19. (9分)如图12所示是一种盛装葡萄酒的瓶子,已量得瓶塞AB与标签CD的高度之比为2:3,且标签底部$DE=\frac{1}{2}AB$,C是BD的中点,又量得$AE=330\ \mathrm{mm}$,求标签CD的高度.

解：设AB=2x mm，
由AB与CD的高度之比为2:3，可得CD=3x mm。
因为$DE=\frac{1}{2}AB$，所以$DE=\frac{1}{2}×2x=x\ \mathrm{mm}$。
因为C是BD的中点，所以$BD=2CD=6x\ \mathrm{mm}$。
根据线段和的定义，$AE=AB+BD+DE$，代入已知$AE=330\ \mathrm{mm}$得：
$2x+6x+x=330$
合并同类项得$9x=330$，
解得$x=\frac{110}{3}$，
因此$CD=3x=3×\frac{110}{3}=110\ \mathrm{mm}$。
答：标签CD的高度为110 mm。

【分析】
本题为结合实际情境的线段计算问题，解题思路清晰：首先根据已知的线段比例关系，采用设参数的方法简化计算，结合AB和CD的比例设AB为2x，即可直接得到CD的表达式；再依据DE与AB的数量关系、C是BD中点的条件，将DE、BD都转化为含x的代数式；最后根据AE的总长度等于AB、BD、DE三段之和，列出一元一次方程求解x，再代入计算CD的高度即可。
【解析】
解：设AB的高度为2x mm，
∵ AB与CD的高度之比为2:3，
∴ CD的高度为3x mm。
∵ $DE=\frac{1}{2}AB$，
∴ $DE=\frac{1}{2}×2x = x$ mm。
∵ C是BD的中点，
∴ $BD=2CD=2×3x=6x$ mm。
由线段和的关系可知：$AE=AB+BD+DE$，已知$AE=330\ \mathrm{mm}$，代入得：
$2x + 6x + x = 330$
合并同类项，得：$9x=330$
解得：$x=\frac{110}{3}$
∴ $CD=3x=3×\frac{110}{3}=110\ \mathrm{mm}$。
【答案】
$110\ \mathrm{mm}$
【知识点】
线段和差计算、比例的应用、一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的酒瓶场景考察线段计算，解题核心是理清各段线段的数量关系，通过设参数的方法将多段长度统一用同一未知数表示，再结合总长度列方程求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7

20. (9分)如图13,C为线段AB延长线上一点,D为线段BC上一点,AB=12,CD=4BD.
(1)若BC=15,求AD的长;
(2)若AB=2BD,E为AC的中点,求BE的长.

解：
(1) 因为点D在线段BC上，所以$BC = BD + CD$。
已知$CD=4BD$，$BC=15$，代入得：
$BD + 4BD = 15$，即$5BD=15$，
解得$BD=3$。
又因为$AD = AB + BD$，$AB=12$，
所以$AD = 12 + 3 = 15$。
(2) 已知$AB=12$，$AB=2BD$，
所以$BD = \frac{1}{2}AB = 6$。
由$CD=4BD$，得$CD=4×6=24$，
所以$BC = BD + CD = 6 + 24 = 30$，
因此$AC = AB + BC = 12 + 30 = 42$。
因为E为AC的中点，
所以$AE = \frac{1}{2}AC = 21$，
所以$BE = AE - AB = 21 - 12 = 9$。
答：(1) $AD$的长为15；(2) $BE$的长为9。

【分析】
（1）要求AD的长度，观察图形可知AD=AB+BD，已知AB=12，因此只需先求出BD的长度即可。已知BC=15，且CD=4BD，结合BC=BD+CD的线段和差关系，将CD替换为4BD，即可求出BD，再代入AD的表达式计算即可。
（2）要求BE的长度，已知E是AC的中点，因此需要先求出AC的总长度，再得到AE的长度，最后通过BE=AE-AB计算。首先根据AB=2BD求出BD的长度，再结合CD=4BD求出CD的长度，依次求出BC、AC的长度，再利用中点性质求出AE，最后计算BE即可。
【解析】
(1) 因为点D在线段BC上，根据线段和差关系可得$BC = BD + CD$。
已知$CD=4BD$，$BC=15$，代入得：
$BD + 4BD = 15$，即$5BD=15$，
解得$BD=3$。
又因为$AD = AB + BD$，且$AB=12$，
所以$AD = 12 + 3 = 15$。
(2) 已知$AB=12$，$AB=2BD$，
所以$BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×12 = 6$。
由$CD=4BD$，得$CD=4×6=24$，
根据线段和差关系，$BC = BD + CD = 6 + 24 = 30$，
因此$AC = AB + BC = 12 + 30 = 42$。
因为E为AC的中点，根据线段中点的定义：
$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×42 = 21$，
所以$BE = AE - AB = 21 - 12 = 9$。
【答案】
(1) $\boxed{15}$；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，线段倍分关系
【点评】
本题是基础的线段计算题型，解题核心是理清各线段之间的和、差、倍、分关系，结合图形逐步推导未知线段的长度，掌握线段的基本性质和中点的定义就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7

21.(10分)飞机在飞行时,飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的.如图14,用AN(南北线)与飞行路线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角.已知从A到B的飞行方向角为35°,从A到C的飞行方向角为60°,从A到D的飞行方向角为145°,试求AB与AC之间的夹角、AD与AC之间的夹角,并画出从A飞出且飞行方向角为105°的飞行路线.

解：
由题意得：∠NAB=35°，∠NAC=60°，∠NAD=145°。
AB与AC之间的夹角：
∠BAC = ∠NAC - ∠NAB = 60° - 35° = 25°。
AD与AC之间的夹角：
∠CAD = ∠NAD - ∠NAC = 145° - 60° = 85°。
作图：以点A为顶点，AN为始边，沿顺时针方向作105°的角，该角的终边所在射线即为飞行方向角为105°的飞行路线。
答：AB与AC之间的夹角为25°，AD与AC之间的夹角为85°。

【分析】
首先明确题目中飞行方向角的定义：以南北线AN为始边，和飞行路线之间顺时针方向的夹角即为飞行方向角。第一步先把题干给出的飞行方向角转化为对应角的度数，得到∠NAB=35°，∠NAC=60°，∠NAD=145°；观察图形可知AB、AC、AD都在AN的顺时针一侧，要求两条飞行路线的夹角，用对应飞行方向角的度数作差即可；最后画飞行方向角为105°的路线时，严格按照定义，以A为顶点、AN为始边顺时针作105°的角，终边就是所求飞行路线。
【解析】
由飞行方向角的定义可得：
$∠ NAB=35°$，$∠ NAC=60°$，$∠ NAD=145°$
1. 计算AB与AC之间的夹角：
$∠ BAC = ∠ NAC - ∠ NAB = 60° - 35° = 25°$
2. 计算AD与AC之间的夹角：
$∠ CAD = ∠ NAD - ∠ NAC = 145° - 60° = 85°$
3. 绘制飞行方向角为105°的飞行路线：以点A为顶点，AN为始边，沿顺时针方向作105°的角，该角的终边所在射线即为所求飞行路线。
【答案】
AB与AC之间的夹角为$25°$，AD与AC之间的夹角为$85°$；飞行路线为以A为顶点、AN为始边顺时针作$105°$角的终边所在射线。
【知识点】
方向角的定义，角的和差计算，角的作图
【点评】
本题结合飞行方向角的新定义考查角的基础计算与作图，解题核心是准确理解新定义的含义，将飞行方向角转化为已知角的度数后通过简单的和差运算即可求解，注重考查对新概念的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7