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7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ C=∠ F=90°$. 下列各组条件中，能判定这两个三角形相似的是
① $∠ A=55°$，$∠ D=35°$；
② $AC=9$，$BC=12$，$DF=6$，$EF=8$；
③ $AC=3$，$BC=4$，$DF=6$，$DE=8$；
④ $AB=10$，$AC=8$，$DE=15$，$EF=9$.
A $D$
①②④
.（填序号）① $∠ A=55°$，$∠ D=35°$；
② $AC=9$，$BC=12$，$DF=6$，$EF=8$；
③ $AC=3$，$BC=4$，$DF=6$，$DE=8$；
④ $AB=10$，$AC=8$，$DE=15$，$EF=9$.
A $D$
答案
7. ①②④.
解析
【分析】
本题要判定两个直角三角形相似，已知两个三角形都有直角（∠C=∠F=90°），可从两个方向推导：①证明有一组锐角对应相等；②证明两组边对应成比例（可以是两组直角边对应成比例，也可以是斜边和一组直角边对应成比例），逐个分析4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
我们逐个验证各组条件：
① 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=55°$，因此$∠ B=90°-55°=35°$，可得$∠ B=∠ D=35°$，又$∠ C=∠ F=90°$，两角对应相等的两个三角形相似，故$\mathrm{Rt}△ABC∽\mathrm{Rt}△EDF$，①符合要求；
② 已知AC、BC是△ABC的直角边，DF、EF是△DEF的直角边，计算边长比：$\frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，即两组直角边对应成比例，且夹角都是直角相等，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故$\mathrm{Rt}△ABC∽\mathrm{Rt}△DEF$，②符合要求；
③ 先由勾股定理得$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$\mathrm{Rt}△DEF$的斜边是DE，已知DF=6，DE=8，可得另一条直角边$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，计算边的比值：$\frac{AC}{DF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{4}{2\sqrt{7}}≠\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{DE}=\frac{5}{8}≠\frac{1}{2}$，无对应成比例的边，不能判定相似，③不符合要求；
④ 先由勾股定理得$\mathrm{Rt}△ABC$的直角边$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，$\mathrm{Rt}△DEF$的斜边是DE，已知DE=15，EF=9，可得直角边$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$，计算边长比：$\frac{AC}{DF}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，两组直角边对应成比例，夹角都是直角相等，故两个三角形相似，也可通过$\frac{AB}{DE}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，由斜边和直角边对应成比例判定相似，④符合要求。
综上，能判定相似的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形相似的判定，勾股定理
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理在直角三角形中的应用，解题时要注意边的对应关系，求未知边长时需正确运用勾股定理，避免因边对应错误或计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题要判定两个直角三角形相似，已知两个三角形都有直角（∠C=∠F=90°），可从两个方向推导：①证明有一组锐角对应相等；②证明两组边对应成比例（可以是两组直角边对应成比例，也可以是斜边和一组直角边对应成比例），逐个分析4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
我们逐个验证各组条件：
① 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=55°$，因此$∠ B=90°-55°=35°$，可得$∠ B=∠ D=35°$，又$∠ C=∠ F=90°$，两角对应相等的两个三角形相似，故$\mathrm{Rt}△ABC∽\mathrm{Rt}△EDF$，①符合要求；
② 已知AC、BC是△ABC的直角边，DF、EF是△DEF的直角边，计算边长比：$\frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，即两组直角边对应成比例，且夹角都是直角相等，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故$\mathrm{Rt}△ABC∽\mathrm{Rt}△DEF$，②符合要求；
