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例2 (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式.
(2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式.
(2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式.
答案
(1) 圆柱表面积S=2πr²+2πr·r=4πr²，即S=4πr²（r＞0）
(2) 两年后销售量y=8(1-x)²，即y=8x²-16x+8（0＜x＜1）
(2) 两年后销售量y=8(1-x)²，即y=8x²-16x+8（0＜x＜1）
解析
【分析】
(1) 解第一问时，首先回忆圆柱表面积的组成：圆柱表面积=2个底面圆面积+侧面积。题中给出高等于底面半径，即h=r，我们只需要将h=r代入圆柱表面积公式，化简后即可得到S关于r的函数解析式，同时要注意半径是正数，需标注自变量r的取值范围。
(2) 解第二问时，属于平均下降率问题，规律为：原有量为a，平均下降率为x，经过n次下降后的量为$a(1-x)^n$。本题初始销售量是8万件，下降次数为2次，直接套用规律即可得到y关于x的函数解析式，还要注意下降率x的取值范围要符合实际意义。
【解析】
(1) 圆柱表面积公式为：$S=2S_{\mathrm{底}}+S_{\mathrm{侧}}$
其中底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，侧面积$S_{\mathrm{侧}}=2π r · h$
由题意得$h=r$，代入公式计算：
$S=2× π r^2 + 2π r · r=2π r^2+2π r^2=4π r^2$
半径为正数，故$r＞0$。
(2) 初始销售量为8万件，年平均下降率为x：
第1年下降后的销售量为$8(1-x)$万件
第2年在第1年的基础上再次下降x，因此两年后的销售量：
$y=8(1-x)·(1-x)=8(1-x)^2$
展开整理得$y=8x^2-16x+8$，下降率需满足$0＜x＜1$。
【答案】
(1) $S=4π r^2（r＞0）$
(2) $y=8(1-x)^2$，即$y=8x^2-16x+8（0＜x＜1）$
【知识点】
1.圆柱表面积计算
2.平均变化率问题
3.二次函数解析式书写
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，分别结合几何公式和实际销售场景出题，既考查对基础公式、规律的掌握程度，也提醒学生求解函数解析式时要结合实际意义确定自变量的取值范围，是巩固二次函数概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 解第一问时，首先回忆圆柱表面积的组成：圆柱表面积=2个底面圆面积+侧面积。题中给出高等于底面半径，即h=r，我们只需要将h=r代入圆柱表面积公式，化简后即可得到S关于r的函数解析式，同时要注意半径是正数，需标注自变量r的取值范围。
(2) 解第二问时，属于平均下降率问题，规律为：原有量为a，平均下降率为x，经过n次下降后的量为$a(1-x)^n$。本题初始销售量是8万件，下降次数为2次，直接套用规律即可得到y关于x的函数解析式，还要注意下降率x的取值范围要符合实际意义。
【解析】
(1) 圆柱表面积公式为：$S=2S_{\mathrm{底}}+S_{\mathrm{侧}}$
其中底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，侧面积$S_{\mathrm{侧}}=2π r · h$
由题意得$h=r$，代入公式计算：
$S=2× π r^2 + 2π r · r=2π r^2+2π r^2=4π r^2$
半径为正数，故$r＞0$。
(2) 初始销售量为8万件，年平均下降率为x：
第1年下降后的销售量为$8(1-x)$万件
第2年在第1年的基础上再次下降x，因此两年后的销售量：
$y=8(1-x)·(1-x)=8(1-x)^2$
展开整理得$y=8x^2-16x+8$，下降率需满足$0＜x＜1$。
【答案】
(1) $S=4π r^2（r＞0）$
(2) $y=8(1-x)^2$，即$y=8x^2-16x+8（0＜x＜1）$
【知识点】
1.圆柱表面积计算
2.平均变化率问题
3.二次函数解析式书写
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，分别结合几何公式和实际销售场景出题，既考查对基础公式、规律的掌握程度，也提醒学生求解函数解析式时要结合实际意义确定自变量的取值范围，是巩固二次函数概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
1. 观察式子:①$y=6x^2$;②$y=-2x^2+30x$;③$y=200x^2+400x+200$. 在这三个式子中,虽然函数有一项的、两项的和三项的,但自变量的最高次项的次数都是
2
次. 一般地,形如$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数,$a≠0$)的函数,叫作二次函数
.答案
1. 2 次，二次函数
解析
