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6. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ B = 90°, AB = 12\ \mathrm{mm}, BC = 24\ \mathrm{mm}$, 动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $AB$ 向点 $B$ 以 $2\ \mathrm{mm/s}$ 的速度移动, 动点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $BC$ 向点 $C$ 以 $4\ \mathrm{mm/s}$ 的速度移动. 如果 $P, Q$ 两点分别从 $A, B$ 两点同时出发, 那么 $△ PBQ$ 的面积 $S$ 随出发时间 $t$ 如何变化? 写出 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式及 $t$ 的取值范围.
答案
$S = - 4t^2 + 24t(0 ＜ t ＜ 6)$
解析
【分析】
这是动点结合二次函数的应用题，解题思路如下：第一步，先根据动点的运动速度和时间t，分别表示出△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第二步，结合直角三角形的面积公式，代入两条直角边长即可推导面积S和t的函数关系；第三步，根据动点的运动边界（P未到达B、Q未到达C），确定t的取值范围即可。
【解析】
设出发时间为$ t $秒，由题意得：
动点P的运动路程$ AP=2t\ \mathrm{mm} $，因此$ PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{mm} $；
动点Q的运动路程$ BQ=4t\ \mathrm{mm} $；
∵$ ∠ B=90° $，△PBQ是直角三角形，
∴它的面积$ S=\frac{1}{2} × PB × BQ $，代入边长得：
$ S=\frac{1}{2} × (12-2t) × 4t $
化简得：$ S=-4t^2+24t $
接下来确定t的取值范围：
∵P在AB上运动，Q在BC上运动，两点到达端点后停止，
∴$ \begin{cases} t＞0 \\ 12-2t＞0 \\ 4t＜24 \end{cases} $，解得$ 0＜t＜6 $。
【答案】
$ S = - 4t^2 + 24t(0 ＜ t ＜ 6) $
【知识点】
二次函数实际应用；动点问题；直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用型题目，核心是用含时间t的代数式表示出相关线段的长度，再结合几何公式推导函数关系，解题时要注意结合实际运动场景确定自变量的取值范围，避免漏写范围导致错误。
【难度系数】
0.7
这是动点结合二次函数的应用题，解题思路如下：第一步，先根据动点的运动速度和时间t，分别表示出△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第二步，结合直角三角形的面积公式，代入两条直角边长即可推导面积S和t的函数关系；第三步，根据动点的运动边界（P未到达B、Q未到达C），确定t的取值范围即可。
【解析】
设出发时间为$ t $秒，由题意得：
动点P的运动路程$ AP=2t\ \mathrm{mm} $，因此$ PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{mm} $；
动点Q的运动路程$ BQ=4t\ \mathrm{mm} $；
∵$ ∠ B=90° $，△PBQ是直角三角形，
∴它的面积$ S=\frac{1}{2} × PB × BQ $，代入边长得：
$ S=\frac{1}{2} × (12-2t) × 4t $
化简得：$ S=-4t^2+24t $
接下来确定t的取值范围：
∵P在AB上运动，Q在BC上运动，两点到达端点后停止，
∴$ \begin{cases} t＞0 \\ 12-2t＞0 \\ 4t＜24 \end{cases} $，解得$ 0＜t＜6 $。
【答案】
$ S = - 4t^2 + 24t(0 ＜ t ＜ 6) $
【知识点】
二次函数实际应用；动点问题；直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用型题目，核心是用含时间t的代数式表示出相关线段的长度，再结合几何公式推导函数关系，解题时要注意结合实际运动场景确定自变量的取值范围，避免漏写范围导致错误。
【难度系数】
0.7
1. 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象是
一条直线
；当$k＞0$时，图象必过一、三
象限，$y$随$x$的增大而增大
；当$k＜0$时，图象必过二、四
象限，$y$随$x$的增大而减小
。答案
1. 一条直线；一、三；增大；二、四；减小
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数的基础性质：①首先明确一次函数的图象形状，这是基础知识点；②再分析一次项系数k的正负对图象的影响：k决定直线的倾斜方向，也决定了直线必定经过的象限以及函数的增减性，注意本题问的是“必过”的象限，不受常数项b的影响，只需根据k的正负判断即可。
【解析】
1. 根据一次函数的图象定义，$y=kx+b(k≠0)$的图象是一条直线；
2. 当$k＞0$时，直线从左到右呈上升趋势，无论$b$取何值，图象必然经过第一、三象限，此时$y$随$x$的增大而增大；
3. 当$k＜0$时，直线从左到右呈下降趋势，无论$b$取何值，图象必然经过第二、四象限，此时$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
一条直线；一、三；增大；二、四；减小
【知识点】
一次函数的图象；一次函数的增减性；一次函数的象限性质
【点评】
本题是对一次函数基础性质的直接考察，属于概念类基础题，核心是掌握一次项系数k对函数图象和性质的影响，是学习后续函数相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆一次函数的基础性质：①首先明确一次函数的图象形状，这是基础知识点；②再分析一次项系数k的正负对图象的影响：k决定直线的倾斜方向，也决定了直线必定经过的象限以及函数的增减性，注意本题问的是“必过”的象限，不受常数项b的影响，只需根据k的正负判断即可。
【解析】
1. 根据一次函数的图象定义，$y=kx+b(k≠0)$的图象是一条直线；
2. 当$k＞0$时，直线从左到右呈上升趋势，无论$b$取何值，图象必然经过第一、三象限，此时$y$随$x$的增大而增大；
