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5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是边$AB$上的高. 已知$BC=4$，$BD=2$，那么$AD$的长为________.
答案
5. 6.
解析
【分析】
本题可通过证明三角形相似求解线段长度。首先观察图形，Rt△ABC中CD是斜边AB上的高，存在公共角∠B和两个相等的直角，可先证明△BCD与△BAC相似，再利用相似三角形对应边成比例求出AB的总长，最后用AB减去BD即可得到AD的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
又
∵∠B=∠B（公共角），
∴△BCD∽△BAC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$BC^2=BD· BA$，
将$BC=4$，$BD=2$代入得：
$4^2=2× BA$，
解得$BA=8$，
∴$AD=AB-BD=8-2=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，核心是识别直角三角形斜边上的高构成的“母子型”相似模型，通过证明相似得到对应边比例关系即可求解，掌握常见相似模型能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.7
本题可通过证明三角形相似求解线段长度。首先观察图形，Rt△ABC中CD是斜边AB上的高，存在公共角∠B和两个相等的直角，可先证明△BCD与△BAC相似，再利用相似三角形对应边成比例求出AB的总长，最后用AB减去BD即可得到AD的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
又
∵∠B=∠B（公共角），
∴△BCD∽△BAC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$BC^2=BD· BA$，
将$BC=4$，$BD=2$代入得：
$4^2=2× BA$，
解得$BA=8$，
∴$AD=AB-BD=8-2=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，核心是识别直角三角形斜边上的高构成的“母子型”相似模型，通过证明相似得到对应边比例关系即可求解，掌握常见相似模型能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.7
6. 如图，每个小正方形的边长均为1，图中三角形的顶点都在格点上。在△ABC、△ABD、△ABE和△ABF中，与涂色三角形相似的是
$△ ABD$
。答案
6. $△ ABD$.
解析
【分析】
要判断格点三角形是否相似，可先通过勾股定理计算出各三角形的三边长，再依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，对比待判断三角形与涂色三角形的三边比值是否一致即可。具体步骤为：首先计算涂色三角形的三边长，得到三边的比值；其次分别计算△ABC、△ABD、△ABE、△ABF的三边长，得到各自的三边比值；最后将四个比值与涂色三角形的比值对比，一致的即为相似三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
第一步：计算涂色三角形的三边长：
最短边长为1，中等边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，最长边长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，因此涂色三角形三边的比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
第二步：计算AB的长度：$AB=2$。
第三步：分别计算四个三角形的其余两边长，判断比值是否匹配：
1. 对△ABC：$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，三边为$2、\sqrt{5}、\sqrt{17}$，比值与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似；
2. 对△ABD：$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，三边为$2、2\sqrt{2}、2\sqrt{5}$，比值为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与涂色三角形三边比相等，因此相似；
3. 对△ABE：$BE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$AE=\sqrt{4^2+3^2}=5$，三边为$2、\sqrt{13}、5$，比值与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似；
4. 对△ABF：$BF=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，三边为$2、2\sqrt{5}、4\sqrt{2}$，比值与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似。
【答案】
$△ ABD$
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是相似三角形判定的典型题型，解题关键是利用勾股定理准确计算各格点三角形的边长，再通过三边对应成比例的判定定理判断相似，解题时需要注意边长计算不要出错，对比比例时要对应边顺序一致。
【难度系数】
0.7
要判断格点三角形是否相似，可先通过勾股定理计算出各三角形的三边长，再依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，对比待判断三角形与涂色三角形的三边比值是否一致即可。具体步骤为：首先计算涂色三角形的三边长，得到三边的比值；其次分别计算△ABC、△ABD、△ABE、△ABF的三边长，得到各自的三边比值；最后将四个比值与涂色三角形的比值对比，一致的即为相似三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
第一步：计算涂色三角形的三边长：
最短边长为1，中等边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，最长边长为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，因此涂色三角形三边的比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
第二步：计算AB的长度：$AB=2$。
第三步：分别计算四个三角形的其余两边长，判断比值是否匹配：
