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1. 建立二次函数模型解决实际抛物线形问题的一般步骤：
（1）根据题意建立适当的平面；
（2）把已知条件转化为；
（3）合理设出函数；
（4）利用法求出函数解析式；
（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
（1）根据题意建立适当的平面；
（2）把已知条件转化为；
（3）合理设出函数；
（4）利用法求出函数解析式；
（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
答案
解：
(1) 直角坐标系
(2) 点的坐标
(3) 解析式
(4) 待定系数
(5) 解决实际问题
(1) 直角坐标系
(2) 点的坐标
(3) 解析式
(4) 待定系数
(5) 解决实际问题
解析
【分析】
本题考查利用二次函数模型解决抛物线类实际问题的通用步骤，思考时可按照“实际问题转化为数学问题、再用数学结论解决实际问题”的逻辑梳理：首先要将实际中的抛物线对应到数学中的函数图像，需要搭建平面直角坐标系作为研究载体；其次要把实际场景里的已知量（比如拱桥高度、投篮出手高度等）转化为坐标系内的点的坐标，为求解析式提供数据支撑；接着根据已知点的特征选择合适的形式假设函数解析式；再通过代入已知点坐标，用待定系数法求出完整的函数解析式；最后用得到的解析式分析计算，解答最初的实际问题，完成建模到用模的全过程。
【解析】
根据建立二次函数模型解决实际抛物线形问题的标准流程，逐空分析填写：
(1) 要把实际抛物线转化为可量化研究的函数图像，首先需要建立适当的平面直角坐标系；
(2) 实际场景中的已知距离、高度等条件，需要转化为坐标系中点的坐标，作为求解解析式的已知数据；
(3) 根据已知点的类型（如是否知道顶点、与x轴交点等）合理设出函数解析式；
(4) 将已知点的坐标代入所设解析式，利用待定系数法求出解析式中未知的系数，得到完整的函数解析式；
(5) 求得解析式后，利用函数性质进行分析计算，最终目的是解决对应的实际问题。
【答案】
(1)直角坐标系；(2)点的坐标；(3)解析式；(4)待定系数；(5)解决实际问题
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，平面直角坐标系应用
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查抛物线类二次函数实际问题的建模流程，熟练掌握该步骤是解决这类应用题的前提，实际解题时可尽量选取使解析式更简洁的位置建立坐标系，比如以抛物线顶点、与x轴交点为原点等，能有效降低计算难度。
【难度系数】
0.9
本题考查利用二次函数模型解决抛物线类实际问题的通用步骤，思考时可按照“实际问题转化为数学问题、再用数学结论解决实际问题”的逻辑梳理：首先要将实际中的抛物线对应到数学中的函数图像，需要搭建平面直角坐标系作为研究载体；其次要把实际场景里的已知量（比如拱桥高度、投篮出手高度等）转化为坐标系内的点的坐标，为求解析式提供数据支撑；接着根据已知点的特征选择合适的形式假设函数解析式；再通过代入已知点坐标，用待定系数法求出完整的函数解析式；最后用得到的解析式分析计算，解答最初的实际问题，完成建模到用模的全过程。
【解析】
根据建立二次函数模型解决实际抛物线形问题的标准流程，逐空分析填写：
(1) 要把实际抛物线转化为可量化研究的函数图像，首先需要建立适当的平面直角坐标系；
(2) 实际场景中的已知距离、高度等条件，需要转化为坐标系中点的坐标，作为求解解析式的已知数据；
(3) 根据已知点的类型（如是否知道顶点、与x轴交点等）合理设出函数解析式；
(4) 将已知点的坐标代入所设解析式，利用待定系数法求出解析式中未知的系数，得到完整的函数解析式；
(5) 求得解析式后，利用函数性质进行分析计算，最终目的是解决对应的实际问题。
【答案】
(1)直角坐标系；(2)点的坐标；(3)解析式；(4)待定系数；(5)解决实际问题
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，平面直角坐标系应用
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查抛物线类二次函数实际问题的建模流程，熟练掌握该步骤是解决这类应用题的前提，实际解题时可尽量选取使解析式更简洁的位置建立坐标系，比如以抛物线顶点、与x轴交点为原点等，能有效降低计算难度。
【难度系数】
0.9
2. 如图是一个抛物线形拱桥,根据量得的数据,小明建立了如下图所示的两个不同的坐标系,则所求的不同的解析式为,.
