6.(2024·长春期中)如图，直线$l$与线段$AB$交于点$O$，点$P$在直线$l$上，且$PA=PB$，则下列结论中，正确的有（）
①$AO=BO$；②$PO ⊥ AB$；
③$∠ APO=∠ BPO$；④点$P$在线段$AB$的垂直平分线上.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

6. A

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理和等腰三角形三线合一的适用条件：①首先根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”判断结论④是否成立；②再分析①②③，这三个结论成立的前提是直线l是线段AB的垂直平分线，即PO同时是等腰△PAB的高、中线、顶角平分线，但题目仅给出PA=PB，没有说明直线l与AB的垂直关系，也未说明O是AB中点，不满足三线合一的使用条件，据此判断①②③是否成立，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们对四个结论逐一分析：
1. 结论①：只有当直线$l ⊥ AB$时，结合$PA=PB$，才能根据等腰三角形三线合一的性质得到$AO=BO$，题目未给出$l ⊥ AB$的条件，因此①不一定正确；
2. 结论②：只有当$O$是$AB$中点（即$AO=BO$）时，结合$PA=PB$，才能根据等腰三角形三线合一的性质得到$PO ⊥ AB$，题目未给出$AO=BO$的条件，因此②不一定正确；
3. 结论③：只有当$PO ⊥ AB$或$AO=BO$时，才能根据等腰三角形三线合一的性质得到$∠ APO=∠ BPO$，题目无相关条件，因此③不一定正确；
4. 结论④：根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，已知$PA=PB$，因此点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，④正确。
综上，只有1个结论正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形三线合一的适用前提，误将直线$l$默认为线段$AB$的垂直平分线，从而错误认为①②③也正确。解题时要注意：三线合一的使用必须先满足等腰三角形，且已知高、中线、顶角平分线三个条件中的一个，才能推出另外两个结论。
【难度系数】
0.6

7. 下列说法中，正确的是 （）

A.真命题的逆命题也是真命题
B.每个命题都有逆命题
C.每个定理都有逆定理
D.假命题没有逆命题

7. B

【分析】
解题时首先要明确命题、逆命题、定理、逆定理的基本定义，再通过举反例的方法逐一验证每个选项的正误，就能得出正确答案。首先，互逆命题的定义是：将原命题的题设和结论互换，得到的就是原命题的逆命题，因此所有命题都有逆命题；而逆定理要求定理的逆命题也必须是真命题，因此不是所有定理都有逆定理，真命题的逆命题也不一定为真，假命题同样存在逆命题，结合这些结论逐一排查选项即可。
【解析】
先明确相关概念：把一个命题的题设和结论互换位置，即可得到它的逆命题，因此所有命题都有逆命题；定理是经过证明的真命题，只有当定理的逆命题也为真命题时，才称其有逆定理。
对各选项逐一分析：
A. 举反例：真命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，这是假命题，因此真命题的逆命题不一定是真命题，A错误；
B. 任何命题都可以互换题设和结论得到逆命题，因此每个命题都有逆命题，B正确；
C. 举反例：定理“对顶角相等”的逆命题是假命题，因此它没有逆定理，不是每个定理都有逆定理，C错误；
D. 举反例：假命题“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”，是真命题，说明假命题也有逆命题，D错误。
【答案】
B
【知识点】
命题与逆命题；定理与逆定理；真假命题判断
【点评】
本题核心考查互逆命题、互逆定理的基础概念，易错点是误认为定理一定有逆定理、假命题没有逆命题，通过举常见的反例即可快速排除错误选项，属于概念辨析类基础题。
【难度系数】
0.8

8.【教材P67练习T3变式】写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)如果$a^2 = b^2$，那么$a = b$；
(2)全等三角形的三条对应边相等.
02 综合练
关键能力提升

8. 解:(1)如果 a=b,那么 a²=b². 成立;(2)三条边对应相等的两个三角形全等. 成立.

