23. (11分)如图14①,在正方形ABCD外侧作直线AP,顶点B关于直线AP的对称点为点E,连接BE,AE,DE,DE交直线AP于点F。

(1)①写出图中所有的等腰三角形:;
②当∠PAB=20°时,∠AED的度数为。
(2)如图14②,当45°＜∠PAB＜90°时:
①猜想∠AED与∠PAB之间的数量关系,并证明;
②猜想线段EF,DF和AB之间的数量关系,直接写出结论。

解：
(1)① $△ ABE$，$△ ADE$
② $25°$
(2)① 猜想：$∠ AED = ∠ PAB - 45°$，证明如下：
∵ 点$B$关于直线$AP$的对称点为点$E$，
∴ $AE=AB$，$∠ EAP=∠ PAB$，
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
∴ $AE=AD$，即$△ AED$为等腰三角形。
设$∠ PAB=α$，则$∠ EAP=α$，
∴ $∠ BAE=∠ EAP+∠ PAB=2α$，
∴ $∠ EAD=360°-∠ BAE-∠ BAD=360°-2α-90°=270°-2α$，
∴ $∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ EAD)=\frac{1}{2}[180°-(270°-2α)]=α-45°$，
即$∠ AED=∠ PAB-45°$。
② $EF^2 + DF^2 = 2AB^2$

【分析】
（1）①找等腰三角形需结合已知条件推导相等的边：首先根据轴对称性质，点B与E关于AP对称，可得AE=AB，因此△ABE是等腰三角形；再结合正方形AB=AD的性质，可推得AE=AD，因此△ADE也是等腰三角形。②求∠AED的度数，先由对称得∠EAP=∠PAB=20°，算出∠EAB=40°，结合正方形∠BAD=90°得到∠EAD的度数，再利用等腰三角形内角和性质计算底角即可。
（2）①推导∠AED和∠PAB的数量关系，可设∠PAB为α，由对称性质得∠EAP=α、AE=AB，结合正方形AB=AD得AE=AD，先表示出∠EAD的度数，再用等腰三角形内角和推导∠AED的表达式即可。②推导线段数量关系时，可连接BF，由对称得EF=BF，再推导得∠BFD=90°，结合勾股定理和正方形对角线的性质即可得到结论。
【解析】
(1) ①
∵点B关于直线AP的对称点为E，
∴AE=AB，△ABE为等腰三角形；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴AE=AD，△ADE为等腰三角形。
② 当∠PAB=20°时，由对称性质得∠EAP=∠PAB=20°，
∴∠EAB=20°+20°=40°，
∵正方形ABCD中∠BAD=90°，
∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=40°+90°=130°，
又
∵AE=AD，
∴$∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ EAD)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$。
(2) ① 猜想：$∠ AED = ∠ PAB - 45°$，证明如下：
∵点B关于直线AP的对称点为点E，
∴$AE=AB$，$∠ EAP=∠ PAB$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
∴$AE=AD$，即$△ AED$为等腰三角形。
设$∠ PAB=α$，则$∠ EAP=α$，
∴$∠ BAE=∠ EAP+∠ PAB=2α$，
∴$∠ EAD=360°-∠ BAE-∠ BAD=360°-2α-90°=270°-2α$，
∴$∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ EAD)=\frac{1}{2}[180°-(270°-2α)]=α-45°$，
即$∠ AED=∠ PAB-45°$。
② 线段数量关系：$EF^2 + DF^2 = 2AB^2$。
【答案】
(1)①$△ ABE$，$△ ADE$；②$25°$
(2)①$∠ AED = ∠ PAB - 45°$；②$EF^2 + DF^2 = 2AB^2$
【知识点】
轴对称的性质；正方形的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将轴对称、正方形、等腰三角形的性质结合考查，解题核心是利用轴对称性质得到相等的边和角，再结合三角形内角和、勾股定理推导结论，对几何逻辑推理能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.6