③ 先由勾股定理得$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$\mathrm{Rt}△DEF$的斜边是DE，已知DF=6，DE=8，可得另一条直角边$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，计算边的比值：$\frac{AC}{DF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{4}{2\sqrt{7}}≠\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{DE}=\frac{5}{8}≠\frac{1}{2}$，无对应成比例的边，不能判定相似，③不符合要求；
④ 先由勾股定理得$\mathrm{Rt}△ABC$的直角边$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，$\mathrm{Rt}△DEF$的斜边是DE，已知DE=15，EF=9，可得直角边$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$，计算边长比：$\frac{AC}{DF}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，两组直角边对应成比例，夹角都是直角相等，故两个三角形相似，也可通过$\frac{AB}{DE}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，由斜边和直角边对应成比例判定相似，④符合要求。
综上，能判定相似的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形相似的判定，勾股定理
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理在直角三角形中的应用，解题时要注意边的对应关系，求未知边长时需正确运用勾股定理，避免因边对应错误或计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，那么可以添加条件“AC²=
DA · CB
”，利用定理“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”，证明Rt△DCA∽Rt△ABC。答案
8. $DA · CB$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个待证相似的直角三角形的斜边和对应直角边：Rt△DCA的斜边为AC，直角边有DA、DC；Rt△ABC的斜边为BC，直角边有AC、AB。题目要求用“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”证明Rt△DCA∽Rt△ABC，先确定对应边的比例关系，再通过交叉相乘变形即可得到AC²对应的表达式。
【解析】
已知∠BAC=∠ADC=90°，故△DCA和△ABC均为直角三角形。
要根据斜边和直角边对应成比例判定Rt△DCA∽Rt△ABC，需满足对应边成比例：
△DCA的斜边AC对应△ABC的斜边BC，△DCA的直角边DA对应△ABC的直角边AC，因此比例式为：
$\frac{AC}{BC}=\frac{DA}{AC}$
根据比例的基本性质交叉相乘，可得$AC^2 = DA · CB$。
【答案】
$DA· CB$
【知识点】
直角三角形相似的HL判定；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查直角三角形相似判定定理的应用，解题的核心是准确找到两个三角形的对应边，再结合比例性质变形得到结果，属于相似三角形判定的基础类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个待证相似的直角三角形的斜边和对应直角边：Rt△DCA的斜边为AC，直角边有DA、DC；Rt△ABC的斜边为BC，直角边有AC、AB。题目要求用“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”证明Rt△DCA∽Rt△ABC，先确定对应边的比例关系，再通过交叉相乘变形即可得到AC²对应的表达式。
【解析】
已知∠BAC=∠ADC=90°，故△DCA和△ABC均为直角三角形。
要根据斜边和直角边对应成比例判定Rt△DCA∽Rt△ABC，需满足对应边成比例：
△DCA的斜边AC对应△ABC的斜边BC，△DCA的直角边DA对应△ABC的直角边AC，因此比例式为：
$\frac{AC}{BC}=\frac{DA}{AC}$
根据比例的基本性质交叉相乘，可得$AC^2 = DA · CB$。
【答案】
$DA· CB$
【知识点】
直角三角形相似的HL判定；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查直角三角形相似判定定理的应用，解题的核心是准确找到两个三角形的对应边，再结合比例性质变形得到结果，属于相似三角形判定的基础类题目。
【难度系数】
0.8
9. 数学课上，甲、乙、丙三名学生讨论题目：“如图，一张直角三角形纸片ABC的直角边AC=6，BC=8. P是△ABC边上不与A、B、C重合的一点，欲过点P沿一条直线剪一刀，剪下一个与△ABC相似的三角形. 问有几种不同的剪法.”甲说：“当点P在斜边AB上时，有三种不同的剪法.”乙说：“当点P在直角边BC上时，有三种不同剪法.”丙说：“当点P在直角边AC上时，有四种不同的剪法.”其中，说法正确的学生是
甲、丙
.(填人名)答案
9. 甲、丙. 提示：如图(1)，当点P在斜边AB上时有三种不同的剪法，即沿过点P分别垂直于BC、AB、AC的垂线剪，故甲的说法正确.
如图(2)，当点P在直角边BC上时有四种不同剪法，过点P作PD//AB，交AC于点D，则△PCD∽△BCA；过点P作PE//AC，交AB于点E，则△BPE∽△BCA；过点P作PF⊥AB，垂足为F，则△BFP∽△BCA；作∠CPG=∠A，交AC于点G，则△GCP∽△BCA. 同理，点P在直角边AC上时，也有四种不同剪法，故乙的说法错误，丙的说法正确.