【分析】
解题时先观察给出的三个函数表达式，分别找出每个表达式中自变量x的最高次项，判断其次数即可得到第一个空的答案；再结合所学的函数定义，对应题目给出的一般形式，就能填出第二个空。
【解析】
首先分析三个式子的最高次项次数：
1. 式子①$y=6x^2$的最高次项为$6x^2$，自变量$x$的次数为2；
2. 式子②$y=-2x^2+30x$的最高次项为$-2x^2$，自变量$x$的次数为2；
3. 式子③$y=200x^2+400x+200$的最高次项为$200x^2$，自变量$x$的次数为2；
因此三个式子自变量的最高次项的次数都是2次。
再根据函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数，叫作二次函数，因此第二个空填二次函数。
【答案】
2；二次函数
【知识点】
1.二次函数的定义
2.单项式次数的判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对二次函数基本特征和定义的识记与理解，掌握二次函数“最高次为2次、二次项系数不为0”的核心特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先观察给出的三个函数表达式，分别找出每个表达式中自变量x的最高次项，判断其次数即可得到第一个空的答案；再结合所学的函数定义，对应题目给出的一般形式，就能填出第二个空。
【解析】
首先分析三个式子的最高次项次数：
1. 式子①$y=6x^2$的最高次项为$6x^2$，自变量$x$的次数为2；
2. 式子②$y=-2x^2+30x$的最高次项为$-2x^2$，自变量$x$的次数为2；
3. 式子③$y=200x^2+400x+200$的最高次项为$200x^2$，自变量$x$的次数为2；
因此三个式子自变量的最高次项的次数都是2次。
再根据函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数，叫作二次函数，因此第二个空填二次函数。
【答案】
2；二次函数
【知识点】
1.二次函数的定义
2.单项式次数的判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对二次函数基本特征和定义的识记与理解，掌握二次函数“最高次为2次、二次项系数不为0”的核心特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 把$y=(2-3x)(6+x)$变成一般式为
y=-3x²-16x+12
，其中二次项系数为-3
，一次项系数为-16
，常数项为12
。答案
2. 一般式为y=-3x²-16x+12，二次项系数为-3，一次项系数为-16，常数项为12
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确二次函数一般式的结构为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）。解题思路为：第一步利用多项式乘多项式的法则将原式的括号展开，第二步合并同类项，整理为按$x$降幂排列的一般形式，第三步根据一般式对应找出二次项系数、一次项系数和常数项，注意各项系数要包含前面的符号。
【解析】
首先展开原式的乘积项：
$\begin{aligned}y&=(2-3x)(6+x)\\&=2×6 + 2× x - 3x×6 - 3x× x\\&=12 + 2x - 18x - 3x^2\end{aligned}$
合并同类项，将一次项合并：$2x-18x=-16x$，按降幂排列得到二次函数一般式：$y=-3x^2-16x+12$。
根据一般式判断：
二次项为$-3x^2$，系数为$-3$；
一次项为$-16x$，系数为$-16$；
常数项为不含未知数的项，为$12$。
【答案】
$y=-3x²-16x+12$；$-3$；$-16$；$12$
【知识点】
二次函数的一般式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数一般式的化简，解题时要注意多项式乘法运算不要漏乘项，合并同类项、确定各项系数时要注意正负符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确二次函数一般式的结构为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）。解题思路为：第一步利用多项式乘多项式的法则将原式的括号展开，第二步合并同类项，整理为按$x$降幂排列的一般形式，第三步根据一般式对应找出二次项系数、一次项系数和常数项，注意各项系数要包含前面的符号。
【解析】
首先展开原式的乘积项：
$\begin{aligned}y&=(2-3x)(6+x)\\&=2×6 + 2× x - 3x×6 - 3x× x\\&=12 + 2x - 18x - 3x^2\end{aligned}$
合并同类项，将一次项合并：$2x-18x=-16x$，按降幂排列得到二次函数一般式：$y=-3x^2-16x+12$。
根据一般式判断：
二次项为$-3x^2$，系数为$-3$；
一次项为$-16x$，系数为$-16$；
常数项为不含未知数的项，为$12$。
【答案】
$y=-3x²-16x+12$；$-3$；$-16$；$12$
