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8. 如图，已知$△ ABM$和$△ ACM$关于$AM$所在的直线对称，延长$BM$，$CM$，分别交$AC$，$AB$于点$D$，$E$. 请找出图中与$DM$一定相等的线段，并说明理由.
答案
解:$EM=DM$,理由如下:$\because △ABM$和$△ACM$关于$AM$所在的直线对称,$\therefore ∠B=∠C,BM=CM$. 在$△BME$和$△CMD$中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ BM=CM, \\ ∠BME=∠CMD, \end{cases}$$\therefore △BME≌△CMD(ASA). \therefore EM=DM.$
解析
【分析】
要找出与DM相等的线段，首先利用轴对称的性质分析已知条件：△ABM和△ACM关于AM所在直线对称，可得对应角∠B=∠C、对应边BM=CM。观察图形可知DM在△CMD中，和它位置对应的是△BME中的EM，因此尝试证明△BME和△CMD全等：两个三角形已经具备∠B=∠C、BM=CM，再结合对顶角∠BME=∠CMD，满足ASA全等判定条件，证得全等后对应边相等，即可得到与DM相等的线段。
【解析】
解：与DM相等的线段是EM，理由如下：
$\because △ABM$和$△ACM$关于$AM$所在的直线对称，
$\therefore ∠B=∠C,BM=CM$。
在$△BME$和$△CMD$中，
$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ BM=CM, \\ ∠BME=∠CMD, \end{cases}$
$\therefore △BME≌△CMD(ASA)$，
$\therefore EM=DM$。
【答案】
$EM=DM$，理由见上述解析。
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是先通过轴对称性质得到相等的边角关系，再结合对顶角相等构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要找出与DM相等的线段，首先利用轴对称的性质分析已知条件：△ABM和△ACM关于AM所在直线对称，可得对应角∠B=∠C、对应边BM=CM。观察图形可知DM在△CMD中，和它位置对应的是△BME中的EM，因此尝试证明△BME和△CMD全等：两个三角形已经具备∠B=∠C、BM=CM，再结合对顶角∠BME=∠CMD，满足ASA全等判定条件，证得全等后对应边相等，即可得到与DM相等的线段。
【解析】
解：与DM相等的线段是EM，理由如下：
$\because △ABM$和$△ACM$关于$AM$所在的直线对称，
$\therefore ∠B=∠C,BM=CM$。
在$△BME$和$△CMD$中，
$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ BM=CM, \\ ∠BME=∠CMD, \end{cases}$
$\therefore △BME≌△CMD(ASA)$，
$\therefore EM=DM$。
【答案】
$EM=DM$，理由见上述解析。
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是先通过轴对称性质得到相等的边角关系，再结合对顶角相等构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
9. 小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近8时整的是（
【点拨】镜子中看到的钟面与实际情况是左右对称的，利用轴对称的性质解答。
02 综合练 关键能力提升
D
）【点拨】镜子中看到的钟面与实际情况是左右对称的，利用轴对称的性质解答。
02 综合练 关键能力提升
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先明确镜面对称的核心性质：镜子中的图像和实际物体是左右轴对称的，钟面的镜像与实际钟面左右相反，存在“实际时间+镜子中显示的时间=12时”的规律。要找到实际时间最接近8时的选项，可先推算出对应的镜像时间应最接近12时-8时=4时，再逐一比对各选项的镜像时间即可得出答案。也可直接将试卷翻面，从背面读取的钟面时间就是实际时间，再找最接近8时的即可。
【解析】
根据镜面对称的性质，实际时间与镜子中看到的时间之和为12时，即：$\mathrm{实际时间}=12:00-\mathrm{镜子中显示的时间}$。
我们需要找到实际时间最接近8:00的选项，即镜像时间最接近$12:00-8:00=4:00$：
选项A：镜像时间约为6:53，实际时间为$12:00-6:53=5:07$，与8时相差较大；
选项B：镜像时间约为8:09，实际时间为$12:00-8:09=3:51$，与8时相差较大；
选项C：镜像时间约为5:15，实际时间为$12:00-5:15=6:45$，与8时相差较大；
选项D：镜像时间约为3:55，实际时间为$12:00-3:55=8:05$，仅比8时多5分钟，是四个选项中最接近8时的。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 轴对称的应用
2. 平面镜成像规律
【点评】
本题结合生活中看镜子里钟表的常见场景，考查轴对称性质的灵活运用，解题关键是掌握镜面对称左右相反的特点，既可以通过公式计算实际时间，也可以通过翻面读钟的方法快速判断，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确镜面对称的核心性质：镜子中的图像和实际物体是左右轴对称的，钟面的镜像与实际钟面左右相反，存在“实际时间+镜子中显示的时间=12时”的规律。要找到实际时间最接近8时的选项，可先推算出对应的镜像时间应最接近12时-8时=4时，再逐一比对各选项的镜像时间即可得出答案。也可直接将试卷翻面，从背面读取的钟面时间就是实际时间，再找最接近8时的即可。
【解析】
根据镜面对称的性质，实际时间与镜子中看到的时间之和为12时，即：$\mathrm{实际时间}=12:00-\mathrm{镜子中显示的时间}$。
我们需要找到实际时间最接近8:00的选项，即镜像时间最接近$12:00-8:00=4:00$：
