登录
18.(9分)老师上完“相似三角形的判定”一课后,出了如下一道思考题:如图11,在四边形ABCD中,AD//BC,对角线AC,BD相交于点O,△AOB和△DOC是否相似?
某学生的解答过程:△AOB∽△DOC。理由:在△AOB和△DOC中,∵ AD//BC,∴ △AOD∽△COB。∴ $\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$。又∵ ∠AOB=∠DOC,∴ △AOB∽△DOC。
该学生的解答是否正确?若不正确,请说明理由。
某学生的解答过程:△AOB∽△DOC。理由:在△AOB和△DOC中,∵ AD//BC,∴ △AOD∽△COB。∴ $\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$。又∵ ∠AOB=∠DOC,∴ △AOB∽△DOC。
该学生的解答是否正确?若不正确,请说明理由。
答案
解：该学生的解答不正确。
理由：由$AD// BC$，可得$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，因此$△ AOD ∽ △ COB$，得到对应边比例关系$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，变形可得$AO· OB = OC· OD$，即$\frac{AO}{OD}=\frac{OC}{OB}$。
若要通过“两边对应成比例且夹角相等”判定$△ AOB ∽ △ DOC$，需要相等的夹角$∠ AOB$和$∠ DOC$的两组邻边满足$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}$，该学生推导得到的比例式无法推出上述对应边成比例的关系，边的对应关系错误，因此不能判定$△ AOB$和$△ DOC$相似，一般情况下$△ AOB$与$△ DOC$不相似。
理由：由$AD// BC$，可得$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，因此$△ AOD ∽ △ COB$，得到对应边比例关系$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，变形可得$AO· OB = OC· OD$，即$\frac{AO}{OD}=\frac{OC}{OB}$。
若要通过“两边对应成比例且夹角相等”判定$△ AOB ∽ △ DOC$，需要相等的夹角$∠ AOB$和$∠ DOC$的两组邻边满足$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}$，该学生推导得到的比例式无法推出上述对应边成比例的关系，边的对应关系错误，因此不能判定$△ AOB$和$△ DOC$相似，一般情况下$△ AOB$与$△ DOC$不相似。
解析
【分析】
要判断学生的解答是否正确，首先明确相似三角形“两边对应成比例且夹角相等”的判定规则：需满足夹角相等，且夹角的两组邻边对应成比例。首先验证学生第一步推导：由AD//BC推出△AOD∽△COB是正确的，接下来对比所需比例和学生推导的比例：△AOB中∠AOB的邻边是AO、OB，△DOC中∠DOC的邻边是DO、OC，判定相似需要比例$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}$，但学生推导得到的比例为$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，变形后与所需比例不符，对应边匹配错误，因此学生解答错误。
【解析】
解：该学生的解答不正确，理由如下：
1. 由$AD// BC$，可得$∠OAD=∠OCB$，$∠ODA=∠OBC$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证$△ AOD ∽ △ COB$，因此得到对应边成比例：$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，交叉相乘变形可得$\frac{AO}{OD}=\frac{OC}{OB}$。
2. 若要使用“两边对应成比例且夹角相等”判定$△ AOB ∽ △ DOC$，已知对顶角$∠AOB=∠DOC$，需要该夹角的两组邻边对应成比例，即$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}$。
3. 推导得到的比例$\frac{AO}{OD}=\frac{OC}{OB}$与判定需要的比例不符，边的对应关系错误，因此无法判定$△ AOB$和$△ DOC$相似。
【答案】
该学生的解答不正确。由$AD// BC$，可得$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，因此$△ AOD ∽ △ COB$，得到对应边比例关系$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，变形可得$AO· OB = OC· OD$，即$\frac{AO}{OD}=\frac{OC}{OB}$。若要通过“两边对应成比例且夹角相等”判定$△ AOB ∽ △ DOC$，需要相等的夹角$∠ AOB$和$∠ DOC$的两组邻边满足$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}$，该学生推导得到的比例式无法推出上述对应边成比例的关系，边的对应关系错误，因此不能判定$△ AOB$和$△ DOC$相似，一般情况下$△ AOB$与$△ DOC$不相似。
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；比例的基本性质
