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14 如图，已知：在矩形$ABCD$中，$E$是边$CD$的中点，$AF ⊥ BE$，垂足为$F$，$AF$的延长线交$BC$于点$G$，连接$DF$.
（1）求证：$△ ABG ∽ △ BCE$.
（2）如果$BF=2$，$EF=15$，求$AF$的长.
（3）求证：$BG · DF=2CE^2$.
（1）求证：$△ ABG ∽ △ BCE$.
（2）如果$BF=2$，$EF=15$，求$AF$的长.
（3）求证：$BG · DF=2CE^2$.
答案
14. (1) 提示：由$∠ GAB + ∠ AGB = 90°$, $∠ EBC + ∠ AGB = 90°$, 得 $∠ GAB = ∠ EBC$. 又由$∠ ABG = ∠ BCE$, 得 $△ ABG ∽ △ BCE$.
(2) 8. 提示：由(1), 得 $∠ FAB = ∠ CBE$, $∠ AFB = ∠ C$, 得 $△ ABF ∽ △ BEC$, 故 $\frac{AB}{BE} = \frac{BF}{EC}$. 由 $E$ 是矩形 $ABCD$ 的边 $CD$ 的中点, 得 $EC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$.
又因为 $BF = 2$, $EF = 15$, 所以 $\frac{AB}{2 + 15} = \frac{2}{\frac{1}{2}AB}$, 解得 $AB = 2\sqrt{17}$ 或 $AB = -2\sqrt{17}$(舍去). 在 $\mathrm{Rt}△ BAF$ 中, $AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{(2\sqrt{17})^2 - 2^2} = 8$.
(3) 如图, 延长 $AD$、$BE$, 交于点 $H$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore AD = BC$, $AB = CD$, $∠ ADC = ∠ C = 90°$.
$\therefore ∠ HDE = 180° - 90° = 90° = ∠ C$.
$\because E$ 是边 $CD$ 的中点,
$\therefore CE = DE = \frac{1}{2}CD$.
$\because ∠ CEB = ∠ DEH$,
$\therefore △ BEC ≌ △ HED$.
$\therefore BC = HD$.
$\therefore HD = AD$.
$\because AF ⊥ BE$, 即 $∠ AFH = 90°$. $\therefore DF = AD = DH$.
$\because △ ABG ∽ △ BCE$, $\therefore \frac{AB}{BC} = \frac{BG}{CE}$.
$\because AB = CD = 2CE$, $BC = DF$,
$\therefore \frac{2CE}{DF} = \frac{BG}{CE}$.
$\therefore BG · DF = 2CE^2$.
解析
【分析】
（1）要证明两个三角形相似，已知矩形中∠ABG和∠BCE都是直角，只需再证明一组锐角相等即可。由AF⊥BE可得∠AFB=90°，利用同角的余角相等可推出∠GAB=∠EBC，满足两角对应相等的相似判定条件，即可完成证明。
（2）求AF的长，可在Rt△ABF中用勾股定理求解，因此需要先求出AB的长度。结合（1）的角相等关系可证△ABF∽△BEC，再结合E是CD中点（$CE=\frac{1}{2}AB$），以及$BE=BF+EF=17$，代入相似的比例式即可求出AB的长度，最后用勾股定理计算AF即可。
（3）要证$BG · DF=2CE^2$，需要对线段做等量转化。首先构造辅助线：延长AD、BE交于点H，先证△BEC≌△HED，可得D是AH中点，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到$DF=AD=BC$；再结合（1）中△ABG∽△BCE的比例关系，将AB替换为2CE、BC替换为DF，整理比例式即可得到待证结论。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ABG=∠BCE=90°$，
∴ $∠GAB + ∠AGB = 90°$，
∵ $AF⊥BE$，垂足为F，
∴ $∠AFB=90°$，即$∠EBC + ∠AGB = 90°$，
∴ $∠GAB = ∠EBC$，
又
∵ $∠ABG=∠BCE=90°$，
∴ $△ ABG ∽ △ BCE$。
（2）解：
由（1）可知$∠FAB=∠CBE$，
又
∵ $∠AFB=∠C=90°$，
∴ $△ ABF ∽ △ BEC$，
∴ $\frac{AB}{BE} = \frac{BF}{EC}$，
∵ E是CD的中点，$CD=AB$，
∴ $EC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$，
由题意得$BE=BF+EF=2+15=17$，将$BF=2$、$EC=\frac{1}{2}AB$代入比例式得：
$\frac{AB}{17} = \frac{2}{\frac{1}{2}AB}$，
整理得$AB^2=68$，解得$AB=2\sqrt{17}$（线段长度为正，舍去负值），
在$\mathrm{Rt}△ BAF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{(2\sqrt{17})^2 - 2^2} = \sqrt{68-4} = \sqrt{64}=8$。
（3）证明：
如图，延长 $AD$、$BE$，交于点 $H$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD = BC$，$AB = CD$，$∠ ADC = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ HDE = 180° - ∠ADC = 90° = ∠ C$，