【知识点】
二次函数的一般式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数一般式的化简，解题时要注意多项式乘法运算不要漏乘项，合并同类项、确定各项系数时要注意正负符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
3.某同学参加大学同学的一次聚会，参加聚会的每两人都握了一次手.设参加这次聚会的有x人，所有人共握手y次，则y与x的函数解析式为
y=1/2 x² - 1/2 x（x≥2且x为整数）
.答案
3. y=1/2 x(x-1)，即y=1/2 x² - 1/2 x（x≥2且x为整数）
解析
【分析】
要推导y与x的函数解析式，可按以下思路思考：首先，每个参加聚会的人都要和除自己之外的其他人握手，因此1个人的握手次数为(x-1)次；总共有x人，若直接相乘计算总次数，会发现每两人之间的握手被重复计算了1次（比如甲和乙握手、乙和甲握手是同一次），因此需要将总次数除以2去掉重复部分；最后还要结合人数的实际意义，确定自变量x的取值范围。
【解析】
第一步：计算不考虑重复时的总握手次数
参加聚会共x人，每个人需与其余(x-1)人握手，因此不考虑重复的情况下，总握手次数为$x(x-1)$次。
第二步：去重得到实际握手次数
每两人之间仅握1次手，上述计算中每一次握手都被统计了2次，因此实际总握手次数$y=\frac{1}{2}x(x-1)$。
第三步：整理解析式并确定自变量取值范围
展开得$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$，结合实际意义，参加聚会的人数至少为2人，且人数为正整数，因此x的取值范围是$x≥2$且x为整数。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x(x-1)$，即$y=\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x$（$x≥2$且x为整数）
【知识点】
1. 列二次函数解析式
2. 自变量取值范围确定
3. 计数问题去重
【点评】
本题是实际情境列函数关系式的基础题型，解题的核心是准确理解握手计数的重复问题，同时要注意自变量需符合实际意义，不能只列出解析式忽略取值范围。
【难度系数】
0.8
要推导y与x的函数解析式，可按以下思路思考：首先，每个参加聚会的人都要和除自己之外的其他人握手，因此1个人的握手次数为(x-1)次；总共有x人，若直接相乘计算总次数，会发现每两人之间的握手被重复计算了1次（比如甲和乙握手、乙和甲握手是同一次），因此需要将总次数除以2去掉重复部分；最后还要结合人数的实际意义，确定自变量x的取值范围。
【解析】
第一步：计算不考虑重复时的总握手次数
参加聚会共x人，每个人需与其余(x-1)人握手，因此不考虑重复的情况下，总握手次数为$x(x-1)$次。
第二步：去重得到实际握手次数
每两人之间仅握1次手，上述计算中每一次握手都被统计了2次，因此实际总握手次数$y=\frac{1}{2}x(x-1)$。
第三步：整理解析式并确定自变量取值范围
展开得$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$，结合实际意义，参加聚会的人数至少为2人，且人数为正整数，因此x的取值范围是$x≥2$且x为整数。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x(x-1)$，即$y=\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x$（$x≥2$且x为整数）
【知识点】
1. 列二次函数解析式
2. 自变量取值范围确定
3. 计数问题去重
【点评】
本题是实际情境列函数关系式的基础题型，解题的核心是准确理解握手计数的重复问题，同时要注意自变量需符合实际意义，不能只列出解析式忽略取值范围。
【难度系数】
0.8
1.若函数$y=(m-6)x^2+2x+3$是关于x的二次函数，则m的取值范围为
$m ≠ 6$
.答案
1. $m ≠ 6$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需紧扣二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数是二次函数，核心判定条件是二次项系数不为0。本题中函数的二次项系数为$m-6$，只需令二次项系数不等于0，解不等式即可得到结果。
【解析】
根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。
已知函数$y=(m-6)x^2+2x+3$是关于x的二次函数，因此二次项系数满足：
$m-6 ≠ 0$
解不等式得：$m ≠ 6$
【答案】
$m ≠ 6$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的要求，避免忽略该限制条件错解为全体实数。
【难度系数】
0.9
要确定m的取值范围，需紧扣二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数是二次函数，核心判定条件是二次项系数不为0。本题中函数的二次项系数为$m-6$，只需令二次项系数不等于0，解不等式即可得到结果。