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定定理的准确应用，核心易错点是混淆相似三角形的边的对应关系，解题时要注意“两边成比例且夹角相等”中的两边必须是相等夹角的两组邻边，对应关系不能出错，避免因对应边错配得出错误结论。
【难度系数】
0.6
要判断学生的解答是否正确，首先明确相似三角形“两边对应成比例且夹角相等”的判定规则：需满足夹角相等，且夹角的两组邻边对应成比例。首先验证学生第一步推导：由AD//BC推出△AOD∽△COB是正确的，接下来对比所需比例和学生推导的比例：△AOB中∠AOB的邻边是AO、OB，△DOC中∠DOC的邻边是DO、OC，判定相似需要比例$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}$，但学生推导得到的比例为$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，变形后与所需比例不符，对应边匹配错误，因此学生解答错误。
【解析】
解：该学生的解答不正确，理由如下：
1. 由$AD// BC$，可得$∠OAD=∠OCB$，$∠ODA=∠OBC$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证$△ AOD ∽ △ COB$，因此得到对应边成比例：$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，交叉相乘变形可得$\frac{AO}{OD}=\frac{OC}{OB}$。
2. 若要使用“两边对应成比例且夹角相等”判定$△ AOB ∽ △ DOC$，已知对顶角$∠AOB=∠DOC$，需要该夹角的两组邻边对应成比例，即$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}$。
3. 推导得到的比例$\frac{AO}{OD}=\frac{OC}{OB}$与判定需要的比例不符，边的对应关系错误，因此无法判定$△ AOB$和$△ DOC$相似。
【答案】
该学生的解答不正确。由$AD// BC$，可得$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，因此$△ AOD ∽ △ COB$，得到对应边比例关系$\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB}$，变形可得$AO· OB = OC· OD$，即$\frac{AO}{OD}=\frac{OC}{OB}$。若要通过“两边对应成比例且夹角相等”判定$△ AOB ∽ △ DOC$，需要相等的夹角$∠ AOB$和$∠ DOC$的两组邻边满足$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}$，该学生推导得到的比例式无法推出上述对应边成比例的关系，边的对应关系错误，因此不能判定$△ AOB$和$△ DOC$相似，一般情况下$△ AOB$与$△ DOC$不相似。
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；比例的基本性质
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定定理的准确应用，核心易错点是混淆相似三角形的边的对应关系，解题时要注意“两边成比例且夹角相等”中的两边必须是相等夹角的两组邻边，对应关系不能出错，避免因对应边错配得出错误结论。
【难度系数】
0.6
19. (9分)如图12,延长矩形ABCD的边BC至点E,使$CE=BD$,连接AE,如果$∠ADB=60°$,求$∠E$的度数。
答案
解：连接AC，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BE，AC=BD，
∴ ∠DBC=∠ADB=60°，
∵ 矩形对角线相等，可得△ABC≌△DCB，
∴ ∠ACB=∠DBC=60°，
∵ CE=BD，
∴ AC=CE，
∴ ∠E=∠CAE，
∵ ∠ACB是△ACE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
即2∠E=60°，
∴ ∠E=30°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BE，AC=BD，
∴ ∠DBC=∠ADB=60°，
∵ 矩形对角线相等，可得△ABC≌△DCB，
∴ ∠ACB=∠DBC=60°，
∵ CE=BD，
∴ AC=CE，
∴ ∠E=∠CAE，
∵ ∠ACB是△ACE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
即2∠E=60°，
∴ ∠E=30°。
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，已知矩形ABCD和CE=BD，要求∠E的度数，我们可以从矩形的性质入手：矩形的对角线相等，因此可作辅助线连接AC，将BD转化为AC，得到AC=CE，即可推出△ACE是等腰三角形，∠E=∠CAE；接下来结合已知∠ADB=60°，利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，再结合矩形对角线的性质求出∠ACB的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠E的度数。
【解析】
解：连接AC，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BE，AC=BD，
∴ ∠DBC=∠ADB=60°，
∵ 矩形对角线相等，易证△ABC≌△DCB，
∴ ∠ACB=∠DBC=60°，
∵ CE=BD，
∴ AC=CE，
∴ ∠E=∠CAE，
∵ ∠ACB是△ACE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
即2∠E=60°，