合作学习
有一座抛物线形拱桥如图所示,当水面在L时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水面下降1 m时,水面宽度增加多少?
分析:二次函数的图象是抛物线,为了方便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
变式 将问题中“水面下降1 m,水面宽度增加多少?”改为“一艘宽2 m,高1.6 m的小船能否安全通过?”其他不变.
合作学习
有一座抛物线形拱桥如图所示,当水面在L时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水面下降1 m时,水面宽度增加多少?
分析:二次函数的图象是抛物线,为了方便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
变式 将问题中“水面下降1 m,水面宽度增加多少?”改为“一艘宽2 m,高1.6 m的小船能否安全通过?”其他不变.
答案
第2题解答
解：
对于第一个坐标系，抛物线顶点为原点$(0,0)$，开口向下，设解析式为$y=ax^2$。
将点$(20,-6)$代入得：$-6=a·20^2$，解得$a=-\frac{3}{200}$，
因此解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{200}x^2\ (-20≤ x≤20)}$。
对于第二个坐标系，抛物线顶点为$(0,6)$，开口向下，设解析式为$y=ax^2+6$。
将点$(20,0)$代入得：$0=a·20^2+6$，解得$a=-\frac{3}{200}$，
因此解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{200}x^2+6\ (-20≤ x≤20)}$。
---
合作学习原题解答
解：
以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为$y$轴建立直角坐标系，设抛物线解析式为$y=ax^2\ (a＜0)$。
由题意可知点$(2,-2)$在抛物线上，将其代入解析式得：
$-2=a·2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降$1\ \mathrm{m}$时，水面对应的纵坐标为$y=-3$，代入解析式得：
$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm\sqrt{6}$，
此时水面宽度为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
水面宽度增加量为$2\sqrt{6}-4\ \mathrm{m}$。
答：水面下降1 m时，水面宽度增加$(2\sqrt{6}-4)\ \mathrm{m}$。
---
变式题解答
解：
沿用上述坐标系，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
小船宽$2\ \mathrm{m}$，取$x=1$代入解析式，得$y=-\frac{1}{2}×1^2=-\frac{1}{2}$。
该位置处，拱桥距离原水面（$y=-2$）的竖直高度为$-\frac{1}{2}-(-2)=1.5\ \mathrm{m}$。
因为$1.5\ \mathrm{m}＜1.6\ \mathrm{m}$，所以该位置拱桥的净空高度小于小船的高度。
答：这艘宽2 m，高1.6 m的小船不能安全通过。
解：
对于第一个坐标系，抛物线顶点为原点$(0,0)$，开口向下，设解析式为$y=ax^2$。
将点$(20,-6)$代入得：$-6=a·20^2$，解得$a=-\frac{3}{200}$，
因此解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{200}x^2\ (-20≤ x≤20)}$。
对于第二个坐标系，抛物线顶点为$(0,6)$，开口向下，设解析式为$y=ax^2+6$。
将点$(20,0)$代入得：$0=a·20^2+6$，解得$a=-\frac{3}{200}$，
因此解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{200}x^2+6\ (-20≤ x≤20)}$。
---
合作学习原题解答
解：
以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为$y$轴建立直角坐标系，设抛物线解析式为$y=ax^2\ (a＜0)$。
由题意可知点$(2,-2)$在抛物线上，将其代入解析式得：
$-2=a·2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降$1\ \mathrm{m}$时，水面对应的纵坐标为$y=-3$，代入解析式得：
$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm\sqrt{6}$，
此时水面宽度为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
水面宽度增加量为$2\sqrt{6}-4\ \mathrm{m}$。