【解析】
根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。
已知函数$y=(m-6)x^2+2x+3$是关于x的二次函数，因此二次项系数满足：
$m-6 ≠ 0$
解不等式得：$m ≠ 6$
【答案】
$m ≠ 6$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的要求，避免忽略该限制条件错解为全体实数。
【难度系数】
0.9
2.圆的半径为r,其周长为C,则C与r的解析式为
$C = 2π r$
,它是一次
函数;若圆的面积为S,则S与r的解析式为$S = π r^2$
,它是二次
函数.答案
2. $C = 2π r$ 一次 $S = π r^2$ 二次
解析
【分析】
解题时先回忆圆的周长、面积计算公式，写出对应解析式后，再结合一次函数、二次函数的定义判断函数类型即可。第一步先根据圆的周长公式写出C与r的关系式，看自变量r的最高次数，若次数为1且一次项系数不为0，就属于一次函数；第二步根据圆的面积公式写出S与r的关系式，自变量r的最高次数为2且二次项系数不为0，就属于二次函数。
【解析】
1. 圆的周长计算公式为“周长=2×圆周率×半径”，因此C与r的解析式为$\boldsymbol{C=2π r}$；一次函数的定义是形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$）的函数，此处$k=2π≠0$，$b=0$，符合一次函数的特征，所以它是一次函数。
2. 圆的面积计算公式为“面积=圆周率×半径的平方”，因此S与r的解析式为$\boldsymbol{S=π r^2}$；二次函数的定义是形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数，此处$a=π≠0$，$b=c=0$，符合二次函数的特征，所以它是二次函数。
【答案】
$C = 2π r$；一次；$S = π r^2$；二次
【知识点】
圆的周长与面积公式；一次函数的定义；二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，既需要熟记常见几何图形的周长、面积计算公式，也需要准确掌握不同类型函数的定义特征，是几何基础与函数入门结合的典型习题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆圆的周长、面积计算公式，写出对应解析式后，再结合一次函数、二次函数的定义判断函数类型即可。第一步先根据圆的周长公式写出C与r的关系式，看自变量r的最高次数，若次数为1且一次项系数不为0，就属于一次函数；第二步根据圆的面积公式写出S与r的关系式，自变量r的最高次数为2且二次项系数不为0，就属于二次函数。
【解析】
1. 圆的周长计算公式为“周长=2×圆周率×半径”，因此C与r的解析式为$\boldsymbol{C=2π r}$；一次函数的定义是形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$）的函数，此处$k=2π≠0$，$b=0$，符合一次函数的特征，所以它是一次函数。
2. 圆的面积计算公式为“面积=圆周率×半径的平方”，因此S与r的解析式为$\boldsymbol{S=π r^2}$；二次函数的定义是形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数，此处$a=π≠0$，$b=c=0$，符合二次函数的特征，所以它是二次函数。
【答案】
$C = 2π r$；一次；$S = π r^2$；二次
【知识点】
圆的周长与面积公式；一次函数的定义；二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，既需要熟记常见几何图形的周长、面积计算公式，也需要准确掌握不同类型函数的定义特征，是几何基础与函数入门结合的典型习题。
【难度系数】
0.9
3. 菱形两条对角线的和为26 cm，则菱形的面积$S(\mathrm{cm}^2)$与一条对角线长$x(\mathrm{cm})$的解析式为
$S = -\dfrac{1}{2}x^2 + 13x$
。答案
3. $S = -\dfrac{1}{2}x^2 + 13x$
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。已知一条对角线长为x cm，两条对角线的和为26 cm，可先用含x的式子表示出另一条对角线的长度，再代入面积公式化简，即可得到S与x的解析式，注意对角线长度为正数，x的取值要符合实际意义。
【解析】
解：已知菱形的一条对角线长为$ x \, \mathrm{cm} $，两条对角线的和为$ 26 \, \mathrm{cm} $，因此另一条对角线的长度为$ (26 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据菱形面积公式$ S=\frac{1}{2}×\mathrm{对角线}_1×\mathrm{对角线}_2 $，代入数据得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(26-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2+13x\end{aligned}$