解得∠E=30°。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线AC，将已知的线段相等关系转化为等腰三角形的边相等关系，再结合平行线、三角形外角的性质建立角的等量关系求解，是对几何基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题目条件，已知矩形ABCD和CE=BD，要求∠E的度数，我们可以从矩形的性质入手：矩形的对角线相等，因此可作辅助线连接AC，将BD转化为AC，得到AC=CE，即可推出△ACE是等腰三角形，∠E=∠CAE；接下来结合已知∠ADB=60°，利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，再结合矩形对角线的性质求出∠ACB的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠E的度数。
【解析】
解：连接AC，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BE，AC=BD，
∴ ∠DBC=∠ADB=60°，
∵ 矩形对角线相等，易证△ABC≌△DCB，
∴ ∠ACB=∠DBC=60°，
∵ CE=BD，
∴ AC=CE，
∴ ∠E=∠CAE，
∵ ∠ACB是△ACE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
即2∠E=60°，
解得∠E=30°。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线AC，将已知的线段相等关系转化为等腰三角形的边相等关系，再结合平行线、三角形外角的性质建立角的等量关系求解，是对几何基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
20. (9分)关于x的方程$mx^2+(m+2)x+\frac{m}{4}=0$有两个不相等的实数根。
(1)求m的取值范围。
(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根的倒数的和等于0?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
(1)求m的取值范围。
(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根的倒数的和等于0?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
答案
解：
(1) 因为方程有两个不相等的实数根，
所以该方程为一元二次方程，即$m ≠ 0$，且判别式$\Delta ＞ 0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(m+2)^2 - 4 · m · \frac{m}{4}\\&=m^2+4m+4 - m^2\\&=4m+4\end{aligned}$
由$\Delta＞0$得$4m+4＞0$，解得$m＞-1$。
综上，$m$的取值范围是$m＞-1$且$m ≠ 0$。
(2) 不存在符合条件的实数$m$，理由如下：
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{m+2}{m}, \quad x_1x_2=\frac{\frac{m}{4}}{m}=\frac{1}{4}$
若两个实数根的倒数和等于0，即$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0$，变形得：
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=0$
将$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入得：
$\frac{-\frac{m+2}{m}}{\frac{1}{4}}=0$
化简得$-\frac{m+2}{m}=0$，解得$m=-2$。
由(1)可知，$m＞-1$且$m ≠ 0$，$m=-2$不在该取值范围内，此时$\Delta=4×(-2)+4=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
因此不存在实数$m$，使方程的两个实数根的倒数的和等于0。
(1) 因为方程有两个不相等的实数根，
所以该方程为一元二次方程，即$m ≠ 0$，且判别式$\Delta ＞ 0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(m+2)^2 - 4 · m · \frac{m}{4}\\&=m^2+4m+4 - m^2\\&=4m+4\end{aligned}$
由$\Delta＞0$得$4m+4＞0$，解得$m＞-1$。
综上，$m$的取值范围是$m＞-1$且$m ≠ 0$。
(2) 不存在符合条件的实数$m$，理由如下：
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{m+2}{m}, \quad x_1x_2=\frac{\frac{m}{4}}{m}=\frac{1}{4}$
若两个实数根的倒数和等于0，即$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0$，变形得：
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=0$
将$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入得：
$\frac{-\frac{m+2}{m}}{\frac{1}{4}}=0$
化简得$-\frac{m+2}{m}=0$，解得$m=-2$。