选项A：镜像时间约为6:53，实际时间为$12:00-6:53=5:07$，与8时相差较大；
选项B：镜像时间约为8:09，实际时间为$12:00-8:09=3:51$，与8时相差较大；
选项C：镜像时间约为5:15，实际时间为$12:00-5:15=6:45$，与8时相差较大；
选项D：镜像时间约为3:55，实际时间为$12:00-3:55=8:05$，仅比8时多5分钟，是四个选项中最接近8时的。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 轴对称的应用
2. 平面镜成像规律
【点评】
本题结合生活中看镜子里钟表的常见场景，考查轴对称性质的灵活运用，解题关键是掌握镜面对称左右相反的特点，既可以通过公式计算实际时间，也可以通过翻面读钟的方法快速判断，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°$,$BD⊥ AC$,垂足为 $D$,$△ ABD$ 与 $△ A'BD$ 关于直线 $BD$ 对称,点 $A$ 的对称点是点 $A'$,若 $∠ A'BC=14°$,则 $∠ A$ 的度数为
52°
.答案
10. 52°
解析
【分析】
首先根据轴对称的性质，可得△ABD和△A'BD的对应角相等，即∠ABD=∠A'BD；再结合直角三角形两锐角互余的性质，由BD⊥AC、∠ABC=90°，可推出∠A与∠DBC相等（同角的余角相等）；最后观察图形得到角度和差关系：∠DBC=∠A'BD+∠A'BC，将已知角和推导得到的等角代入该关系，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵△ABD与△A'BD关于直线BD对称，
∴∠ABD=∠A'BD。
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠A+∠ABD=90°，即∠ABD=90°-∠A，
∴∠A'BD=90°-∠A。
∵∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∠A+∠C=90°，
又
∵BD⊥AC，在Rt△BDC中，∠DBC+∠C=90°，
∴∠DBC=∠A（同角的余角相等）。
由图形可知∠DBC=∠A'BD+∠A'BC，已知∠A'BC=14°，代入得：
$∠ A=(90°-∠ A)+14°$
整理得$2∠ A=104°$，解得$∠ A=52°$。
【答案】
$52°$
【知识点】
轴对称的性质，直角三角形两锐角互余，余角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用轴对称得到等角，再结合直角三角形的角度特征理清角度和差关系，是三角形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
首先根据轴对称的性质，可得△ABD和△A'BD的对应角相等，即∠ABD=∠A'BD；再结合直角三角形两锐角互余的性质，由BD⊥AC、∠ABC=90°，可推出∠A与∠DBC相等（同角的余角相等）；最后观察图形得到角度和差关系：∠DBC=∠A'BD+∠A'BC，将已知角和推导得到的等角代入该关系，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵△ABD与△A'BD关于直线BD对称，
∴∠ABD=∠A'BD。
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠A+∠ABD=90°，即∠ABD=90°-∠A，
∴∠A'BD=90°-∠A。
∵∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∠A+∠C=90°，
又
∵BD⊥AC，在Rt△BDC中，∠DBC+∠C=90°，
∴∠DBC=∠A（同角的余角相等）。
由图形可知∠DBC=∠A'BD+∠A'BC，已知∠A'BC=14°，代入得：
$∠ A=(90°-∠ A)+14°$
整理得$2∠ A=104°$，解得$∠ A=52°$。
【答案】
$52°$
【知识点】
轴对称的性质，直角三角形两锐角互余，余角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用轴对称得到等角，再结合直角三角形的角度特征理清角度和差关系，是三角形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
11.如图，等边三角形ABC的边长为2 cm，D，E分别是边AB，AC上的点.将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点$A'$处，且在△ABC的外部，则阴影部分的周长为
6 cm
.答案
11. 6 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边长度相等，因此可得AD=A'D，AE=A'E。接下来梳理阴影部分的周长由哪些线段组成，将其中与AD、AE相等的A'D、A'E进行等量代换，即可把阴影部分的周长转化为等边三角形ABC的三边之和，最后结合等边三角形的边长计算周长即可。
【解析】
解：
∵△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A'处，
∴根据折叠的性质，得$AD=A'D$，$AE=A'E$。
阴影部分的周长 = $BD + A'D + BC + CE + A'E$
将$A'D$替换为$AD$，$A'E$替换为$AE$，得：
阴影部分的周长 = $BD + AD + BC + CE + AE = (BD+AD) + BC + (CE+AE) = AB + BC + AC$
∵△ABC是边长为2 cm的等边三角形，
∴$AB=BC=AC=2\ \mathrm{cm}$，
∴阴影部分的周长 = $2+2+2 = 6\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
6 cm
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的性质；周长的计算
【点评】