其中自变量的取值范围为$ 0＜x＜26 $，符合对角线长度为正的实际要求。
【答案】
$ S = -\dfrac{1}{2}x^2 + 13x $
【知识点】
1.菱形面积计算
2.函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心考察菱形面积公式的应用，只要明确两条对角线的数量关系，代入公式化简即可求解，解题时注意结合几何实际确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。已知一条对角线长为x cm，两条对角线的和为26 cm，可先用含x的式子表示出另一条对角线的长度，再代入面积公式化简，即可得到S与x的解析式，注意对角线长度为正数，x的取值要符合实际意义。
【解析】
解：已知菱形的一条对角线长为$ x \, \mathrm{cm} $，两条对角线的和为$ 26 \, \mathrm{cm} $，因此另一条对角线的长度为$ (26 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据菱形面积公式$ S=\frac{1}{2}×\mathrm{对角线}_1×\mathrm{对角线}_2 $，代入数据得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(26-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2+13x\end{aligned}$
其中自变量的取值范围为$ 0＜x＜26 $，符合对角线长度为正的实际要求。
【答案】
$ S = -\dfrac{1}{2}x^2 + 13x $
【知识点】
1.菱形面积计算
2.函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心考察菱形面积公式的应用，只要明确两条对角线的数量关系，代入公式化简即可求解，解题时注意结合几何实际确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
4. 用火柴棒按如图所示方式摆放：
设第n个图需要y根火柴棒，请写出y与n的函数解析式：
设第n个图需要y根火柴棒，请写出y与n的函数解析式：
$y = \dfrac{3}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n$
.答案
4. $y = \dfrac{3}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n$
解析
【分析】
我们可以通过分类统计火柴棒数量推导规律：观察图形可知，火柴棒可按水平、左斜、右斜3个方向分类，三个方向的火柴棒数量完全相等，只需先求出单个方向的火柴棒数量，再乘3即可得到总数量。先枚举前几个图形的情况验证：n=1时单个方向火柴数为1，n=2时单个方向火柴数为1+2=3，n=3时单个方向火柴数为1+2+3=6，由此可得第n个图形单个方向的火柴数为1+2+…+n，结合求和公式即可推导总数量的解析式。
【解析】
首先统计前3个图形的火柴棒总数：
当n=1时，总火柴棒数$y_1=3=3×1$；
当n=2时，总火柴棒数$y_2=9=3×(1+2)$；
当n=3时，总火柴棒数$y_3=18=3×(1+2+3)$；
根据等差数列求和公式，$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，即第n个图形单个方向的火柴棒数量为$\frac{n(n+1)}{2}$。
由于总共有3个方向的火柴棒，因此总火柴棒数：
$y=3×\frac{n(n+1)}{2}=\frac{3}{2}n^2+\frac{3}{2}n$（n为正整数）。
【答案】
$y = \dfrac{3}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n$
【知识点】
图形规律探究，等差数列求和，二次函数解析式
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的核心是通过分类统计简化计算，避免直接数火柴棒出现的计数错误，推导完成后可代入前几个n的取值验证解析式是否正确，降低出错概率。
【难度系数】
0.6
我们可以通过分类统计火柴棒数量推导规律：观察图形可知，火柴棒可按水平、左斜、右斜3个方向分类，三个方向的火柴棒数量完全相等，只需先求出单个方向的火柴棒数量，再乘3即可得到总数量。先枚举前几个图形的情况验证：n=1时单个方向火柴数为1，n=2时单个方向火柴数为1+2=3，n=3时单个方向火柴数为1+2+3=6，由此可得第n个图形单个方向的火柴数为1+2+…+n，结合求和公式即可推导总数量的解析式。
【解析】
首先统计前3个图形的火柴棒总数：
当n=1时，总火柴棒数$y_1=3=3×1$；
当n=2时，总火柴棒数$y_2=9=3×(1+2)$；
当n=3时，总火柴棒数$y_3=18=3×(1+2+3)$；
根据等差数列求和公式，$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，即第n个图形单个方向的火柴棒数量为$\frac{n(n+1)}{2}$。