1. 对△ABC：$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，三边为$2、\sqrt{5}、\sqrt{17}$，比值与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似；
2. 对△ABD：$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，三边为$2、2\sqrt{2}、2\sqrt{5}$，比值为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与涂色三角形三边比相等，因此相似；
3. 对△ABE：$BE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$AE=\sqrt{4^2+3^2}=5$，三边为$2、\sqrt{13}、5$，比值与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似；
4. 对△ABF：$BF=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，三边为$2、2\sqrt{5}、4\sqrt{2}$，比值与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似。
【答案】
$△ ABD$
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是相似三角形判定的典型题型，解题关键是利用勾股定理准确计算各格点三角形的边长，再通过三边对应成比例的判定定理判断相似，解题时需要注意边长计算不要出错，对比比例时要对应边顺序一致。
【难度系数】
0.7
7. 已知一个三角形的三边长分别为1、$\sqrt{2}$、2，另一个三角形的其中两边长分别为2、$2\sqrt{2}$.若这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为
$\sqrt{2}$或4
.答案
7. $\sqrt{2}$或4.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的三组对应边成比例。先将第一个已知三角形的三边按从小到大排序为1、$\sqrt{2}$、2，第二个三角形已知的两边为2、$2\sqrt{2}$，这两条边的比值为$2:2\sqrt{2}=1:\sqrt{2}$，和第一个三角形中比值为$1:\sqrt{2}$的两组边（1与$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$与2）分别对应，因此需要分两种情况讨论对应边的匹配关系，计算相似比后即可求出第三边长。
【解析】
解：设第一个三角形的三边长分别为$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=2$，第二个三角形的已知两边为$d=2$，$e=2\sqrt{2}$，第三边长为$f$。
∵两个三角形相似，
∴对应边成比例，分两种情况讨论：
情况1：若$d$对应$a$，$e$对应$b$，此时相似比$k=\frac{d}{a}=\frac{2}{1}=2$，
验证得$\frac{e}{b}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$，比例一致，
则第三边$f$对应$c$，$\therefore f=k· c=2×2=4$；
情况2：若$d$对应$b$，$e$对应$c$，此时相似比$k=\frac{d}{b}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
验证得$\frac{e}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，比例一致，
则第三边$f$对应$a$，$\therefore f=k· a=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$。
综上，另一个三角形的第三边长为$\sqrt{2}$或$4$。
【答案】
$\sqrt{2}$或$4$
【知识点】
相似三角形的性质、分类讨论思想、比例线段计算
【点评】
本题重点考查相似三角形对应边成比例的应用，解题的关键是明确相似三角形中对应边的匹配关系不唯一时需分类讨论，避免因漏考虑对应情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的三组对应边成比例。先将第一个已知三角形的三边按从小到大排序为1、$\sqrt{2}$、2，第二个三角形已知的两边为2、$2\sqrt{2}$，这两条边的比值为$2:2\sqrt{2}=1:\sqrt{2}$，和第一个三角形中比值为$1:\sqrt{2}$的两组边（1与$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$与2）分别对应，因此需要分两种情况讨论对应边的匹配关系，计算相似比后即可求出第三边长。
【解析】
解：设第一个三角形的三边长分别为$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=2$，第二个三角形的已知两边为$d=2$，$e=2\sqrt{2}$，第三边长为$f$。
∵两个三角形相似，
∴对应边成比例，分两种情况讨论：
情况1：若$d$对应$a$，$e$对应$b$，此时相似比$k=\frac{d}{a}=\frac{2}{1}=2$，
验证得$\frac{e}{b}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$，比例一致，
则第三边$f$对应$c$，$\therefore f=k· c=2×2=4$；
情况2：若$d$对应$b$，$e$对应$c$，此时相似比$k=\frac{d}{b}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
验证得$\frac{e}{c}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，比例一致，
则第三边$f$对应$a$，$\therefore f=k· a=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$。
综上，另一个三角形的第三边长为$\sqrt{2}$或$4$。
【答案】
$\sqrt{2}$或$4$
【知识点】
相似三角形的性质、分类讨论思想、比例线段计算
【点评】
本题重点考查相似三角形对应边成比例的应用，解题的关键是明确相似三角形中对应边的匹配关系不唯一时需分类讨论，避免因漏考虑对应情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，三个边长为1的正方形ABCD、ABEF、EFHG拼在一起，那么∠1+∠2=
（第8题）（第9题）
45
°。（第8题）（第9题）答案
8. 45.
