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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ C = ∠ F = 90°$，要使$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$相似，只要 （
A.$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{EF}$；
B.$\dfrac{AB}{DF} = \dfrac{BC}{DE}$；
C.$AB · DE = BC · EF$；
D.$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF}$。
D
）A.$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{EF}$；
B.$\dfrac{AB}{DF} = \dfrac{BC}{DE}$；
C.$AB · DE = BC · EF$；
D.$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF}$。
答案
1. D.
解析
【分析】
要判断两个直角三角形相似，首先明确已知条件：两三角形均为直角三角形，∠C=∠F=90°（直角为对应角）。解题思路为：先回忆直角三角形相似的判定规则，可通过“两组对应边成比例且夹角相等”“斜边和一条直角边对应成比例”判定相似，接下来逐个分析选项中的比例式，整理后验证是否符合对应边成比例的要求即可。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，边AB为斜边，BC、AC为直角边；$\mathrm{Rt}△ DEF$中$∠ F=90°$，边DE为斜边，EF、DF为直角边。
对各选项逐一分析：
选项A：$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{EF}$，其中DE是$\mathrm{Rt}△ DEF$的斜边，AB是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，BC是$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边，EF是$\mathrm{Rt}△ DEF$的直角边，边的对应关系不匹配，无法推出两三角形相似，A错误。
选项B：$\dfrac{AB}{DF} = \dfrac{BC}{DE}$，其中AB是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，DF是$\mathrm{Rt}△ DEF$的直角边，BC是$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边，DE是$\mathrm{Rt}△ DEF$的斜边，边的对应关系不匹配，无法推出两三角形相似，B错误。
选项C：$AB · DE = BC · EF$，变形为比例式为$\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{BC}{DE}$，边的对应关系与选项A类似，不匹配，无法推出两三角形相似，C错误。
选项D：$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF}$，即$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边与$\mathrm{Rt}△ DEF$的斜边的比，等于$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边BC与$\mathrm{Rt}△ DEF$的直角边EF的比，符合直角三角形相似的“斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似”的判定规则，因此可推出$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形相似判定
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的关键是准确识别直角三角形的斜边、直角边，明确相似三角形的对应边关系，能熟练对比例式进行变形验证即可解题。
【难度系数】
0.7
要判断两个直角三角形相似，首先明确已知条件：两三角形均为直角三角形，∠C=∠F=90°（直角为对应角）。解题思路为：先回忆直角三角形相似的判定规则，可通过“两组对应边成比例且夹角相等”“斜边和一条直角边对应成比例”判定相似，接下来逐个分析选项中的比例式，整理后验证是否符合对应边成比例的要求即可。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，边AB为斜边，BC、AC为直角边；$\mathrm{Rt}△ DEF$中$∠ F=90°$，边DE为斜边，EF、DF为直角边。
对各选项逐一分析：
选项A：$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{EF}$，其中DE是$\mathrm{Rt}△ DEF$的斜边，AB是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，BC是$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边，EF是$\mathrm{Rt}△ DEF$的直角边，边的对应关系不匹配，无法推出两三角形相似，A错误。
选项B：$\dfrac{AB}{DF} = \dfrac{BC}{DE}$，其中AB是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，DF是$\mathrm{Rt}△ DEF$的直角边，BC是$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边，DE是$\mathrm{Rt}△ DEF$的斜边，边的对应关系不匹配，无法推出两三角形相似，B错误。
选项C：$AB · DE = BC · EF$，变形为比例式为$\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{BC}{DE}$，边的对应关系与选项A类似，不匹配，无法推出两三角形相似，C错误。
选项D：$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF}$，即$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边与$\mathrm{Rt}△ DEF$的斜边的比，等于$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边BC与$\mathrm{Rt}△ DEF$的直角边EF的比，符合直角三角形相似的“斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似”的判定规则，因此可推出$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ DEF$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形相似判定
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的关键是准确识别直角三角形的斜边、直角边，明确相似三角形的对应边关系，能熟练对比例式进行变形验证即可解题。
【难度系数】
0.7
2. 给出下列命题：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④有两边成比例的两个直角三角形相似. 其中，是真命题的有 （