答：水面下降1 m时，水面宽度增加$(2\sqrt{6}-4)\ \mathrm{m}$。
---
变式题解答
解：
沿用上述坐标系，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
小船宽$2\ \mathrm{m}$，取$x=1$代入解析式，得$y=-\frac{1}{2}×1^2=-\frac{1}{2}$。
该位置处，拱桥距离原水面（$y=-2$）的竖直高度为$-\frac{1}{2}-(-2)=1.5\ \mathrm{m}$。
因为$1.5\ \mathrm{m}＜1.6\ \mathrm{m}$，所以该位置拱桥的净空高度小于小船的高度。
答：这艘宽2 m，高1.6 m的小船不能安全通过。
解析
【分析】
这组题均为二次函数在抛物线拱桥场景的实际应用，解题思路如下：
1. 第2题求两个坐标系下的抛物线解析式：根据两个坐标系的顶点位置分别设对应的二次函数顶点式，找到已知的抛物线上点的坐标，代入求出参数a，同时标注自变量的实际取值范围即可。
2. 合作学习原题：按提示以拱顶为原点、对称轴为y轴建系，设顶点式解析式，代入水面宽4m、拱顶离水面2m对应的点坐标求出解析式，再将水面下降1m后的纵坐标代入解析式，求出对应横坐标计算水面宽度，最后算宽度增量。
3. 变式题：沿用原题的坐标系和解析式，根据小船宽度取对应横坐标代入解析式，计算该位置的拱桥净空高度，和小船高度比较即可判断能否通行。
【解析】
第2题解答
对于第一个坐标系，抛物线顶点为原点$(0,0)$，开口向下，设解析式为$y=ax^2$。
将点$(20,-6)$代入得：$-6=a·20^2$，解得$a=-\frac{3}{200}$，
因此解析式为$y=-\frac{3}{200}x^2\ (-20≤ x≤20)$。
对于第二个坐标系，抛物线顶点为$(0,6)$，开口向下，设解析式为$y=ax^2+6$。
将点$(20,0)$代入得：$0=a·20^2+6$，解得$a=-\frac{3}{200}$，
因此解析式为$y=-\frac{3}{200}x^2+6\ (-20≤ x≤20)$。
合作学习原题解答
以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为$y$轴建立直角坐标系，设抛物线解析式为$y=ax^2\ (a＜0)$。
由题意可知点$(2,-2)$在抛物线上，将其代入解析式得：
$-2=a·2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降$1\ \mathrm{m}$时，水面对应的纵坐标为$y=-3$，代入解析式得：
$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm\sqrt{6}$，
此时水面宽度为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
水面宽度增加量为$2\sqrt{6}-4\ \mathrm{m}$。
变式题解答
沿用上述坐标系，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
小船宽$2\ \mathrm{m}$，取$x=1$代入解析式，得$y=-\frac{1}{2}×1^2=-\frac{1}{2}$。
该位置处，拱桥距离原水面（$y=-2$）的竖直高度为$-\frac{1}{2}-(-2)=1.5\ \mathrm{m}$。
因为$1.5\ \mathrm{m}＜1.6\ \mathrm{m}$，所以该位置拱桥的净空高度小于小船的高度。
【答案】
第2题：$\boldsymbol{y=-\frac{3}{200}x^2\ (-20≤ x≤20)}$，$\boldsymbol{y=-\frac{3}{200}x^2+6\ (-20≤ x≤20)}$；
合作学习原题：水面下降1 m时，水面宽度增加$\boldsymbol{(2\sqrt{6}-4)\ \mathrm{m}}$；
变式题：这艘宽2 m，高1.6 m的小船$\boldsymbol{不能}$安全通过。
【知识点】
二次函数解析式求解、二次函数实际应用、待定系数法
【点评】
本组题围绕二次函数的实际应用展开，解题关键是结合坐标系特点选择合适的二次函数表达式，利用待定系数法求出解析式后，再根据问题需求代入对应坐标求解，解题时需注意实际问题中变量的取值限制，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这组题均为二次函数在抛物线拱桥场景的实际应用，解题思路如下：
1. 第2题求两个坐标系下的抛物线解析式：根据两个坐标系的顶点位置分别设对应的二次函数顶点式，找到已知的抛物线上点的坐标，代入求出参数a，同时标注自变量的实际取值范围即可。
2. 合作学习原题：按提示以拱顶为原点、对称轴为y轴建系，设顶点式解析式，代入水面宽4m、拱顶离水面2m对应的点坐标求出解析式，再将水面下降1m后的纵坐标代入解析式，求出对应横坐标计算水面宽度，最后算宽度增量。
3. 变式题：沿用原题的坐标系和解析式，根据小船宽度取对应横坐标代入解析式，计算该位置的拱桥净空高度，和小船高度比较即可判断能否通行。
【解析】
第2题解答
对于第一个坐标系，抛物线顶点为原点$(0,0)$，开口向下，设解析式为$y=ax^2$。