【分析】
解题前首先要明确逆命题的定义：将原命题的题设（条件）和结论互换位置，得到的新命题就是原命题的逆命题。解题按两步进行：第一步，分别拆分两个原命题的条件和结论，若原命题不是“如果……那么……”的形式，可先改写为该形式方便拆分；第二步，交换条件和结论得到逆命题，再结合学过的代数性质、几何判定定理判断逆命题是否成立。
【解析】
解：逆命题的改写规则为交换原命题的题设和结论：
(1) 原命题的题设为$a^2 = b^2$，结论为$a = b$，交换后得到逆命题：如果$a = b$，那么$a^2 = b^2$。
判断：两个相等的数的平方必然相等，因此该逆命题成立。
(2) 先将原命题改写为“如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的三条对应边相等”，题设为“两个三角形全等”，结论为“三条对应边相等”，交换后得到逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等。
判断：该命题是三角形全等的“边边边（SSS）”判定定理，因此该逆命题成立。
【答案】
(1)如果 a=b,那么 a²=b². 成立;(2)三条边对应相等的两个三角形全等. 成立.
【知识点】
逆命题改写，命题真假判断，全等三角形判定
【点评】
本题考查逆命题的改写方法和命题真假的判断能力，解题核心是准确区分原命题的题设和结论，结合已学的定理、性质验证逆命题的正确性，属于命题相关的基础考点。
【难度系数】
0.8

9. 近年来,高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目.如图,A,B,C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地,但是国资委为了使A,B,C三地的民众都能享受高铁带来的便利,决定将高铁站修建在到A,B,C三地距离都相等的地方,则高铁站应建在（）

A.AB,BC两边中线的交点处
B.AB,BC两边高线的交点处
C.AB,BC两边垂直平分线的交点处
D.$∠ B$,$∠ C$两内角的平分线的交点处

9. C

【分析】
要解决这道题，首先明确题目的核心要求：找到到A、B、C三个顶点距离都相等的点。我们可以分步推导：①先回忆到两个点距离相等的点的位置规律：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②要同时满足到三个点距离相等，就需要同时在任意两条边的垂直平分线上，即两条垂直平分线的交点。再逐一排除错误选项：中线交点是重心，无到三顶点等距的性质；高线交点是垂心，也无该性质；角平分线交点是内心，是到三边距离相等，不符合要求，即可得出正确答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
1. 到A、B两点距离相等的所有点，都在AB边的垂直平分线上；
2. 到B、C两点距离相等的所有点，都在BC边的垂直平分线上；
3. 要同时满足到A、B、C三点距离都相等，该点就是AB、BC两边垂直平分线的交点。
对其他选项逐一分析：
A选项：AB、BC两边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，排除；
B选项：AB、BC两边高线的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，排除；
D选项：∠B、∠C两内角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 角平分线的性质
3. 三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查学生对三角形不同特殊线段交点性质的区分，解题的关键是准确记忆：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，到三角形三边距离相等的点是三个内角角平分线的交点，避免混淆两类性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

10.如图,在△ABC中,DE垂直平分AB交AB于点D,交BC于点E,GF垂直平分AC交AC于F,交BC于点G,若BC=14 cm,则△AEG的周长是。

10. 14 cm

【分析】
遇到有垂直平分线的题目，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。本题中DE垂直平分AB，可得点E到A、B的距离相等，即AE=BE；GF垂直平分AC，可得点G到A、C的距离相等，即AG=CG。要求△AEG的周长，先写出周长表达式为AE+EG+AG，再将AE、AG替换为等长的BE、CG，即可发现其周长和BC的长度相等，代入BC的数值就能求出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵GF是AC的垂直平分线，点G在GF上
∴AG = CG（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEG的周长 = AE + EG + AG
将AE=BE、AG=CG代入可得：
周长 = BE + EG + CG = BC
已知BC=14 cm，因此△AEG的周长是14 cm。
【答案】
14 cm
【知识点】
垂直平分线的性质、等量代换、周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过性质将未知三角形的周长转化为已知线段的长度，掌握垂直平分线的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

11.【本课时 T5 变式】如图，$AB=AC$，$BD=CD$，点 $E$ 在 $AD$ 的延长线上，求证：$BE=CE$.

03 素养练
学科素养培育

11. 证明:连接 BC,
∵AB=AC,DB=DC,
∴点 A,D 均在线段 BC 的垂直平分线上.又
∵两点确定一条直线,
∴AD 是线段 BC 的垂直平分线.
∵E 在直线 AD 上,
∴BE=CE.