A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
B
）A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
答案
2. B.
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，尤其是直角三角形相似的判定规则，解题思路为逐个分析4个命题的真假：首先回忆相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例，直角三角形还有斜边直角边对应成比例相似的特殊判定），再结合直角三角形的性质逐一判断每个命题是否成立即可。
【解析】
我们逐个判断命题的真假：
1. 命题①：所有直角三角形都相似。直角三角形仅直角这一组角相等，另外两个锐角的度数可以不同，例如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，内角不全部对应相等，不相似，故①为假命题；
2. 命题②：所有等腰直角三角形都相似。等腰直角三角形的三个内角度数固定为90°、45°、45°，任意两个等腰直角三角形的角都对应相等，符合“两角对应相等，两三角形相似”的判定规则，故②为真命题；
3. 命题③：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。两个直角三角形本身直角相等，再加上一组相等的锐角，就有两组角对应相等，符合相似三角形的判定规则，故③为真命题；
4. 命题④：有两边成比例的两个直角三角形相似。该命题未说明两边是对应边，若一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边成比例，即使比例值相等，两个三角形也不相似，不符合相似判定的对应要求，故④为假命题。
综上，真命题有②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题的关键是准确理解相似三角形判定定理中“对应”的要求，不要忽略前提条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，尤其是直角三角形相似的判定规则，解题思路为逐个分析4个命题的真假：首先回忆相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例，直角三角形还有斜边直角边对应成比例相似的特殊判定），再结合直角三角形的性质逐一判断每个命题是否成立即可。
【解析】
我们逐个判断命题的真假：
1. 命题①：所有直角三角形都相似。直角三角形仅直角这一组角相等，另外两个锐角的度数可以不同，例如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，内角不全部对应相等，不相似，故①为假命题；
2. 命题②：所有等腰直角三角形都相似。等腰直角三角形的三个内角度数固定为90°、45°、45°，任意两个等腰直角三角形的角都对应相等，符合“两角对应相等，两三角形相似”的判定规则，故②为真命题；
3. 命题③：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。两个直角三角形本身直角相等，再加上一组相等的锐角，就有两组角对应相等，符合相似三角形的判定规则，故③为真命题；
4. 命题④：有两边成比例的两个直角三角形相似。该命题未说明两边是对应边，若一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边成比例，即使比例值相等，两个三角形也不相似，不符合相似判定的对应要求，故④为假命题。
综上，真命题有②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题的关键是准确理解相似三角形判定定理中“对应”的要求，不要忽略前提条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 已知两个命题：①斜边及斜边上的中线对应成比例的两个直角三角形相似；②斜边及斜边上的高对应成比例的两个直角三角形相似. 下列对这两个命题的判断中，正确的是（
A.①是假命题，②是真命题；
B.①是真命题，②是假命题；
C.①和②都是真命题；
D.①和②都是假命题.
A
）A.①是假命题，②是真命题；
B.①是真命题，②是假命题；
C.①和②都是真命题；
D.①和②都是假命题.
答案
3. A.
解析
【分析】
先结合直角三角形的性质、相似三角形的判定定理，分别对两个命题逐一分析：1. 对命题①，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质，明确已知条件的本质，再判断是否满足相似判定要求；2. 对命题②，通过比例转化、直角三角形面积和勾股定理的结合，推导是否能得到相似的结论。
【解析】
判断命题①：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此任意两个直角三角形的斜边上中线的比恒等于斜边的比，即“斜边及斜边上的中线对应成比例”本质上仅等价于斜边对应成比例。
仅斜边成比例的两个直角三角形不一定相似，例如：第一个直角三角形斜边为2，两直角边为1、$\sqrt{3}$；第二个直角三角形斜边为4，两直角边为3、$\sqrt{7}$，此时斜边比为$1:2$，斜边上的中线分别为1、2，中线比也为$1:2$，满足条件，但两个三角形三边不成比例，不相似，因此①是假命题。
判断命题②：
设两个直角三角形的斜边分别为$c_1$、$c_2$，斜边上的高分别为$h_1$、$h_2$，已知$\frac{c_1}{c_2}=\frac{h_1}{h_2}=k$，则$c_1=kc_2$，$h_1=kh_2$。
