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三、解答题
11. 如图，已知：$△ ABC$是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，$∠ ADE=60°$. 求证：$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$.
11. 如图，已知：$△ ABC$是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，$∠ ADE=60°$. 求证：$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$.
答案
11. 提示：$△ ABD ∽ △ DCE$.
解析
【分析】
要证明线段成比例$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$，通常通过证明对应三角形相似推导。观察线段所属三角形：AD、BD在$△ ABD$中，DE、CE在$△ DCE$中，因此只需证$△ ABD ∽ △ DCE$。首先利用等边三角形性质得$∠ B=∠ C=60°$，再通过角的和差关系推导另一组相等的角，即可用两角对应相等判定两三角形相似。
【解析】
证明：
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=60°$，
$\therefore$ 在$△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ ADB = 180° - ∠ B = 120°$。
$\because ∠ ADE=60°$，
$\therefore ∠ ADB + ∠ CDE = 180° - ∠ ADE = 120°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CDE$。
在$△ ABD$和$△ DCE$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ C \\∠ BAD = ∠ CDE\end{cases}$
$\therefore △ ABD ∽ △ DCE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore$ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$，原式得证。
【答案】
$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是利用相似三角形证明线段比例的基础题型，解题关键是借助等边三角形的角的特性推导等角，进而判定三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
要证明线段成比例$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$，通常通过证明对应三角形相似推导。观察线段所属三角形：AD、BD在$△ ABD$中，DE、CE在$△ DCE$中，因此只需证$△ ABD ∽ △ DCE$。首先利用等边三角形性质得$∠ B=∠ C=60°$，再通过角的和差关系推导另一组相等的角，即可用两角对应相等判定两三角形相似。
【解析】
证明：
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=60°$，
$\therefore$ 在$△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ ADB = 180° - ∠ B = 120°$。
$\because ∠ ADE=60°$，
$\therefore ∠ ADB + ∠ CDE = 180° - ∠ ADE = 120°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CDE$。
在$△ ABD$和$△ DCE$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ C \\∠ BAD = ∠ CDE\end{cases}$
$\therefore △ ABD ∽ △ DCE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore$ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$，原式得证。
【答案】
$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是利用相似三角形证明线段比例的基础题型，解题关键是借助等边三角形的角的特性推导等角，进而判定三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
12. 如图，已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD=6，EC=1，BD=6，AE=8. 求证：∠AED=∠B. 
（第12题）
（第12题）答案
12. 提示：由$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$, $∠ A = ∠ A$, 得 $△ ADE ∽ △ ACB$. 所以, $∠ AED = ∠ B$.
解析
【分析】
要证明∠AED=∠B，观察两角分别属于△ADE和△ACB，且两个三角形有公共角∠A，因此可尝试证明两三角形相似。首先先计算AB、AC的长度，验证夹公共角∠A的两组对应边是否成比例，若满足两边对应成比例且夹角相等，即可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应角相等即可推导出结论。
【解析】
证明：
$\because AD=6$，$BD=6$
$\therefore AB=AD+BD=6+6=12$
$\because AE=8$，$EC=1$
$\therefore AC=AE+EC=8+1=9$
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角）
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore ∠ AED=∠ B$（相似三角形的对应角相等）
【答案】
$∠ AED=∠ B$，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是利用相似三角形证明角相等的基础题型，解题关键是先计算对应边长度得到边的比例关系，结合公共角判定三角形相似，进而得到对应角相等，侧重考察对相似三角形相关定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明∠AED=∠B，观察两角分别属于△ADE和△ACB，且两个三角形有公共角∠A，因此可尝试证明两三角形相似。首先先计算AB、AC的长度，验证夹公共角∠A的两组对应边是否成比例，若满足两边对应成比例且夹角相等，即可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应角相等即可推导出结论。
【解析】
证明：
$\because AD=6$，$BD=6$
$\therefore AB=AD+BD=6+6=12$
$\because AE=8$，$EC=1$
$\therefore AC=AE+EC=8+1=9$
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又$\because ∠ A=∠ A$（公共角）
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore ∠ AED=∠ B$（相似三角形的对应角相等）
【答案】
$∠ AED=∠ B$，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是利用相似三角形证明角相等的基础题型，解题关键是先计算对应边长度得到边的比例关系，结合公共角判定三角形相似，进而得到对应角相等，侧重考察对相似三角形相关定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
13. 如图，已知：在$△ ABC$中，$BD ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，垂足分别为$D$、$E$. 求证：$△ AED ∽ △ ACB$.
答案
13. 提示：由$∠ AEC = ∠ ADB = 90°$, $∠ A = ∠ A$, 得 $△ AEC ∽ △ ADB$, 故 $\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$. 又由$∠ A = ∠ A$, 得 $△ AED ∽ △ ACB$.
解析
【分析】
要证明$△ AED ∽ △ ACB$，首先观察到两个三角形有公共角$∠ A$，根据相似三角形的判定定理，只需再证明夹$∠ A$的两组对应边成比例，即$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$即可。已知$BD⊥ AC$、$CE⊥ AB$，可得$△ AEC$和$△ ADB$都是直角三角形，且二者也有公共角$∠ A$，因此可先证明这两个直角三角形相似，得到对应边成比例，进而推出需要的比例关系，最终即可证明目标三角形相似。
【解析】
证明：
$\because BD⊥ AC$，$CE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEC = ∠ ADB = 90°$（垂直的定义），
又$\because ∠ A = ∠ A$（公共角相等），
$\therefore △ AEC ∽ △ ADB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AE}{AD} = \frac{AC}{AB}$，根据比例的基本性质变形得$\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$，
在$△ AED$和$△ ACB$中：
$\begin{cases} \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \\∠ A = ∠ A\end{cases}$
$\therefore △ AED ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
$△ AED ∽ △ ACB$，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的判定、垂直的定义、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型应用，需要通过两次相似的证明得到结论，解题时要注意挖掘图形中的公共角、直角等隐含相等条件，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明$△ AED ∽ △ ACB$，首先观察到两个三角形有公共角$∠ A$，根据相似三角形的判定定理，只需再证明夹$∠ A$的两组对应边成比例，即$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$即可。已知$BD⊥ AC$、$CE⊥ AB$，可得$△ AEC$和$△ ADB$都是直角三角形，且二者也有公共角$∠ A$，因此可先证明这两个直角三角形相似，得到对应边成比例，进而推出需要的比例关系，最终即可证明目标三角形相似。
【解析】
证明：
$\because BD⊥ AC$，$CE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEC = ∠ ADB = 90°$（垂直的定义），
又$\because ∠ A = ∠ A$（公共角相等），
$\therefore △ AEC ∽ △ ADB$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AE}{AD} = \frac{AC}{AB}$，根据比例的基本性质变形得$\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$，
在$△ AED$和$△ ACB$中：
$\begin{cases} \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \\∠ A = ∠ A\end{cases}$
$\therefore △ AED ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
$△ AED ∽ △ ACB$，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的判定、垂直的定义、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型应用，需要通过两次相似的证明得到结论，解题时要注意挖掘图形中的公共角、直角等隐含相等条件，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
