6本A种图书时,设购买$m$本B种图书,$n$本C种图书,根据题意得$6×6+5m+4n=100$,
∴ $n=16-\frac{5}{4}m$,
∵ $m,n$均为正整数,
∴ $\begin{cases}m=4, \\n=11 \end{cases}$或$\begin{cases}m=8, \\n=6 \end{cases}$或$\begin{cases}m=12, \\n=1, \end{cases}$
∴ 当购买6本A种图书时,有3种采购方案,
∴ 此次采购的方案有$3+3=6$(种).
三、解答题(共56分)
17.「2026山东潍坊月考，★☆」(6分)解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x - y = 5, \\5x + 2y = 8.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{y + 1}{3} = 1, \\x + y = 4.\end{cases}$
17.「2026山东潍坊月考，★☆」(6分)解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x - y = 5, \\5x + 2y = 8.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{x - 1}{2} + \dfrac{y + 1}{3} = 1, \\x + y = 4.\end{cases}$
答案
17.解析 (1) $\begin{cases}2x-y=5①, \\5x+2y=8②, \end{cases}$ ①×2+②得$9x=18$,解得$x=2$,把$x=2$代入①得$2×2-y=5$,解得$y=-1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\y=-1. \end{cases}$
(2)原方程组可化为$\begin{cases}3x+2y=7①, \\x+y=4②, \end{cases}$ ②×3-①得$y=5$,把$y=5$代入②得$x+5=4$,解得$x=-1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=5. \end{cases}$
(2)原方程组可化为$\begin{cases}3x+2y=7①, \\x+y=4②, \end{cases}$ ②×3-①得$y=5$,把$y=5$代入②得$x+5=4$,解得$x=-1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=5. \end{cases}$