将点$(20,-6)$代入得：$-6=a·20^2$，解得$a=-\frac{3}{200}$，
因此解析式为$y=-\frac{3}{200}x^2\ (-20≤ x≤20)$。
对于第二个坐标系，抛物线顶点为$(0,6)$，开口向下，设解析式为$y=ax^2+6$。
将点$(20,0)$代入得：$0=a·20^2+6$，解得$a=-\frac{3}{200}$，
因此解析式为$y=-\frac{3}{200}x^2+6\ (-20≤ x≤20)$。
合作学习原题解答
以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为$y$轴建立直角坐标系，设抛物线解析式为$y=ax^2\ (a＜0)$。
由题意可知点$(2,-2)$在抛物线上，将其代入解析式得：
$-2=a·2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降$1\ \mathrm{m}$时，水面对应的纵坐标为$y=-3$，代入解析式得：
$-3=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm\sqrt{6}$，
此时水面宽度为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
水面宽度增加量为$2\sqrt{6}-4\ \mathrm{m}$。
变式题解答
沿用上述坐标系，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
小船宽$2\ \mathrm{m}$，取$x=1$代入解析式，得$y=-\frac{1}{2}×1^2=-\frac{1}{2}$。
该位置处，拱桥距离原水面（$y=-2$）的竖直高度为$-\frac{1}{2}-(-2)=1.5\ \mathrm{m}$。
因为$1.5\ \mathrm{m}＜1.6\ \mathrm{m}$，所以该位置拱桥的净空高度小于小船的高度。
【答案】
第2题：$\boldsymbol{y=-\frac{3}{200}x^2\ (-20≤ x≤20)}$，$\boldsymbol{y=-\frac{3}{200}x^2+6\ (-20≤ x≤20)}$；
合作学习原题：水面下降1 m时，水面宽度增加$\boldsymbol{(2\sqrt{6}-4)\ \mathrm{m}}$；
变式题：这艘宽2 m，高1.6 m的小船$\boldsymbol{不能}$安全通过。
【知识点】
二次函数解析式求解、二次函数实际应用、待定系数法
【点评】
本组题围绕二次函数的实际应用展开，解题关键是结合坐标系特点选择合适的二次函数表达式，利用待定系数法求出解析式后，再根据问题需求代入对应坐标求解，解题时需注意实际问题中变量的取值限制，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
例 隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线可以用$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 4$表示，如图所示。
（1）一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
（1）一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
答案
解：
（1）由题意可知，长方形的竖直高度为2 m，因此高4 m的卡车，其顶部高出长方形上边缘的高度为$4-2=2\ \mathrm{m}$。
将$y=2$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 4$，得：
$2 = -\dfrac{1}{4}x^2 + 4$
解得$x = \pm 2\sqrt{2}$。
此时满足高度要求的水平总宽度为$2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \approx 5.656\ \mathrm{m}$。
因为$5.656 ＞ 2$，所以该货运卡车能通过该隧道。
（2）若隧道内设双行道，卡车仅能在中线的单侧车道行驶，单侧车道的x取值范围为$[0,4]$（或$[-4,0]$）。
卡车宽2 m，取卡车最外侧的横坐标为$x=2$，代入抛物线解析式得：
$y = -\dfrac{1}{4} × 2^2 + 4 = 3$
该位置对应的隧道总高度为$3 + 2 = 5\ \mathrm{m}$。
因为$5 ＞ 4$，所以这辆货运卡车可以通过。
答：（1）该货运卡车能通过该隧道；（2）这辆货运卡车可以通过。
（1）由题意可知，长方形的竖直高度为2 m，因此高4 m的卡车，其顶部高出长方形上边缘的高度为$4-2=2\ \mathrm{m}$。
将$y=2$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 4$，得：
$2 = -\dfrac{1}{4}x^2 + 4$
解得$x = \pm 2\sqrt{2}$。
此时满足高度要求的水平总宽度为$2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \approx 5.656\ \mathrm{m}$。
