1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.

1. 相等

【分析】
本题考查线段垂直平分线的基础性质，解题时首先回忆教材中关于线段垂直平分线性质的相关内容，该性质是几何部分的基础识记知识点，直接对应题干的问题描述即可得出答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，因此本题应填入“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，难度较低，熟练掌握几何基础定理是解答此类题的关键，线段垂直平分线的性质也是后续几何证明中推导线段相等的常用依据。
【难度系数】
0.9

2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的线上。

2. 垂直平分

【分析】
遇到本题首先回忆线段相关的几何定理，题目给出的条件是“点到线段两个端点距离相等”，对应线段垂直平分线的判定定理内容，我们知道线段垂直平分线的性质是“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”，其逆定理（判定定理）恰好描述的就是题目的情况，由此可确定要填的内容。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此横线处应填入“垂直平分”。
【答案】
垂直平分
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对几何核心定理的记忆与理解，只要熟练掌握相关知识点就能快速作答。
【难度系数】
0.9

1.(1)如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为.

第1(1)题图
(2)【T1(1)变式】如图,BD垂直平分AC,AD=10,BC=4,则四边形ABCD的周长是()
A.30 B.16 C.28 D.以上都不对

第1(2)题图

1.(1) 5 (2) C

【分析】
(1) 解题需先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。已知P在AB的垂直平分线CD上，可直接推出PB与PA长度相等，代入PA的数值即可得到PB的长度。
(2) 本题同样运用线段垂直平分线的性质，BD是AC的垂直平分线，说明点B和点D都在AC的垂直平分线上，因此可得AB=BC、AD=DC，将四边形的四条边转化为已知长度的线段求和，即可算出周长后对应选项。
【解析】
(1)
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在直线CD上
根据线段垂直平分线的性质，可得：PB=PA
又已知PA=5，
∴PB=5
(2)
∵BD垂直平分AC
∴点B到A、C的距离相等，点D到A、C的距离相等，即AB=BC=4，AD=DC=10
四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=4+4+10+10=28
故选C
【答案】
(1) 5 (2) C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、四边形周长计算
【点评】
两道题均为线段垂直平分线性质的基础应用，解题核心是准确识别垂直平分线上的点对应的相等线段，将未知线段转化为已知线段求解，难度较低。
【难度系数】
0.9

2.(教材P70习题T4变式) 一题多变
(1)【求周长】如图，在$△ ABC$中，$DE$是边$AC$的垂直平分线，若$AB=6$，$BC=8$，则$△ ABD$的周长为（）
A. 6
B. 8
C. 12
D. 14

第2(1)题图

第2(2)题图
(2)【已知周长，求边长】如图，$△ ABC$中，$AB$边的垂直平分线交$AB$于$D$，交$AC$于$E$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，$△ BCE$的周长是$15\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长是。

2.(1) D (2) 6 cm

【分析】
两道题均考查线段垂直平分线的性质应用，解题核心是利用垂直平分线的性质进行线段等量代换，简化周长计算：
(1) 要求△ABD的周长，先根据DE是AC的垂直平分线得出AD=CD，将△ABD周长中的AD替换为CD，可发现周长可转化为AB与BC的和，代入已知数值计算即可。
(2) 要求BC的长，先根据DE是AB的垂直平分线得出AE=BE，将△BCE周长中的BE替换为AE，可发现周长等于BC与AC的和，结合已知周长和AC的长度即可求出BC。
【解析】
(1)
∵DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可得AD=CD。
△ABD的周长=AB + BD + AD = AB + BD + CD = AB + BC，
已知AB=6，BC=8，代入得周长=6+8=14，故选D。
(2)
∵DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE。
△BCE的周长=BC + CE + BE = BC + CE + AE = BC + AC，
已知AC=9cm，△BCE的周长为15cm，
∴BC=15 - 9=6(cm)。
【答案】
(1) D；(2) 6 cm
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
【点评】
这两道题是垂直平分线性质的基础应用题，通过等量代换将未知线段转化为已知线段是解题关键，该类题型是周长相关计算的常考类型。
【难度系数】
0.8

3. 如图，直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线，$ C,D $是直线$ l $上的两点。
求证：$ ∠ CAD = ∠ CBD $。

3. 证明:
∵直线 l 是线段 AB 的垂直平分线,点 C, D 在直线 l 上,
∴ CA = CB, AD = BD. 在 △ACD 和 △BCD 中,
$\begin{cases}AC=BC,\\AD=BD,\\CD=CD,\end{cases}$
∴△ACD≌△BCD(SSS).
∴∠CAD=∠CBD.