解析
【分析】
要解决本题，需结合相似三角形的判定定理，按点P所在的边（斜边AB、直角边BC、直角边AC）分类讨论，逐一统计能剪出与△ABC相似的三角形的剪法数量，再对比三名同学的说法判断正误。判定可利用“两角对应相等的两个三角形相似”“平行于三角形一边的直线截另外两边所得的三角形与原三角形相似”这两个结论推导所有符合要求的剪法。
【解析】
1. 点P在斜边AB上时：
① 过P作PQ₁⊥BC于Q₁，此时∠PQ₁B=∠C=90°，∠B为公共角，△BPQ₁∽△BAC；
② 过P作PQ₃⊥AC于Q₃，此时∠PQ₃A=∠C=90°，∠A为公共角，△APQ₃∽△ABC；
③ 过P作PQ₂⊥AB交BC于Q₂，此时∠APQ₂=∠C=90°，∠A为公共角，△APQ₂∽△ACB；
共3种剪法，故甲的说法正确。
2. 点P在直角边BC上时：
① 过P作PD//AB交AC于D，由平行性质得△PCD∽△BCA；
② 过P作PE//AC交AB于E，由平行性质得△BPE∽△BCA；
③ 过P作PF⊥AB于F，∠PFB=∠C=90°，∠B为公共角，△BFP∽△BCA；
④ 作∠CPG=∠A交AC于G，∠C为公共角，∠CPG=∠A，△GCP∽△BCA；
共4种剪法，故乙的说法错误。
3. 点P在直角边AC上时，与点P在BC上的情况同理，也有4种不同剪法，故丙的说法正确。
综上，说法正确的为甲、丙。
【答案】
甲、丙。提示：如图(1)，当点P在斜边AB上时有三种不同的剪法，即沿过点P分别垂直于BC、AB、AC的垂线剪，故甲的说法正确。
如图(2)，当点P在直角边BC上时有四种不同剪法，过点P作PD//AB，交AC于点D，则△PCD∽△BCA；过点P作PE//AC，交AB于点E，则△BPE∽△BCA；过点P作PF⊥AB，垂足为F，则△BFP∽△BCA；作∠CPG=∠A，交AC于点G，则△GCP∽△BCA。同理，点P在直角边AC上时，也有四种不同剪法，故乙的说法错误，丙的说法正确。
【知识点】
相似三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定的灵活运用，需要对动点位置分类讨论，解题时需注意不要遗漏符合条件的剪法，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合相似三角形的判定定理，按点P所在的边（斜边AB、直角边BC、直角边AC）分类讨论，逐一统计能剪出与△ABC相似的三角形的剪法数量，再对比三名同学的说法判断正误。判定可利用“两角对应相等的两个三角形相似”“平行于三角形一边的直线截另外两边所得的三角形与原三角形相似”这两个结论推导所有符合要求的剪法。
【解析】
1. 点P在斜边AB上时：
① 过P作PQ₁⊥BC于Q₁，此时∠PQ₁B=∠C=90°，∠B为公共角，△BPQ₁∽△BAC；
② 过P作PQ₃⊥AC于Q₃，此时∠PQ₃A=∠C=90°，∠A为公共角，△APQ₃∽△ABC；
③ 过P作PQ₂⊥AB交BC于Q₂，此时∠APQ₂=∠C=90°，∠A为公共角，△APQ₂∽△ACB；
共3种剪法，故甲的说法正确。
2. 点P在直角边BC上时：
① 过P作PD//AB交AC于D，由平行性质得△PCD∽△BCA；
② 过P作PE//AC交AB于E，由平行性质得△BPE∽△BCA；
③ 过P作PF⊥AB于F，∠PFB=∠C=90°，∠B为公共角，△BFP∽△BCA；
④ 作∠CPG=∠A交AC于G，∠C为公共角，∠CPG=∠A，△GCP∽△BCA；
共4种剪法，故乙的说法错误。
3. 点P在直角边AC上时，与点P在BC上的情况同理，也有4种不同剪法，故丙的说法正确。
综上，说法正确的为甲、丙。
【答案】
甲、丙。提示：如图(1)，当点P在斜边AB上时有三种不同的剪法，即沿过点P分别垂直于BC、AB、AC的垂线剪，故甲的说法正确。
如图(2)，当点P在直角边BC上时有四种不同剪法，过点P作PD//AB，交AC于点D，则△PCD∽△BCA；过点P作PE//AC，交AB于点E，则△BPE∽△BCA；过点P作PF⊥AB，垂足为F，则△BFP∽△BCA；作∠CPG=∠A，交AC于点G，则△GCP∽△BCA。同理，点P在直角边AC上时，也有四种不同剪法，故乙的说法错误，丙的说法正确。
【知识点】
相似三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定的灵活运用，需要对动点位置分类讨论，解题时需注意不要遗漏符合条件的剪法，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
10 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ BAC = ∠ EDF = 90°$，$AB = 3$，$AC = 4$，$DE = 4$，$DF = 8$。点$M$在边$BC$上，点$N$在边$EF$上，$AM$分割$△ ABC$所得的两个三角形分别与$DN$分割$△ DEF$所得的两个三角形相似，那么线段$DN$的长是
4或$\dfrac{40}{11}$
。答案
10. 4或$\dfrac{40}{11}$. 提示：当∠CAM=∠F，∠FDN=∠C时，如图(1)所示，即△ACM∽△FDN，△ABM∽△EDN. 根据对应边成比例，得$\dfrac{CM}{DN}=\dfrac{AC}{FD}=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{BM}{DN}=\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{3}{4}$. 设$DN=x$，则$CM=\dfrac{1}{2}x$，$BM=\dfrac{3}{4}x$. 由$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{4}x=5$，得$x=4$，故$DN=4$.