由于总共有3个方向的火柴棒，因此总火柴棒数：
$y=3×\frac{n(n+1)}{2}=\frac{3}{2}n^2+\frac{3}{2}n$（n为正整数）。
【答案】
$y = \dfrac{3}{2}n^2 + \dfrac{3}{2}n$
【知识点】
图形规律探究，等差数列求和，二次函数解析式
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的核心是通过分类统计简化计算，避免直接数火柴棒出现的计数错误，推导完成后可代入前几个n的取值验证解析式是否正确，降低出错概率。
【难度系数】
0.6
5. (2025秋·凉州区期末)已知函数$y=(m^2+m)x^{m^2-2m-1}+(m-3)x+m^2-11$是关于x的二次函数。
(1)求m的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项。
(1)求m的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项。
答案
5. (1) 3;(2) 二次项系数是12,一次项系数是0,常数项为 - 2.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$是常数，$a\ne0$）的函数叫做二次函数，需满足两个核心条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项系数不为0。解题时先根据这两个条件列方程和不等式求解$m$的值，再将$m$代入原式即可得到各项系数。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 2m -1 = 2 \quad \mathrm{（x的最高次数为2）} \\m^2 + m ≠ 0 \quad \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
先解方程$m^2 -2m -1=2$，移项得$m^2-2m-3=0$，因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
再解不等式$m^2+m≠0$，即$m(m+1)≠0$，得$m≠0$且$m≠-1$。
综上，舍去不符合条件的$m=-1$，得$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数：
二次项系数为$m^2+m=3^2+3=12$；
一次项系数为$m-3=3-3=0$；
常数项为$m^2-11=3^2-11=-2$。
【答案】
(1) $m=3$；(2) 二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为-2。
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 一元二次方程的解法 3. 代数式求值
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，导致求出错误的$m$值，解题时需注意两个判定条件要同时满足，代入计算系数时要注意区分各项的构成。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$是常数，$a\ne0$）的函数叫做二次函数，需满足两个核心条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项系数不为0。解题时先根据这两个条件列方程和不等式求解$m$的值，再将$m$代入原式即可得到各项系数。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 2m -1 = 2 \quad \mathrm{（x的最高次数为2）} \\m^2 + m ≠ 0 \quad \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
先解方程$m^2 -2m -1=2$，移项得$m^2-2m-3=0$，因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
再解不等式$m^2+m≠0$，即$m(m+1)≠0$，得$m≠0$且$m≠-1$。
综上，舍去不符合条件的$m=-1$，得$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数：
二次项系数为$m^2+m=3^2+3=12$；
一次项系数为$m-3=3-3=0$；
常数项为$m^2-11=3^2-11=-2$。
【答案】
(1) $m=3$；(2) 二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为-2。
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 一元二次方程的解法 3. 代数式求值
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，导致求出错误的$m$值，解题时需注意两个判定条件要同时满足，代入计算系数时要注意区分各项的构成。
【难度系数】
0.7