【分析】
要证明∠CAD=∠CBD，可先证明两个角所在的三角形全等。首先根据已知条件“直线l是线段AB的垂直平分线，C、D在直线l上”，利用线段垂直平分线的性质可得到CA=CB、AD=BD；再观察△ACD和△BCD，二者有公共边CD，因此可通过“SSS”判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可推出结论。
【解析】
证明：
∵直线l是线段AB的垂直平分线，点C，D在直线l上，
∴CA = CB，AD = BD。
在 △ACD 和 △BCD 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\AD=BD,\\CD=CD,\end{cases}$
∴△ACD≌△BCD(SSS)。
∴∠CAD=∠CBD。
【答案】
证明过程如上，可证得∠CAD=∠CBD。
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.全等三角形SSS判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是从已知条件中挖掘出相等的线段，找到对应全等三角形，熟练掌握线段垂直平分线性质和全等三角形的判定、性质，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8

4.如图，P是△ABC内的一点，若PB=PC，则下列说法正确的是（）

A.点P在∠ABC的平分线上
B.点P在∠ACB的平分线上
C.点P在边AB的垂直平分线上
D.点P在边BC的垂直平分线上

4. D

【分析】
解题时先回忆相关判定定理：1. 线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点，在该线段的垂直平分线上；2. 角平分线的判定：到角两边距离相等的点，在该角的角平分线上。题干给出PB=PC，即点P到点B、点C两个端点的距离相等，对应线段垂直平分线的判定，再逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
解：根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知PB=PC，说明点P到线段BC的两个端点B、C的距离相等，因此点P在边BC的垂直平分线上，故D选项正确。
其余选项分析：
A、B选项：角平分线的判定要求点到角的两边的距离相等，题干仅给出点到点的距离相等，没有点到角两边距离相等的条件，无法推出P在∠ABC或∠ACB的平分线上，A、B错误；
C选项：若点P在AB的垂直平分线上，则需满足PA=PB，题干仅给出PB=PC，不满足该条件，C错误。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定，角平分线的判定
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心是区分两类判定的适用条件：线段垂直平分线的判定对应“到两个点的距离相等”，角平分线的判定对应“到两条边的距离相等”，清晰区分概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.【教材P67练习T2变式】如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$O$是$△ ABC$内一点,且$OB=OC$.求证:直线$AO$是线段$BC$的垂直平分线.

5. 证明:
∵AB=AC,
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.
∵OB=OC,
∴点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线,
∴直线 AO 是 BC 的垂直平分线.

【分析】
要证明直线AO是线段BC的垂直平分线，可利用线段垂直平分线的判定定理思考：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先从已知条件入手，AB=AC说明点A到B、C两点距离相等，因此点A在BC的垂直平分线上；OB=OC说明点O到B、C两点距离相等，因此点O也在BC的垂直平分线上。再结合“两点确定一条直线”的基本事实，即可推出过A、O两点的直线就是BC的垂直平分线。
【解析】
证明:
∵AB=AC,
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.
∵OB=OC,
∴点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线,
∴直线 AO 是 BC 的垂直平分线.
【答案】
证明:
∵AB=AC,
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.
∵OB=OC,
∴点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线,
∴直线 AO 是 BC 的垂直平分线.
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题是基础类证明题，解题时无需绕路证明三角形全等，直接利用线段垂直平分线的判定定理结合直线的基本事实即可快速得证，能帮助学生理解垂直平分线判定的应用逻辑。
【难度系数】
0.8