解析
【分析】
要计算∠1+∠2的度数，首先结合正方形边长相等的性质，设每个正方形边长为1，先利用勾股定理求出相关线段的长度，再通过三边对应成比例证明两个三角形相似，得到角的等量关系，最后结合平行线的性质将∠1、∠2转化为已知的45°特殊角的两个组成部分，即可求出角度和。
【解析】
设每个正方形的边长为1：
1. 计算相关线段长度：
由勾股定理可得，正方形ABCD的对角线$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
$AF=1$，$AH=2$（A到H间隔2个正方形边长）；
$CF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$CH=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
2. 证明三角形相似：
计算三边比例：
$\frac{AF}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{AH}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CF}{CH}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{AF}{AC}=\frac{AC}{AH}=\frac{CF}{CH}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ACF ∽ △ AHC$。
3. 推导角度和：
由相似三角形对应角相等，得$∠ 1=∠ ACH$；
又因为$DH // CG$，内错角相等，得$∠ 2=∠ HCG$；
AC是正方形的对角线，它与底边CG的夹角$∠ ACG=45°$，且$∠ ACG=∠ ACH + ∠ HCG$，
因此$∠ 1+∠ 2=∠ ACH + ∠ HCG=45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的经典应用题型，结合了正方形的性质，解题核心是通过线段比例关系构造相似三角形，将未知角度和转化为已知特殊角，考查学生的图形观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
要计算∠1+∠2的度数，首先结合正方形边长相等的性质，设每个正方形边长为1，先利用勾股定理求出相关线段的长度，再通过三边对应成比例证明两个三角形相似，得到角的等量关系，最后结合平行线的性质将∠1、∠2转化为已知的45°特殊角的两个组成部分，即可求出角度和。
【解析】
设每个正方形的边长为1：
1. 计算相关线段长度：
由勾股定理可得，正方形ABCD的对角线$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
$AF=1$，$AH=2$（A到H间隔2个正方形边长）；
$CF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$CH=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
2. 证明三角形相似：
计算三边比例：
$\frac{AF}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{AH}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CF}{CH}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{AF}{AC}=\frac{AC}{AH}=\frac{CF}{CH}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ACF ∽ △ AHC$。
3. 推导角度和：
由相似三角形对应角相等，得$∠ 1=∠ ACH$；
又因为$DH // CG$，内错角相等，得$∠ 2=∠ HCG$；
AC是正方形的对角线，它与底边CG的夹角$∠ ACG=45°$，且$∠ ACG=∠ ACH + ∠ HCG$，
因此$∠ 1+∠ 2=∠ ACH + ∠ HCG=45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的经典应用题型，结合了正方形的性质，解题核心是通过线段比例关系构造相似三角形，将未知角度和转化为已知特殊角，考查学生的图形观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
9. 如图，在四边形ABCD中，$AD // EF // BC$，$∠ A = 90°$，$\frac{AE}{EB} = \frac{1}{2}$。如果$AD=3$，$BC=6$，那么$EF=$
4
。答案
9. 4.
解析
【分析】
本题是直角梯形中求平行于底的线段长度的问题。已知$AD// EF// BC$，线段比$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，及上下底的长度，我们可以通过延长梯形两腰交于一点，构造两组相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解。核心思路是利用平行线得到相似三角形，将已知线段比转化为相似比，进而求出未知线段长度。
【解析】
解：延长BA、CD交于点P。
$\because AD// BC$，
$\therefore △ PAD ∽ △ PBC$，
$\therefore \frac{PA}{PB}=\frac{AD}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$PB=2PA$，可得$PA=AB$。
设$AE=x$，由$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$得$EB=2x$，则$AB=AE+EB=3x$，
$\therefore PA=AB=3x$，$PE=PA+AE=3x+x=4x$，$PB=PA+AB=6x$。
$\because EF// BC$，
$\therefore △ PEF ∽ △ PBC$，
$\therefore \frac{PE}{PB}=\frac{EF}{BC}$，代入得$\frac{4x}{6x}=\frac{EF}{6}$，
解得$EF=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例；直角梯形的性质
【点评】
本题是相似三角形在梯形中的典型应用，解题的关键是通过合理作辅助线构造相似三角形，将已知的线段比例关系转化为相似三角形的相似比，进而计算得到所求线段长度，熟练掌握相似的判定和性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
本题是直角梯形中求平行于底的线段长度的问题。已知$AD// EF// BC$，线段比$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，及上下底的长度，我们可以通过延长梯形两腰交于一点，构造两组相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解。核心思路是利用平行线得到相似三角形，将已知线段比转化为相似比，进而求出未知线段长度。
【解析】
解：延长BA、CD交于点P。
$\because AD// BC$，
$\therefore △ PAD ∽ △ PBC$，
$\therefore \frac{PA}{PB}=\frac{AD}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$PB=2PA$，可得$PA=AB$。
设$AE=x$，由$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$得$EB=2x$，则$AB=AE+EB=3x$，
$\therefore PA=AB=3x$，$PE=PA+AE=3x+x=4x$，$PB=PA+AB=6x$。
$\because EF// BC$，