∵ $E$是边$CD$的中点，
∴ $CE = DE = \frac{1}{2}CD$，
在$△BEC$和$△HED$中：
$\begin{cases}∠C=∠HDE \\CE=DE \\∠CEB=∠DEH\end{cases}$
∴ $△ BEC ≌ △ HED$（ASA），
∴ $BC = HD$，
∴ $HD = AD$，即$D$为$AH$的中点，
∵ $AF ⊥ BE$，即$∠ AFH = 90°$，$DF$是$\mathrm{Rt}△AFH$斜边$AH$上的中线，
∴ $DF = AD = DH$，即$DF=BC$，
由（1）知$△ ABG ∽ △ BCE$，
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{BG}{CE}$，
∵ $AB = CD = 2CE$，$BC = DF$，代入上式得：
$\frac{2CE}{DF} = \frac{BG}{CE}$，
交叉相乘得$BG · DF = 2CE^2$，得证。
【答案】
（1）$△ ABG ∽ △ BCE$得证；
（2）$\boxed{8}$；
（3）$BG · DF = 2CE^2$得证，辅助线如下图：
【知识点】
相似三角形判定与性质；矩形的性质；全等三角形判定与性质
【点评】
本题为几何综合题，小问之间关联性强，前一问的结论可作为后一问的解题突破口。题目既考查了三角形相似、全等的基础判定方法，也考查了直角三角形斜边中线、矩形性质的灵活应用，第三问需要构造辅助线完成线段的等量转化，能很好地锻炼逻辑推理能力和几何辅助线构造思维。
【难度系数】
0.6
（1）要证明两个三角形相似，已知矩形中∠ABG和∠BCE都是直角，只需再证明一组锐角相等即可。由AF⊥BE可得∠AFB=90°，利用同角的余角相等可推出∠GAB=∠EBC，满足两角对应相等的相似判定条件，即可完成证明。
（2）求AF的长，可在Rt△ABF中用勾股定理求解，因此需要先求出AB的长度。结合（1）的角相等关系可证△ABF∽△BEC，再结合E是CD中点（$CE=\frac{1}{2}AB$），以及$BE=BF+EF=17$，代入相似的比例式即可求出AB的长度，最后用勾股定理计算AF即可。
（3）要证$BG · DF=2CE^2$，需要对线段做等量转化。首先构造辅助线：延长AD、BE交于点H，先证△BEC≌△HED，可得D是AH中点，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到$DF=AD=BC$；再结合（1）中△ABG∽△BCE的比例关系，将AB替换为2CE、BC替换为DF，整理比例式即可得到待证结论。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ABG=∠BCE=90°$，
∴ $∠GAB + ∠AGB = 90°$，
∵ $AF⊥BE$，垂足为F，
∴ $∠AFB=90°$，即$∠EBC + ∠AGB = 90°$，
∴ $∠GAB = ∠EBC$，
又
∵ $∠ABG=∠BCE=90°$，
∴ $△ ABG ∽ △ BCE$。
（2）解：
由（1）可知$∠FAB=∠CBE$，
又
∵ $∠AFB=∠C=90°$，
∴ $△ ABF ∽ △ BEC$，
∴ $\frac{AB}{BE} = \frac{BF}{EC}$，
∵ E是CD的中点，$CD=AB$，
∴ $EC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$，
由题意得$BE=BF+EF=2+15=17$，将$BF=2$、$EC=\frac{1}{2}AB$代入比例式得：
$\frac{AB}{17} = \frac{2}{\frac{1}{2}AB}$，
整理得$AB^2=68$，解得$AB=2\sqrt{17}$（线段长度为正，舍去负值），
在$\mathrm{Rt}△ BAF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{(2\sqrt{17})^2 - 2^2} = \sqrt{68-4} = \sqrt{64}=8$。
（3）证明：
如图，延长 $AD$、$BE$，交于点 $H$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD = BC$，$AB = CD$，$∠ ADC = ∠ C = 90°$，
∴ $∠ HDE = 180° - ∠ADC = 90° = ∠ C$，
∵ $E$是边$CD$的中点，
∴ $CE = DE = \frac{1}{2}CD$，
在$△BEC$和$△HED$中：
$\begin{cases}∠C=∠HDE \\CE=DE \\∠CEB=∠DEH\end{cases}$
∴ $△ BEC ≌ △ HED$（ASA），
∴ $BC = HD$，
∴ $HD = AD$，即$D$为$AH$的中点，
∵ $AF ⊥ BE$，即$∠ AFH = 90°$，$DF$是$\mathrm{Rt}△AFH$斜边$AH$上的中线，
∴ $DF = AD = DH$，即$DF=BC$，
由（1）知$△ ABG ∽ △ BCE$，
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{BG}{CE}$，
∵ $AB = CD = 2CE$，$BC = DF$，代入上式得：
$\frac{2CE}{DF} = \frac{BG}{CE}$，
交叉相乘得$BG · DF = 2CE^2$，得证。
【答案】
（1）$△ ABG ∽ △ BCE$得证；
（2）$\boxed{8}$；
（3）$BG · DF = 2CE^2$得证，辅助线如下图：
【知识点】
相似三角形判定与性质；矩形的性质；全等三角形判定与性质
【点评】
本题为几何综合题，小问之间关联性强，前一问的结论可作为后一问的解题突破口。题目既考查了三角形相似、全等的基础判定方法，也考查了直角三角形斜边中线、矩形性质的灵活应用，第三问需要构造辅助线完成线段的等量转化，能很好地锻炼逻辑推理能力和几何辅助线构造思维。
【难度系数】
0.6