将第二个直角三角形按比例$k$放大，得到的新三角形斜边为$kc_2=c_1$，斜边上的高为$kh_2=h_1$，此时新三角形与第一个直角三角形斜边相等、斜边上的高相等。由面积公式$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$可知两直角边乘积相等，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可推出两直角边对应相等（或仅顺序互换），即新三角形与第一个直角三角形全等，因此原两个直角三角形相似，故②是真命题。
综上，①是假命题，②是真命题。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形判定与直角三角形性质的结合应用，解题核心是准确拆解命题中的条件，结合已有性质推导是否满足相似的判定要求，易错点是容易忽略斜边上的中线与斜边的固定比例关系，误判命题①为真。
【难度系数】
0.65
先结合直角三角形的性质、相似三角形的判定定理，分别对两个命题逐一分析：1. 对命题①，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质，明确已知条件的本质，再判断是否满足相似判定要求；2. 对命题②，通过比例转化、直角三角形面积和勾股定理的结合，推导是否能得到相似的结论。
【解析】
判断命题①：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此任意两个直角三角形的斜边上中线的比恒等于斜边的比，即“斜边及斜边上的中线对应成比例”本质上仅等价于斜边对应成比例。
仅斜边成比例的两个直角三角形不一定相似，例如：第一个直角三角形斜边为2，两直角边为1、$\sqrt{3}$；第二个直角三角形斜边为4，两直角边为3、$\sqrt{7}$，此时斜边比为$1:2$，斜边上的中线分别为1、2，中线比也为$1:2$，满足条件，但两个三角形三边不成比例，不相似，因此①是假命题。
判断命题②：
设两个直角三角形的斜边分别为$c_1$、$c_2$，斜边上的高分别为$h_1$、$h_2$，已知$\frac{c_1}{c_2}=\frac{h_1}{h_2}=k$，则$c_1=kc_2$，$h_1=kh_2$。
将第二个直角三角形按比例$k$放大，得到的新三角形斜边为$kc_2=c_1$，斜边上的高为$kh_2=h_1$，此时新三角形与第一个直角三角形斜边相等、斜边上的高相等。由面积公式$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$可知两直角边乘积相等，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可推出两直角边对应相等（或仅顺序互换），即新三角形与第一个直角三角形全等，因此原两个直角三角形相似，故②是真命题。
综上，①是假命题，②是真命题。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形判定与直角三角形性质的结合应用，解题核心是准确拆解命题中的条件，结合已有性质推导是否满足相似的判定要求，易错点是容易忽略斜边上的中线与斜边的固定比例关系，误判命题①为真。
【难度系数】
0.65
二、填空题
4. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形
4. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形
一定
相似.（填“一定”、“不一定”或“一定不”）答案
4. 一定.
解析
【分析】
要判断两个直角三角形是否相似，首先回忆相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。两个直角三角形的直角都是90°，属于相等的夹角，接下来只需验证两组直角边是否对应成比例即可。先分别整理两个三角形的直角边，计算对应边的比值，若比值相等则两三角形相似。
【解析】
已知两个三角形均为直角三角形，因此二者的夹角（直角）相等，均为90°。
计算两组直角边的比值：
第一个直角三角形的两直角边为3和6，第二个直角三角形的两直角边为2和4，可得$\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即两组直角边对应成比例。
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知这两个直角三角形一定相似。
【答案】
一定
【知识点】
相似三角形的判定、直角的性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是抓住直角三角形的直角为相等的固定条件，再验证直角边的比例关系即可，注意不要被边的排列顺序干扰对比例关系的判断。
【难度系数】
0.9
要判断两个直角三角形是否相似，首先回忆相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。两个直角三角形的直角都是90°，属于相等的夹角，接下来只需验证两组直角边是否对应成比例即可。先分别整理两个三角形的直角边，计算对应边的比值，若比值相等则两三角形相似。
【解析】
已知两个三角形均为直角三角形，因此二者的夹角（直角）相等，均为90°。
计算两组直角边的比值：
第一个直角三角形的两直角边为3和6，第二个直角三角形的两直角边为2和4，可得$\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即两组直角边对应成比例。
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知这两个直角三角形一定相似。
【答案】
一定
【知识点】
相似三角形的判定、直角的性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是抓住直角三角形的直角为相等的固定条件，再验证直角边的比例关系即可，注意不要被边的排列顺序干扰对比例关系的判断。
【难度系数】
0.9
5. 已知一个直角三角形的两条边长分别为4和8，另一个直角三角形的两条边长分别为3和6，那么这两个直角三角形
不一定
相似.（填“一定”、“不一定”或“一定不”）答案
5. 不一定.
