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18.「2026 四川成都期中改编，★☆」(8分)若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+2y=1, \\ax-by=2\end{cases}$与方程组$\begin{cases}bx+ay=4, \\4x-y=5\end{cases}$的解相同，求：
(1)两个方程组的相同解.
(2)$(4a+b)^{2026}$的值.
(1)两个方程组的相同解.
(2)$(4a+b)^{2026}$的值.
答案
18.解析 (1)由两个方程组的解相同,可得$\begin{cases}3x+2y=1①, \\4x-y=5②, \end{cases}$ ②×2+①得$11x=11$,解得$x=1$,把$x=1$代入②得$4×1-y=5$,解得$y=-1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=-1. \end{cases}$
(2)把$\begin{cases}x=1, \\y=-1 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax-by=2, \\bx+ay=4 \end{cases}$可得$\begin{cases}a+b=2, \\b-a=4, \end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1, \\b=3, \end{cases}$所以$(4a+b)^{2026}=(-4+3)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
题型解读 两个方程组同解问题
两个方程组的解相同,即这两个方程组的解是组成这两个方程组的四个方程的公共解.解决这种问题的常用方法如下:先将两个不含字母的二元一次方程联立得到一个方程组,求出该方程组的解,再将所得的解代入另两个含字母的方程中,进而求出字母的值.
(2)把$\begin{cases}x=1, \\y=-1 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax-by=2, \\bx+ay=4 \end{cases}$可得$\begin{cases}a+b=2, \\b-a=4, \end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1, \\b=3, \end{cases}$所以$(4a+b)^{2026}=(-4+3)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
题型解读 两个方程组同解问题
两个方程组的解相同,即这两个方程组的解是组成这两个方程组的四个方程的公共解.解决这种问题的常用方法如下:先将两个不含字母的二元一次方程联立得到一个方程组,求出该方程组的解,再将所得的解代入另两个含字母的方程中,进而求出字母的值.
19.「2026河南平顶山期末，★★☆」(10分)某中学八年级(1)班去体育用品店买一些篮球和排球，供班上同学课间使用，买3个篮球和5个排球共花费570元，并且每个排球比每个篮球便宜30元.
(1)求篮球和排球的单价.
(2)体育用品店搞活动,有两种套餐.
①优惠打折:每个篮球和排球均打八折.②满减活动:消费满999元减100元,消费满1 999元减200元.两种套餐不重复参与.若八年级(1)班打算买15个篮球和13个排球,请问按照哪种套餐购买更划算?
(1)求篮球和排球的单价.
(2)体育用品店搞活动,有两种套餐.
①优惠打折:每个篮球和排球均打八折.②满减活动:消费满999元减100元,消费满1 999元减200元.两种套餐不重复参与.若八年级(1)班打算买15个篮球和13个排球,请问按照哪种套餐购买更划算?
答案
19.解析 (1)设篮球的单价是$x$元,排球的单价是$y$元,由题意得$\begin{cases}3x+5y=570, \\x-y=30, \end{cases}$解得$\begin{cases}x=90, \\y=60. \end{cases}$答:篮球的单价是90元,排球的单价是60元.
(2)套餐①:买15个篮球和13个排球需付款$90×0.8×15+60×0.8×13=1 704$(元).套餐②:按原价买15个篮球和13个排球需付款$90×15+60×13=2 130$(元),因为$2 130＞1 999$,所以共需付款$2 130-200=1 930$(元).因为$1 930＞1 704$,所以按照套餐①购买更划算.
(2)套餐①:买15个篮球和13个排球需付款$90×0.8×15+60×0.8×13=1 704$(元).套餐②:按原价买15个篮球和13个排球需付款$90×15+60×13=2 130$(元),因为$2 130＞1 999$,所以共需付款$2 130-200=1 930$(元).因为$1 930＞1 704$,所以按照套餐①购买更划算.