【分析】
要证明BE=CE，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需证明点E在BC的垂直平分线上即可。由已知AB=AC，根据线段垂直平分线的判定，可知点A在BC的垂直平分线上；同理BD=CD，可知点D也在BC的垂直平分线上。根据“两点确定一条直线”，可推出直线AD就是BC的垂直平分线，而E在AD的延长线上，因此可得到BE=CE的结论。
【解析】
证明：连接BC，
∵AB=AC，DB=DC，
∴点A，D均在线段BC的垂直平分线上。
又
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线。
∵E在直线AD上，
∴BE=CE。
【答案】
证明：连接BC，
∵AB=AC，DB=DC，
∴点A，D均在线段BC的垂直平分线上。
又
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线。
∵E在直线AD上，
∴BE=CE。
【知识点】
线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，两点确定一条直线
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查线段垂直平分线的判定与性质的应用，相比多次证明三角形全等的方法，运用垂直平分线的相关定理可大幅简化解题步骤，需要熟练掌握定理内容，学会根据已知条件选择最优的证明思路。
【难度系数】
0.8

12. 如图，$△ ABC$中$BC$边的垂直平分线$DE$与$∠ BAC$的平分线交于点$E$，$EF ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$F$，$EG ⊥ AC$交$AC$于点$G$。
求证:(1)$BF=CG$;(2)$AB+AC=2AF$。

12. 证明:(1)连接 BE,CE.
∵DE 垂直平分 BC,
∴BE=CE.
∵AE 平分 ∠BAC,EG⊥AC,EF⊥AB,
∴EF=EG,∠F=∠CGE=90°.
∴Rt△BFE≌Rt△CGE,
∴BF=CG;(2)在Rt△AFE和Rt△AGE中,EF=EG,AE=AE,
∴Rt△AFE≌Rt△AGE.
∴AF=AG.
∴AB+AC=AB+AG+CG=AB+AG+BF=AF+AG=2AF.

【分析】
(1) 要证明BF=CG，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先连接BE、CE，利用线段垂直平分线的性质可得BE=CE；再由AE是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质可得EF=EG，两个直角三角形满足斜边和直角边对应相等，即可判定全等得到BF=CG。
(2) 要证明AB+AC=2AF，先证明Rt△AFE和Rt△AGE全等得到AF=AG；再结合第一问BF=CG的结论，对AC进行拆分后做等量代换，即可推导出最终结论。
【解析】
(1) 连接BE，CE。
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB交AB延长线于F，EG⊥AC于G，
∴EF=EG（角平分线上的点到角两边的距离相等），且∠F=∠CGE=90°。
在$\mathrm{Rt}△ BFE$和$\mathrm{Rt}△ CGE$中：
$\begin{cases}BE=CE\\EF=EG\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BFE≌\mathrm{Rt}△ CGE(\mathrm{HL})$，
∴$BF=CG$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ AFE$和$\mathrm{Rt}△ AGE$中：
$\begin{cases}EF=EG\\AE=AE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ AFE≌\mathrm{Rt}△ AGE(\mathrm{HL})$，
∴$AF=AG$。
对$AB+AC$做等量代换：
$AB+AC=AB+AG+CG$，结合$CG=BF$，
得$AB+AC=AB+BF+AG=AF+AG$，
又
∵$AF=AG$，
∴$AB+AC=2AF$。
【答案】
(1)连接 BE,CE.
∵DE 垂直平分 BC,
∴BE=CE.
∵AE 平分 ∠BAC,EG⊥AC,EF⊥AB,
∴EF=EG,∠F=∠CGE=90°.
∴Rt△BFE≌Rt△CGE,
∴BF=CG;
(2)在Rt△AFE和Rt△AGE中,EF=EG,AE=AE,
∴Rt△AFE≌Rt△AGE.
∴AF=AG.
∴AB+AC=AB+AG+CG=AB+AG+BF=AF+AG=2AF.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的核心是通过添加辅助线构造全等三角形，结合线段垂直平分线、角平分线的性质得到相等的边，再通过等量代换完成证明，对基础几何逻辑推理能力有较好的考察作用。
【难度系数】
0.7