21. (10分)如图13,在△PAB中,C,D为AB边上的两个动点,PC=PD。
(1)若PC=CD,∠APB=120°,则△APC与△PBD相似吗?为什么?
(2)当∠CPD和∠APB满足怎样的数量关系时,△APC∽△PBD?请说明理由。

解：(1) $△ APC ∽ △ PBD$，理由如下：
$\because PC=PD$，$PC=CD$，
$\therefore PC=PD=CD$，即$△ PCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ PCD=∠ PDC=∠ CPD=60°$，
$\therefore ∠ ACP=180°-∠ PCD=120°$，$∠ PDB=180°-∠ PDC=120°$，
即$∠ ACP=∠ PDB$。
$\because ∠ APB=120°$，
$\therefore$ 在$△ PAB$中，$∠ A+∠ B=180°-∠ APB=60°$。
又$\because ∠ A+∠ APC=∠ PCD=60°$，
$\therefore ∠ APC=∠ B$，
$\therefore △ APC ∽ △ PBD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 当$2∠ APB - ∠ CPD=180°$时，$△ APC ∽ △ PBD$，理由如下：
$\because PC=PD$，
$\therefore ∠ PCD=∠ PDC$，
$\therefore ∠ ACP=180°-∠ PCD$，$∠ PDB=180°-∠ PDC$，
即$∠ ACP=∠ PDB$。
$\because 2∠ APB - ∠ CPD=180°$，
$\therefore ∠ APB=90°+\frac{1}{2}∠ CPD$，
$\therefore ∠ A+∠ B=180°-∠ APB=90°-\frac{1}{2}∠ CPD$。
在$△ PCD$中，$∠ CPD+2∠ PCD=180°$，
$\therefore ∠ PCD=90°-\frac{1}{2}∠ CPD$，
即$∠ A+∠ B=∠ PCD$。
又$\because ∠ A+∠ APC=∠ PCD$，
$\therefore ∠ APC=∠ B$，
$\therefore △ APC ∽ △ PBD$（两角分别相等的两个三角形相似）。

【分析】
(1) 要判断△APC和△PBD是否相似，优先采用两角分别相等的相似判定定理。首先由已知PC=PD=CD，可判定△PCD是等边三角形，得到相关角的度数，进而推出∠ACP=∠PDB；再结合∠APB=120°，利用三角形内角和与外角性质，推导得到另一组相等的角∠APC=∠B，即可证明相似。
(2) 已知PC=PD，可得∠PCD=∠PDC，因此∠ACP=∠PDB恒成立，要使△APC∽△PBD，只需再满足一组角相等（∠APC=∠B），据此通过角的和差关系反推∠CPD和∠APB的数量关系即可。
【解析】
(1) $△ APC ∽ △ PBD$，理由如下：
$\because PC=PD$，$PC=CD$，
$\therefore PC=PD=CD$，即$△ PCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ PCD=∠ PDC=∠ CPD=60°$，
$\therefore ∠ ACP=180°-∠ PCD=120°$，$∠ PDB=180°-∠ PDC=120°$，
即$∠ ACP=∠ PDB$。
$\because ∠ APB=120°$，
$\therefore$ 在$△ PAB$中，$∠ A+∠ B=180°-∠ APB=60°$。
又$\because ∠ A+∠ APC=∠ PCD=60°$，
$\therefore ∠ APC=∠ B$，
$\therefore △ APC ∽ △ PBD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 当$2∠ APB - ∠ CPD=180°$时，$△ APC ∽ △ PBD$，理由如下：
$\because PC=PD$，
$\therefore ∠ PCD=∠ PDC$，
$\therefore ∠ ACP=180°-∠ PCD$，$∠ PDB=180°-∠ PDC$，
即$∠ ACP=∠ PDB$。
$\because 2∠ APB - ∠ CPD=180°$，
$\therefore ∠ APB=90°+\frac{1}{2}∠ CPD$，
$\therefore ∠ A+∠ B=180°-∠ APB=90°-\frac{1}{2}∠ CPD$。
在$△ PCD$中，$∠ CPD+2∠ PCD=180°$，
$\therefore ∠ PCD=90°-\frac{1}{2}∠ CPD$，
即$∠ A+∠ B=∠ PCD$。
又$\because ∠ A+∠ APC=∠ PCD$，
$\therefore ∠ APC=∠ B$，
$\therefore △ APC ∽ △ PBD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $△ APC ∽ △ PBD$，理由见解析；
(2) 当$2∠ APB - ∠ CPD=180°$时，$△ APC ∽ △ PBD$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题围绕相似三角形的判定展开，结合等腰、等边三角形的性质考查角的等量代换能力，解题时既可以从已知条件正向推导结论，也可以从相似的要求反向推导所需的角的关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65

22. (10分)在“文博会”期间,某公司展销某种工艺品。已知该工艺品的成本是40元/件,如果以100元/件销售,那么每天可售出200件,另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2 000元。根据销售经验,如果将销售单价每降低1元,每天可多售出20件。请问:该公司每天所获利润能否达到22 500元?如果能,那么应该把销售单价定为多少元?如果不能,请说明理由。

解：设销售单价定为x元时，每天所获利润为22500元。
根据题意，每件工艺品的利润为$(x-40)$元，每日销售量为$200 + 20(100 - x)=(2200 - 20x)$件。
列方程得：
$(x - 40)(2200 - 20x) - 2000 = 22500$
整理得：
$x^2 - 150x + 5625 = 0$
因式分解得：
$(x - 75)^2 = 0$
解得：$x_1=x_2=75$，该结果符合实际意义。
答：该公司每天所获利润能达到22500元，应该把销售单价定为75元。

【分析】
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是明确利润相关的等量关系：总利润=（单件售价-单件成本）×销售量-其他固定费用。我们可以先设销售单价为x元，分别表示出单件利润、降价后的销售量，再根据目标利润22500元列出方程，求解后判断解是否符合实际意义即可得出结论。
【解析】
解：设销售单价定为x元时，每天所获利润为22500元。
由题意得，每件工艺品的利润为$(x - 40)$元；
销售单价比100元降低了$(100 - x)$元，因此每日销售量为$200 + 20(100 - x) = 2200 - 20x$件。
根据总利润的等量关系列方程：
$(x - 40)(2200 - 20x) - 2000 = 22500$
整理方程：
展开左边得$2200x - 20x^2 - 88000 + 800x - 2000 = 22500$
合并同类项得$-20x^2 + 3000x - 90000 = 22500$
移项并两边同时除以-20得$x^2 - 150x + 5625 = 0$
因式分解得$(x - 75)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = 75$，该结果符合销售的实际意义。
答：该公司每天所获利润能达到22500元，应该把销售单价定为75元。
【答案】
该公司每天所获利润能达到22500元，应该把销售单价定为75元。
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润问题；因式分解法解方程
【点评】
本题为典型的销售类应用题，解题关键是找准总利润的计算逻辑，正确用含未知数的式子表示出单件利润和销售量，列方程求解后注意验证解是否符合实际场景，这类题型是应用题的常考方向。
【难度系数】
0.7