因为$5.656 ＞ 2$，所以该货运卡车能通过该隧道。
（2）若隧道内设双行道，卡车仅能在中线的单侧车道行驶，单侧车道的x取值范围为$[0,4]$（或$[-4,0]$）。
卡车宽2 m，取卡车最外侧的横坐标为$x=2$，代入抛物线解析式得：
$y = -\dfrac{1}{4} × 2^2 + 4 = 3$
该位置对应的隧道总高度为$3 + 2 = 5\ \mathrm{m}$。
因为$5 ＞ 4$，所以这辆货运卡车可以通过。
答：（1）该货运卡车能通过该隧道；（2）这辆货运卡车可以通过。
解析
【分析】
这道题是二次函数在实际生活中的应用，解题核心是将卡车通行的高度、宽度要求转化为抛物线函数中的数值计算问题：
（1）卡车总高4m，隧道底部长方形高2m，因此卡车顶部在抛物线部分对应的y值为$4-2=2\ \mathrm{m}$，只需代入$y=2$求出对应的x取值范围，计算该高度下隧道的可用总宽度，和卡车宽度2m比较即可判断能否通行；
（2）双行道意味着卡车只能在隧道中线的单侧行驶，卡车宽2m，即卡车最外侧距离中线的水平距离为2m，只需代入$x=2$求出对应的抛物线高度y，再加上底部长方形的2m得到该位置的隧道总高度，和卡车高度4m比较即可判断。
【解析】
（1）由题意得，隧道下方长方形的竖直高度为2m，高4m的卡车顶部高出长方形上边缘的高度为$4-2=2\ \mathrm{m}$。
将$y=2$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 4$，得：
$2 = -\dfrac{1}{4}x^2 + 4$
移项得$\dfrac{1}{4}x^2=2$，即$x^2=8$，解得$x = \pm 2\sqrt{2}$。
此时满足高度要求的水平总宽度为$2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \approx 5.656\ \mathrm{m}$。
因为$5.656 ＞ 2$，所以该货运卡车能通过该隧道。
（2）若隧道内设双行道，卡车仅能在中线的单侧车道行驶，单侧车道的x取值范围为$[0,4]$（或$[-4,0]$）。
卡车宽2m，即卡车最外侧距离中线的水平距离为2m，取最外侧横坐标$x=2$，代入抛物线解析式得：
$y = -\dfrac{1}{4} × 2^2 + 4 = 3$
该位置对应的隧道总高度为$3 + 2 = 5\ \mathrm{m}$。
因为$5 ＞ 4$，所以这辆货运卡车可以通过。
【答案】
（1）该货运卡车能通过该隧道；（2）这辆货运卡车可以通过。
【知识点】
二次函数实际应用，代入法求自变量，代入法求函数值
【点评】
本题是二次函数与实际生活结合的典型题型，解题关键是建立实际问题与二次函数解析式之间的关联，将通行的高度、宽度要求转化为函数的数值计算问题，结合抛物线的对称性分析即可，侧重考察数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
这道题是二次函数在实际生活中的应用，解题核心是将卡车通行的高度、宽度要求转化为抛物线函数中的数值计算问题：
（1）卡车总高4m，隧道底部长方形高2m，因此卡车顶部在抛物线部分对应的y值为$4-2=2\ \mathrm{m}$，只需代入$y=2$求出对应的x取值范围，计算该高度下隧道的可用总宽度，和卡车宽度2m比较即可判断能否通行；
（2）双行道意味着卡车只能在隧道中线的单侧行驶，卡车宽2m，即卡车最外侧距离中线的水平距离为2m，只需代入$x=2$求出对应的抛物线高度y，再加上底部长方形的2m得到该位置的隧道总高度，和卡车高度4m比较即可判断。
【解析】
（1）由题意得，隧道下方长方形的竖直高度为2m，高4m的卡车顶部高出长方形上边缘的高度为$4-2=2\ \mathrm{m}$。
将$y=2$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 4$，得：
$2 = -\dfrac{1}{4}x^2 + 4$
移项得$\dfrac{1}{4}x^2=2$，即$x^2=8$，解得$x = \pm 2\sqrt{2}$。
此时满足高度要求的水平总宽度为$2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \approx 5.656\ \mathrm{m}$。
因为$5.656 ＞ 2$，所以该货运卡车能通过该隧道。
（2）若隧道内设双行道，卡车仅能在中线的单侧车道行驶，单侧车道的x取值范围为$[0,4]$（或$[-4,0]$）。
卡车宽2m，即卡车最外侧距离中线的水平距离为2m，取最外侧横坐标$x=2$，代入抛物线解析式得：
$y = -\dfrac{1}{4} × 2^2 + 4 = 3$
该位置对应的隧道总高度为$3 + 2 = 5\ \mathrm{m}$。
因为$5 ＞ 4$，所以这辆货运卡车可以通过。
【答案】
（1）该货运卡车能通过该隧道；（2）这辆货运卡车可以通过。
【知识点】
二次函数实际应用，代入法求自变量，代入法求函数值
【点评】
本题是二次函数与实际生活结合的典型题型，解题关键是建立实际问题与二次函数解析式之间的关联，将通行的高度、宽度要求转化为函数的数值计算问题，结合抛物线的对称性分析即可，侧重考察数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
