13. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1. 如图(1)，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上.
（1）填空：$\frac{BC}{AC}=$；$∠ BCA=$.
（2）请在图(2)的两个3×3的正方形网格中分别画出与△ABC不全等的△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂，要求所画的三角形各顶点都在格点上，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂∽△ABC，且$B_1C_1:B_2C_2≠1$.

13. (1) $\dfrac{1}{2}$；$90°$.
(2) 如图，△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂分别为所求作的图形.

【分析】
（1）要求BC与AC的比值和∠BCA的度数，可先利用勾股定理计算△ABC三边的长度，再计算边长比值，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状得到角的度数。
（2）要绘制与△ABC相似且不全等的两个三角形，且两者对应边比值不为1，首先确定△ABC的特征：是直角三角形，直角边比为1:2，因此只要绘制两个直角边比为1:2、边长不同的格点直角三角形，即可满足相似、不全等、对应边比不为1的要求。
【解析】
（1）设网格中小正方形的边长为1：
① 由勾股定理得：
$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
因此$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$。
② 再计算AB的长度：$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
验证三边平方关系：$BC^2+AC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=5^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且直角为$∠ BCA$，即$∠ BCA=90°$。
（2）$△ ABC$为直角三角形，直角边比值为1:2，根据相似三角形的判定定理，只要格点三角形为直角三角形且直角边比为1:2，就与$△ ABC$相似：
绘制$△ A_1B_1C_1$：取直角顶点$C_1$，沿网格线取$B_1C_1=2$，$A_1C_1=1$，连接$A_1B_1$，此时直角边比为1:2，与$△ ABC$相似，且边长与原三角形不同，不全等；
绘制$△ A_2B_2C_2$：取直角顶点$C_2$，取$B_2C_2$为1×1小正方形的对角线（长度$\sqrt{2}$），$A_2C_2$为2×2正方形的对角线（长度$2\sqrt{2}$），连接$A_2B_2$，此时直角边比为1:2，与$△ ABC$相似，且$B_1C_1:B_2C_2≠1$，符合要求。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；$90°$
(2) 如图，$△ A_1B_1C_1$、$△ A_2B_2C_2$分别为所求作的图形.

【知识点】
勾股定理及逆定理；相似三角形判定；格点作图
【点评】
本题结合网格考查了几何计算与作图，既需要通过勾股定理计算边长、判定直角，又需要灵活运用相似三角形的性质构造符合要求的图形，对计算能力和空间作图能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

14 如图，已知：在梯形 ABCD 中，$AD // BC$，过点 B 作 $BE ⊥ AD$，垂足为 E，点 G 在边 AD 上，连接 BG、CG，对角线 AC 与 BE、BG 分别交于点 F、H，且 $AE · BG = AF · BE$.
（1）求证：$BG ⊥ AC$.
（2）如果 $∠ DGC = 2∠ DCG$，且 DC 是 DG 与 DA 的比例中项，求证：四边形 ABCG 是菱形.

14. (1) $\because \ BE⊥ AD,\therefore \ ∠ AEF=∠ BEG=90°$.
$\because \ AE· BG=AF· BE,\therefore \ \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{BE}{BG}$.
$\therefore \ \mathrm{Rt}△ AEF∽\mathrm{Rt}△ BEG$.
$\therefore \ ∠ EAF=∠ EBG$.
$\because \ ∠ AFB=∠ FAE+∠ FEA=∠ FBH+∠ FHB$,
$\therefore \ ∠ FHB=∠ FEA=90°$, 即 $BG⊥ AC$.
(2) $\because \ DC$ 是 DG 与 DA 的比例中项, $\therefore \ DC^2=DG· DA$, 即$\dfrac{DC}{DG}=\dfrac{DA}{DC}$.
$\because \ ∠ D=∠ D,\therefore \ △ DCA∽△ DGC$.
$\therefore \ ∠ DAC=∠ DCG$.
$\because \ ∠ DGC=2∠ DCG,∠ DGC=∠ DAC+∠ GCA,\therefore \ ∠ GAC=∠ GCA.\ \therefore \ GA=GC$.
$\because \ AD// BC,\therefore \ ∠ DAC=∠ ACB.\ \therefore \ ∠ BCH=∠ GCH$.
$\because \ BG⊥ AC,\therefore \ ∠ BHC=∠ GHC=90°$.
$\because \ CH=CH,\therefore \ △ CHB≌△ CHG$.
$\therefore \ BC=GC.\ \therefore \ BC=AG$.
$\because \ AD// BC,\therefore \ $ 四边形 ABCG 是平行四边形.
$\because \ GA=GC,\therefore \ $ 四边形 ABCG 是菱形.

【分析】
（1）要证$BG⊥AC$，即证夹角为$90°$。已知$BE⊥AD$可得直角三角形，先将已知乘积式转化为比例式，结合直角相等证明两个直角三角形相似，得到对应角相等，再利用三角形外角性质推导直角即可。
（2）要证四边形ABCG是菱形，先证其为平行四边形，再证邻边相等。首先由比例中项得到比例式，结合公共角证明三角形相似，得到对应角相等；再结合已知角的倍数关系推导等边，接着利用平行线的内错角相等、第一问的垂直结论证明三角形全等，得到边相等，进而推出一组对边平行且相等得到平行四边形，最后结合邻边相等证得菱形。
【解析】
(1) $\because \ BE⊥ AD,\therefore \ ∠ AEF=∠ BEG=90°$.
$\because \ AE· BG=AF· BE,\therefore \ \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{BE}{BG}$.
$\therefore \ \mathrm{Rt}△ AEF∽\mathrm{Rt}△ BEG$.
$\therefore \ ∠ EAF=∠ EBG$.
$\because \ ∠ AFB=∠ FAE+∠ FEA=∠ FBH+∠ FHB$,
$\therefore \ ∠ FHB=∠ FEA=90°$, 即 $BG⊥ AC$.
(2) $\because \ DC$ 是 DG 与 DA 的比例中项, $\therefore \ DC^2=DG· DA$, 即$\dfrac{DC}{DG}=\dfrac{DA}{DC}$.
$\because \ ∠ D=∠ D,\therefore \ △ DCA∽△ DGC$.
$\therefore \ ∠ DAC=∠ DCG$.
$\because \ ∠ DGC=2∠ DCG,∠ DGC=∠ DAC+∠ GCA,\therefore \ ∠ GAC=∠ GCA.\ \therefore \ GA=GC$.
$\because \ AD// BC,\therefore \ ∠ DAC=∠ ACB.\ \therefore \ ∠ BCH=∠ GCH$.
$\because \ BG⊥ AC,\therefore \ ∠ BHC=∠ GHC=90°$.
$\because \ CH=CH,\therefore \ △ CHB≌△ CHG$.
$\therefore \ BC=GC.\ \therefore \ BC=AG$.
$\because \ AD// BC,\therefore \ $ 四边形 ABCG 是平行四边形.
$\because \ GA=GC,\therefore \ $ 四边形 ABCG 是菱形.
【答案】
（1）$BG⊥AC$成立；
（2）四边形ABCG是菱形成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查了相似、全等以及特殊四边形的证明，解题核心是合理转化比例式，结合角的等量关系推导边的关系，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6