解析
【分析】
解题时首先注意题目仅给出直角三角形的两条边长，未明确边是直角边还是斜边，因此需要分情况讨论：由于斜边是直角三角形最长边，因此每个三角形都分两种情况：①已知两条边都是直角边；②较短边为直角边，较长边为斜边。再分别计算不同情况下两个三角形的三边，根据相似三角形的判定规则判断是否存在相似和不相似的情形，最终得出结论。
【解析】
分情况讨论两个直角三角形的边长：
1. 对边长为4和8的直角三角形：
情况1：4、8均为直角边，三边长为$4,8,\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$；
情况2：4为直角边，8为斜边（斜边最长，4不可能为斜边），三边长为$4,\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3},8$。
2. 对边长为3和6的直角三角形：
情况1：3、6均为直角边，三边长为$3,6,\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$；
情况2：3为直角边，6为斜边，三边长为$3,\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3},6$。
判断相似性：
若第一个三角形取情况1、第二个三角形取情况1：三边比为$\frac{4}{3}=\frac{8}{6}=\frac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$，三边对应成比例，两三角形相似；
若第一个三角形取情况1、第二个三角形取情况2：三边对应比值不相等，两三角形不相似。
因此两个三角形可能相似也可能不相似。
【答案】
不一定
【知识点】
相似三角形判定，直角三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认已知两条边都是直角边，直接判定三角形相似，解题时遇到未明确直角三角形边的类型的情况，要主动分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先注意题目仅给出直角三角形的两条边长，未明确边是直角边还是斜边，因此需要分情况讨论：由于斜边是直角三角形最长边，因此每个三角形都分两种情况：①已知两条边都是直角边；②较短边为直角边，较长边为斜边。再分别计算不同情况下两个三角形的三边，根据相似三角形的判定规则判断是否存在相似和不相似的情形，最终得出结论。
【解析】
分情况讨论两个直角三角形的边长：
1. 对边长为4和8的直角三角形：
情况1：4、8均为直角边，三边长为$4,8,\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$；
情况2：4为直角边，8为斜边（斜边最长，4不可能为斜边），三边长为$4,\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3},8$。
2. 对边长为3和6的直角三角形：
情况1：3、6均为直角边，三边长为$3,6,\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$；
情况2：3为直角边，6为斜边，三边长为$3,\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3},6$。
判断相似性：
若第一个三角形取情况1、第二个三角形取情况1：三边比为$\frac{4}{3}=\frac{8}{6}=\frac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$，三边对应成比例，两三角形相似；
若第一个三角形取情况1、第二个三角形取情况2：三边对应比值不相等，两三角形不相似。
因此两个三角形可能相似也可能不相似。
【答案】
不一定
【知识点】
相似三角形判定，直角三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认已知两条边都是直角边，直接判定三角形相似，解题时遇到未明确直角三角形边的类型的情况，要主动分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. 已知一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm和$\frac{45}{4}$ cm，那么这两个直角三角形
一定
相似.（填“一定”、“不一定”或“一定不”）答案
6. 一定.
解析
【分析】
要判断两个直角三角形是否相似，可利用直角三角形相似的特殊判定定理：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。解题时先分别计算两个三角形已知直角边的比值、斜边的比值，对比两个比值是否相等，即可得出结论。
【解析】
已知两个三角形均为直角三角形，都含有90°的直角，角度相等。
计算两组对应边的比值：
第一个三角形已知直角边长为8cm，斜边长为15cm；第二个三角形已知直角边长为6cm，斜边长为$\frac{45}{4}$cm。
已知直角边的比值：$\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
斜边的比值：$\frac{15}{\frac{45}{4}}=15×\frac{4}{45}=\frac{4}{3}$
可见两个三角形的一组直角边和斜边对应成比例，比值均为$\frac{4}{3}$。
根据直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，因此这两个直角三角形一定相似。
【答案】
一定
【知识点】
直角三角形相似判定、比例计算
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定方法，解题核心是验证已知的一组直角边和斜边是否对应成比例，掌握直角三角形相似的特殊判定定理可以快速解题，避免多余计算。
【难度系数】
0.8
要判断两个直角三角形是否相似，可利用直角三角形相似的特殊判定定理：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。解题时先分别计算两个三角形已知直角边的比值、斜边的比值，对比两个比值是否相等，即可得出结论。
【解析】
已知两个三角形均为直角三角形，都含有90°的直角，角度相等。
计算两组对应边的比值：
第一个三角形已知直角边长为8cm，斜边长为15cm；第二个三角形已知直角边长为6cm，斜边长为$\frac{45}{4}$cm。
已知直角边的比值：$\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
斜边的比值：$\frac{15}{\frac{45}{4}}=15×\frac{4}{45}=\frac{4}{3}$
可见两个三角形的一组直角边和斜边对应成比例，比值均为$\frac{4}{3}$。
根据直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，因此这两个直角三角形一定相似。
【答案】
一定
【知识点】
直角三角形相似判定、比例计算
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定方法，解题核心是验证已知的一组直角边和斜边是否对应成比例，掌握直角三角形相似的特殊判定定理可以快速解题，避免多余计算。
【难度系数】
0.8