$\therefore △ PEF ∽ △ PBC$，
$\therefore \frac{PE}{PB}=\frac{EF}{BC}$，代入得$\frac{4x}{6x}=\frac{EF}{6}$，
解得$EF=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例；直角梯形的性质
【点评】
本题是相似三角形在梯形中的典型应用，解题的关键是通过合理作辅助线构造相似三角形，将已知的线段比例关系转化为相似三角形的相似比，进而计算得到所求线段长度，熟练掌握相似的判定和性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
10 如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接AE，将△ADE绕点A顺时针旋转$90°$，得△ABF。连接EF，分别交AB、AC于点G、H。如果$AH=2CH$，那么$\frac{DE}{CD}$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
。答案
10. $\frac{\sqrt{3}}{3}$. 提示：设正方形 $ABCD$ 的边长为 1, $DE = t$, 则 $CE = 1 - t$. $AE = \sqrt{1 + t^2}$, $AC=\sqrt{2}$. 又由 $AH = 2CH$, 得 $AH = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. 根据题意, $AE = AF$, $∠ FAE = 90°$, 故 $∠ AEH = 45°$. 由 $∠ AEH = ∠ ACE = 45°$, $∠ EAH = ∠ CAE$, 得 $△ AEH ∽ △ ACE$. 所以, $\frac{AE}{AC} = \frac{AH}{AE}$, $\frac{\sqrt{1 + t^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{1 + t^2}}$, 解得 $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$(舍去). 所以, $\frac{DE}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质，推导得到△AFE是等腰直角三角形，推出∠AEH=45°；再结合正方形对角线的性质得到∠ACE=45°，发现△AEH和△ACE有公共角∠EAH，两组角对应相等即可证两三角形相似；最后设正方形边长为参数，结合AH和CH的比例关系表示出相关线段长度，利用相似三角形对应边成比例列方程求解DE的长度，即可得到所求比值。
【解析】
设正方形ABCD的边长为1，$DE = t$，则$CE = 1 - t$，$CD=1$。
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1 + t^2}$，正方形对角线$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵$AH = 2CH$，$AC=AH+CH$，
∴$AH = \frac{2}{3}AC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
由旋转的性质可知△ADE≌△ABF，
∴$AF=AE$，$∠FAB=∠DAE$，
∴$∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°$，即△FAE是等腰直角三角形，
∴$∠AEF=45°$。
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴$∠ACE=45°$，
∴$∠AEH=∠ACE=45°$，
又
∵$∠EAH=∠CAE$（公共角），
∴$△ AEH ∽ △ ACE$，
∴$\frac{AE}{AC} = \frac{AH}{AE}$，即$AE^2=AC·AH$，
代入得：$(\sqrt{1 + t^2})^2=\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
化简得：$1+t^2=\frac{4}{3}$，解得$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$或$t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$（线段长度为正，舍去），
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{t}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
旋转的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合类常考题，将旋转、正方形性质与相似三角形的知识结合考查，解题的突破口是利用旋转得到等腰直角三角形，找到相等角证明三角形相似，再通过比例关系建立方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合旋转的性质，推导得到△AFE是等腰直角三角形，推出∠AEH=45°；再结合正方形对角线的性质得到∠ACE=45°，发现△AEH和△ACE有公共角∠EAH，两组角对应相等即可证两三角形相似；最后设正方形边长为参数，结合AH和CH的比例关系表示出相关线段长度，利用相似三角形对应边成比例列方程求解DE的长度，即可得到所求比值。
【解析】
设正方形ABCD的边长为1，$DE = t$，则$CE = 1 - t$，$CD=1$。
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1 + t^2}$，正方形对角线$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵$AH = 2CH$，$AC=AH+CH$，
∴$AH = \frac{2}{3}AC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
由旋转的性质可知△ADE≌△ABF，
∴$AF=AE$，$∠FAB=∠DAE$，
∴$∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°$，即△FAE是等腰直角三角形，
∴$∠AEF=45°$。
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴$∠ACE=45°$，
∴$∠AEH=∠ACE=45°$，
又
∵$∠EAH=∠CAE$（公共角），
∴$△ AEH ∽ △ ACE$，
∴$\frac{AE}{AC} = \frac{AH}{AE}$，即$AE^2=AC·AH$，
代入得：$(\sqrt{1 + t^2})^2=\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
化简得：$1+t^2=\frac{4}{3}$，解得$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$或$t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$（线段长度为正，舍去），
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{t}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
旋转的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合类常考题，将旋转、正方形性质与相似三角形的知识结合考查，解题的突破口是利用旋转得到等腰直角三角形，找到相等角证明三角形相似，再通过比例关系建立方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
