三、解答题
11. 如图，已知：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，点D在边BC上，且$AB· BC=AC· BD$。
求证：$∠ A=∠ DBC$。

11. 提示：△ABC∽△BDC.

【分析】
要证明∠A=∠DBC，观察可得两个角分别属于Rt△ABC和Rt△BDC，因此可通过证明两个三角形相似得到对应角相等。首先将题目给出的等积式转化为比例式，再结合两个三角形均为直角三角形的特点，利用直角三角形相似的判定定理证明两三角形相似，最后由相似三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ ∠C=90°，
∴ △ABC和△BDC均为直角三角形。
已知$AB·BC=AC·BD$，根据比例的基本性质，将等积式转化为比例式可得：
$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC}$
根据直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，可得：
$\mathrm{Rt}△ABC ∽ \mathrm{Rt}△BDC$
由相似三角形的对应角相等，可得：
$∠A=∠DBC$
【答案】
$∠A=∠DBC$，得证。
【知识点】
等积式与比例式互化、直角三角形相似判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是利用相似三角形证明角相等的基础题型，解题核心是通过等积式变形得到对应边的比例关系，结合公共直角判定三角形相似，进而推导对应角相等，要求熟练掌握相似三角形的判定和性质。
【难度系数】
0.7

12. 如图，已知$∠ B=∠ E=90°$，$AB=6$，$BF=3$，$CF=5$，$DE=15$，$DF=25$. 求证：$GF=GC$.

12. 提示：由$\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{AB}{DE}$，证得Rt△ABC∽Rt△DEF，故∠ACB=∠DFE，得GF=GC.

【分析】
要证明GF=GC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明∠ACB=∠DFE。观察图形可知∠ACB和∠DFE分别是Rt△ABC和Rt△DEF的内角，因此可通过证明两个直角三角形相似得到对应角相等。首先先计算Rt△ABC的斜边长度，再验证两个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，即可完成相似证明，最终推导出结论。
【解析】
证明：
1. 计算BC的长度：
∵ BF=3，CF=5，
∴ BC=BF+CF=3+5=8。
2. 求Rt△ABC的斜边AC：
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
3. 证明Rt△ABC∽Rt△DEF：
∵ $\frac{AB}{DE}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，
又
∵ ∠B=∠E=90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
4. 推导角相等，证明GF=GC：
由相似三角形的性质得∠ACB=∠DFE，
即∠GCF=∠GFC，
∴ GF=GC（等角对等边）。
【答案】
GF=GC
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是通过计算边长得到相似三角形的判定条件，再结合相似三角形性质和等腰三角形判定即可得出结论，主要考查学生的基础计算能力和几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7