本题通过折叠的性质实现线段的等量代换，将不规则的阴影部分周长转化为已知边长的等边三角形周长，考查学生对图形变换中不变量的识别能力和转化思想的应用，解题的关键是准确找出折叠前后相等的线段，正确拆分阴影周长的组成线段。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边长度相等，因此可得AD=A'D，AE=A'E。接下来梳理阴影部分的周长由哪些线段组成，将其中与AD、AE相等的A'D、A'E进行等量代换，即可把阴影部分的周长转化为等边三角形ABC的三边之和，最后结合等边三角形的边长计算周长即可。
【解析】
解：
∵△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A'处，
∴根据折叠的性质，得$AD=A'D$，$AE=A'E$。
阴影部分的周长 = $BD + A'D + BC + CE + A'E$
将$A'D$替换为$AD$，$A'E$替换为$AE$，得：
阴影部分的周长 = $BD + AD + BC + CE + AE = (BD+AD) + BC + (CE+AE) = AB + BC + AC$
∵△ABC是边长为2 cm的等边三角形，
∴$AB=BC=AC=2\ \mathrm{cm}$，
∴阴影部分的周长 = $2+2+2 = 6\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
6 cm
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的性质；周长的计算
【点评】
本题通过折叠的性质实现线段的等量代换，将不规则的阴影部分周长转化为已知边长的等边三角形周长，考查学生对图形变换中不变量的识别能力和转化思想的应用，解题的关键是准确找出折叠前后相等的线段，正确拆分阴影周长的组成线段。
【难度系数】
0.8
12.如图，$△ ABC$和$△ ADE$关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.
(1)图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是
(2)若$DE=5$，$BF=2$，则CF的长为
(3)若$∠ BAC = 108°$，$∠ BAE = 30°$，求$∠ EAM$的度数.
03 素养练 学科素养培育
(1)图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是
∠D
；(2)若$DE=5$，$BF=2$，则CF的长为
3
；(3)若$∠ BAC = 108°$，$∠ BAE = 30°$，求$∠ EAM$的度数.
03 素养练 学科素养培育
答案
12. (1) $∠D$ (2) 3 (3) $\because ∠BAC=108°,∠BAE=30°, \therefore ∠CAE=∠BAC - ∠BAE=78°$. 由轴对称的性质,得$∠EAM=∠CAM, \therefore ∠EAM=\frac{1}{2}∠CAE=39°.$
解析
【分析】
本题围绕轴对称的性质展开考查，解题思路如下：
(1) 根据轴对称的定义，成轴对称的两个图形中，对应点所对的角为对应角，找到点B的对应点即可确定∠B的对应角；
(2) 利用轴对称对应边相等的性质先求出BC的长度，再结合线段和差关系即可计算CF的长；
(3) 先通过角的和差关系求出∠CAE的度数，再根据轴对称的性质可知对称轴MN平分∠CAE，即可求出∠EAM的度数。
【解析】
(1)
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，点B的对应点是点D，
∴∠B的对应角是∠D。
(2) 由轴对称的性质可得，对应边BC=DE=5，
∵BC=BF+CF，BF=2，
∴CF=BC-BF=5-2=3。
(3) 已知∠BAC=108°，∠BAE=30°，
∴∠CAE=∠BAC - ∠BAE=108°-30°=78°，
由轴对称的性质可知，直线MN平分∠CAE，即∠EAM=∠CAM，
∴∠EAM=$\frac{1}{2}$∠CAE=$\frac{1}{2}$×78°=39°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠D}$；(2) $\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{39°}$
【知识点】
轴对称的性质；角的和差计算；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，侧重考查轴对称性质的直接应用，熟练掌握轴对称图形对应边相等、对应角相等、对称轴平分对应点的夹角等性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题围绕轴对称的性质展开考查，解题思路如下：
(1) 根据轴对称的定义，成轴对称的两个图形中，对应点所对的角为对应角，找到点B的对应点即可确定∠B的对应角；
(2) 利用轴对称对应边相等的性质先求出BC的长度，再结合线段和差关系即可计算CF的长；
(3) 先通过角的和差关系求出∠CAE的度数，再根据轴对称的性质可知对称轴MN平分∠CAE，即可求出∠EAM的度数。
【解析】
(1)
∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，点B的对应点是点D，
∴∠B的对应角是∠D。
(2) 由轴对称的性质可得，对应边BC=DE=5，
∵BC=BF+CF，BF=2，
∴CF=BC-BF=5-2=3。
(3) 已知∠BAC=108°，∠BAE=30°，
∴∠CAE=∠BAC - ∠BAE=108°-30°=78°，
由轴对称的性质可知，直线MN平分∠CAE，即∠EAM=∠CAM，
∴∠EAM=$\frac{1}{2}$∠CAE=$\frac{1}{2}$×78°=39°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠D}$；(2) $\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{39°}$
【知识点】
轴对称的性质；角的和差计算；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，侧重考查轴对称性质的直接应用，熟练掌握轴对称图形对应边相等、对应角相等、对称轴平分对应点的夹角等性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13.如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,EF为折痕.