3. 当$k＜0$时，直线从左到右呈下降趋势，无论$b$取何值，图象必然经过第二、四象限，此时$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
一条直线；一、三；增大；二、四；减小
【知识点】
一次函数的图象；一次函数的增减性；一次函数的象限性质
【点评】
本题是对一次函数基础性质的直接考察，属于概念类基础题，核心是掌握一次项系数k对函数图象和性质的影响，是学习后续函数相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
2. 观察: ①$y=x^2$；②$y=\frac{1}{2-x^2}$；③$y=x(2-x)$；④$y=3x^2-(3x^2+2x-1)$；⑤$y=ax^2+bx+c$. 其中是二次函数的是
①③
.(填序号)答案
2. ①③
解析
【分析】
要判断所给函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：1. 函数表达式是整式；2. 化简后自变量的最高次数为2；3. 二次项系数不为0。解题时先对每个函数表达式进行化简，再对照三个标准逐一判断即可。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数，逐个分析如下：
①$y=x^2$：是整式，最高次数为2，二次项系数为1≠0，符合二次函数定义；
②$y=\frac{1}{2-x^2}$：分母含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式，不符合二次函数定义；
③$y=x(2-x)$：化简得$y=-x^2+2x$，是整式，最高次数为2，二次项系数为-1≠0，符合二次函数定义；
④$y=3x^2-(3x^2+2x-1)$：化简得$y=-2x+1$，最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
⑤$y=ax^2+bx+c$：未说明$a≠0$，若$a=0$则不是二次函数，不符合二次函数定义。
综上，是二次函数的为①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的定义，整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题的关键是掌握二次函数的判定条件，注意需先化简函数表达式再判断最高次数，同时不能忽略二次项系数不为0的隐含要求，还要区分整式函数和分式函数。
【难度系数】
0.8
要判断所给函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：1. 函数表达式是整式；2. 化简后自变量的最高次数为2；3. 二次项系数不为0。解题时先对每个函数表达式进行化简，再对照三个标准逐一判断即可。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数，逐个分析如下：
①$y=x^2$：是整式，最高次数为2，二次项系数为1≠0，符合二次函数定义；
②$y=\frac{1}{2-x^2}$：分母含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式，不符合二次函数定义；
③$y=x(2-x)$：化简得$y=-x^2+2x$，是整式，最高次数为2，二次项系数为-1≠0，符合二次函数定义；
④$y=3x^2-(3x^2+2x-1)$：化简得$y=-2x+1$，最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
⑤$y=ax^2+bx+c$：未说明$a≠0$，若$a=0$则不是二次函数，不符合二次函数定义。
综上，是二次函数的为①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的定义，整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题的关键是掌握二次函数的判定条件，注意需先化简函数表达式再判断最高次数，同时不能忽略二次项系数不为0的隐含要求，还要区分整式函数和分式函数。
【难度系数】
0.8
3. 一般地，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象叫作
抛物线
. 它们都有对称轴，抛物线与对称轴
的交点叫做抛物线的顶点. 顶点是抛物线的最高点
或最低点
.答案
3. 抛物线；对称轴；最高点；最低点
解析
【分析】
本题是二次函数基础概念识记类题目，解题时对应回忆教材中二次函数图象的相关定义即可：首先回忆二次函数图象的官方命名，其次回忆抛物线顶点的定义，最后结合抛物线开口的两种情况明确顶点的最值属性，依次对应填空即可。
【解析】
根据二次函数的基础定义：
1. 一般地，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象叫做抛物线；
2. 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点；
3. 当二次项系数$a＞0$时抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，因此顶点是抛物线的最高点或最低点。
【答案】
抛物线；对称轴；最高点；最低点
【知识点】
二次函数的图象，抛物线顶点概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察学生对二次函数图象相关基础定义的掌握情况，这类概念是学习二次函数图象性质、解决二次函数相关题型的基础，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
本题是二次函数基础概念识记类题目，解题时对应回忆教材中二次函数图象的相关定义即可：首先回忆二次函数图象的官方命名，其次回忆抛物线顶点的定义，最后结合抛物线开口的两种情况明确顶点的最值属性，依次对应填空即可。
【解析】
根据二次函数的基础定义：
1. 一般地，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象叫做抛物线；
2. 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点；
3. 当二次项系数$a＞0$时抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，因此顶点是抛物线的最高点或最低点。
【答案】
抛物线；对称轴；最高点；最低点
【知识点】
二次函数的图象，抛物线顶点概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察学生对二次函数图象相关基础定义的掌握情况，这类概念是学习二次函数图象性质、解决二次函数相关题型的基础，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