由(1)可知，$m＞-1$且$m ≠ 0$，$m=-2$不在该取值范围内，此时$\Delta=4×(-2)+4=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
因此不存在实数$m$，使方程的两个实数根的倒数的和等于0。
解析
【分析】
(1) 已知方程有两个不相等的实数根，首先可判断该方程为一元二次方程，因此二次项系数m不能为0；其次一元二次方程有两个不相等实根需满足判别式Δ＞0，计算判别式并解不等式，结合m≠0的条件即可得到m的取值范围。
(2) 假设存在符合条件的m，先设方程的两根为$x_1$、$x_2$，将“两个实数根的倒数和为0”通分变形为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，再利用根与系数的关系写出两根和、两根积关于m的表达式，代入变形后的式子求解m的值，最后检验所求m是否满足第(1)问的取值范围，若在范围内则存在，反之则不存在。
【解析】
(1) 因为方程有两个不相等的实数根，
所以该方程为一元二次方程，即$m ≠ 0$，且判别式$\Delta ＞ 0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(m+2)^2 - 4 · m · \frac{m}{4}\\&=m^2+4m+4 - m^2\\&=4m+4\end{aligned}$
由$\Delta＞0$得$4m+4＞0$，解得$m＞-1$。
综上，$m$的取值范围是$m＞-1$且$m ≠ 0$。
(2) 不存在符合条件的实数$m$，理由如下：
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{m+2}{m}, \quad x_1x_2=\frac{\frac{m}{4}}{m}=\frac{1}{4}$
若两个实数根的倒数和等于0，即$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0$，变形得：
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=0$
将$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入得：
$\frac{-\frac{m+2}{m}}{\frac{1}{4}}=0$
化简得$-\frac{m+2}{m}=0$，解得$m=-2$。
由(1)可知，$m＞-1$且$m ≠ 0$，$m=-2$不在该取值范围内，此时$\Delta=4×(-2)+4=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
因此不存在实数$m$，使方程的两个实数根的倒数的和等于0。
【答案】
(1) $m＞-1$且$m≠0$；
(2) 不存在符合条件的实数$m$，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，解题时需注意“方程有两个不相等实数根”隐含了二次项系数不为0的条件，求解存在性问题时要将求出的参数值代回原方程的成立条件中检验，避免忽略前提导致错解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知方程有两个不相等的实数根，首先可判断该方程为一元二次方程，因此二次项系数m不能为0；其次一元二次方程有两个不相等实根需满足判别式Δ＞0，计算判别式并解不等式，结合m≠0的条件即可得到m的取值范围。
(2) 假设存在符合条件的m，先设方程的两根为$x_1$、$x_2$，将“两个实数根的倒数和为0”通分变形为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，再利用根与系数的关系写出两根和、两根积关于m的表达式，代入变形后的式子求解m的值，最后检验所求m是否满足第(1)问的取值范围，若在范围内则存在，反之则不存在。
【解析】
(1) 因为方程有两个不相等的实数根，
所以该方程为一元二次方程，即$m ≠ 0$，且判别式$\Delta ＞ 0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(m+2)^2 - 4 · m · \frac{m}{4}\\&=m^2+4m+4 - m^2\\&=4m+4\end{aligned}$
由$\Delta＞0$得$4m+4＞0$，解得$m＞-1$。
综上，$m$的取值范围是$m＞-1$且$m ≠ 0$。
(2) 不存在符合条件的实数$m$，理由如下：
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{m+2}{m}, \quad x_1x_2=\frac{\frac{m}{4}}{m}=\frac{1}{4}$
若两个实数根的倒数和等于0，即$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0$，变形得：
$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=0$
将$x_1+x_2$和$x_1x_2$代入得：
$\frac{-\frac{m+2}{m}}{\frac{1}{4}}=0$
化简得$-\frac{m+2}{m}=0$，解得$m=-2$。
由(1)可知，$m＞-1$且$m ≠ 0$，$m=-2$不在该取值范围内，此时$\Delta=4×(-2)+4=-4＜0$，方程没有实数根，不符合要求。
因此不存在实数$m$，使方程的两个实数根的倒数的和等于0。
【答案】
(1) $m＞-1$且$m≠0$；
(2) 不存在符合条件的实数$m$，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，解题时需注意“方程有两个不相等实数根”隐含了二次项系数不为0的条件，求解存在性问题时要将求出的参数值代回原方程的成立条件中检验，避免忽略前提导致错解。
【难度系数】
0.6