当∠CAM=∠E，∠C=∠NDE时，如图(2)所示，即△ACM∽△EDN，△ABM∽△FDN. 根据对应边成比例，得$\dfrac{CM}{DN}=\dfrac{AC}{ED}=1$，$\dfrac{BM}{DN}=\dfrac{AB}{FD}=\dfrac{3}{8}$. 设$DN=x$，则$CM=x$，$BM=\dfrac{3}{8}x$. 由$x+\dfrac{3}{8}x=5$，得$x=\dfrac{40}{11}$，故$DN=\dfrac{40}{11}$.
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边BC长度为5。要使AM分割△ABC所得的两个三角形分别与DN分割△DEF所得的两个三角形相似，需分两种对应角匹配的情形讨论：一是∠CAM对应∠F、∠BAM对应∠E，二是∠CAM对应∠E、∠BAM对应∠F。再根据相似三角形对应边成比例的性质，分别用DN表示出CM和BM的长度，结合CM+BM=BC=5列方程求解，即可得到DN的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
分两种情况讨论：
1. 如图(1)，当$∠ CAM=∠ F$，$∠ FDN=∠ C$时，$△ ACM ∽ △ FDN$，$△ ABM ∽ △ EDN$。
由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AC}{FD}=\frac{CM}{DN}$，$\frac{AB}{ED}=\frac{BM}{DN}$，
代入$AC=4$，$FD=8$，$AB=3$，$ED=4$，得：
$CM=\frac{4}{8}DN=\frac{1}{2}DN$，$BM=\frac{3}{4}DN$。
$\because CM+BM=BC=5$，
$\therefore \frac{1}{2}DN+\frac{3}{4}DN=5$，
解得$DN=4$。
2. 如图(2)，当$∠ CAM=∠ E$，$∠ NDE=∠ C$时，$△ ACM ∽ △ EDN$，$△ ABM ∽ △ FDN$。
由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AC}{ED}=\frac{CM}{DN}$，$\frac{AB}{FD}=\frac{BM}{DN}$，
代入$AC=4$，$ED=4$，$AB=3$，$FD=8$，得：
$CM=\frac{4}{4}DN=DN$，$BM=\frac{3}{8}DN$。
$\because CM+BM=BC=5$，
$\therefore DN+\frac{3}{8}DN=5$，
解得$DN=\frac{40}{11}$。
【答案】
4或$\dfrac{40}{11}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是根据相似的对应关系分类讨论，避免漏解，结合线段和的关系建立方程求解，能锻炼学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.5
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边BC长度为5。要使AM分割△ABC所得的两个三角形分别与DN分割△DEF所得的两个三角形相似，需分两种对应角匹配的情形讨论：一是∠CAM对应∠F、∠BAM对应∠E，二是∠CAM对应∠E、∠BAM对应∠F。再根据相似三角形对应边成比例的性质，分别用DN表示出CM和BM的长度，结合CM+BM=BC=5列方程求解，即可得到DN的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
分两种情况讨论：
1. 如图(1)，当$∠ CAM=∠ F$，$∠ FDN=∠ C$时，$△ ACM ∽ △ FDN$，$△ ABM ∽ △ EDN$。
由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AC}{FD}=\frac{CM}{DN}$，$\frac{AB}{ED}=\frac{BM}{DN}$，
代入$AC=4$，$FD=8$，$AB=3$，$ED=4$，得：
$CM=\frac{4}{8}DN=\frac{1}{2}DN$，$BM=\frac{3}{4}DN$。
$\because CM+BM=BC=5$，
$\therefore \frac{1}{2}DN+\frac{3}{4}DN=5$，
解得$DN=4$。
2. 如图(2)，当$∠ CAM=∠ E$，$∠ NDE=∠ C$时，$△ ACM ∽ △ EDN$，$△ ABM ∽ △ FDN$。
由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AC}{ED}=\frac{CM}{DN}$，$\frac{AB}{FD}=\frac{BM}{DN}$，
代入$AC=4$，$ED=4$，$AB=3$，$FD=8$，得：
$CM=\frac{4}{4}DN=DN$，$BM=\frac{3}{8}DN$。
$\because CM+BM=BC=5$，
$\therefore DN+\frac{3}{8}DN=5$，
解得$DN=\frac{40}{11}$。
【答案】
4或$\dfrac{40}{11}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题的关键是根据相似的对应关系分类讨论，避免漏解，结合线段和的关系建立方程求解，能锻炼学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.5