(1)求证:△FGC≌△EBC;
(2)若AB=8,AD=4,求四边形ECGF(阴影部分)的面积.
(1)求证:△FGC≌△EBC;
(2)若AB=8,AD=4,求四边形ECGF(阴影部分)的面积.
答案
13. (1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是长方形,$\therefore AD=BC. ∠D=∠B=∠DCB=90°$. 根据折叠的性质得:$GC=AD,∠G=∠D=∠GCE=90°, \therefore GC=BC,∠G=∠B. \because ∠GCF+∠ECF=90°,∠BCE+∠ECF=90°, \therefore ∠GCF=∠BCE, \therefore △FGC≌△EBC(ASA);$(2)解:由折叠性质得$S_{四边形ECGF}=S_{四边形EADF}. \because △FGC≌△EBC, \therefore S_{△FGC}=S_{△EBC}, \therefore S_{四边形ECGF}=S_{四边形EFCB}=\frac{1}{2}S_{长方形ABCD}. \because AB=8,AD=4. \therefore S_{长方形ABCD}=8×4=32. \therefore S_{四边形ECGF}=16.$
解析
【分析】
(1) 要证明△FGC≌△EBC，首先从长方形的性质入手，可得到对边相等、四个角均为直角的结论；再结合折叠的性质，推出折叠后对应边、对应角与原图形的等量关系，得到一组边相等、一组角相等；最后利用同角的余角相等证明两个三角形的夹角相等，即可通过ASA判定三角形全等。
(2) 求阴影部分面积时，首先利用折叠前后面积不变的性质，得到四边形ECGF与原四边形EADF面积相等；再结合第一问的全等结论，可知△FGC与△EBC面积相等，由此可推导出阴影部分面积为长方形面积的一半，直接计算长方形面积即可快速得到结果，避免了复杂的边长计算。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD=BC$，$∠D=∠B=∠DCB=90°$。
根据折叠的性质得：$GC=AD$，$∠G=∠D=∠GCE=90°$，
∴ $GC=BC$，$∠G=∠B$。
∵ $∠GCF+∠ECF=90°$，$∠BCE+∠ECF=90°$，
∴ $∠GCF=∠BCE$，
∴ $△ FGC≌△ EBC(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：由折叠性质得$S_{四边形ECGF}=S_{四边形EADF}$，
∵ $△ FGC≌△ EBC$，
∴ $S_{△ FGC}=S_{△ EBC}$，
∴ $S_{四边形ECGF}=S_{四边形EFCB}=\frac{1}{2}S_{长方形ABCD}$。
∵ $AB=8$，$AD=4$，
∴ $S_{长方形ABCD}=8×4=32$，
∴ $S_{四边形ECGF}=\frac{1}{2}×32=16$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{16}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将折叠变换与矩形、全等三角形的知识相结合，解题时要注意挖掘折叠前后图形的等量关系，合理转化面积可简化计算过程，是几何部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△FGC≌△EBC，首先从长方形的性质入手，可得到对边相等、四个角均为直角的结论；再结合折叠的性质，推出折叠后对应边、对应角与原图形的等量关系，得到一组边相等、一组角相等；最后利用同角的余角相等证明两个三角形的夹角相等，即可通过ASA判定三角形全等。
(2) 求阴影部分面积时，首先利用折叠前后面积不变的性质，得到四边形ECGF与原四边形EADF面积相等；再结合第一问的全等结论，可知△FGC与△EBC面积相等，由此可推导出阴影部分面积为长方形面积的一半，直接计算长方形面积即可快速得到结果，避免了复杂的边长计算。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD=BC$，$∠D=∠B=∠DCB=90°$。
根据折叠的性质得：$GC=AD$，$∠G=∠D=∠GCE=90°$，
∴ $GC=BC$，$∠G=∠B$。
∵ $∠GCF+∠ECF=90°$，$∠BCE+∠ECF=90°$，
∴ $∠GCF=∠BCE$，
∴ $△ FGC≌△ EBC(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：由折叠性质得$S_{四边形ECGF}=S_{四边形EADF}$，
∵ $△ FGC≌△ EBC$，
∴ $S_{△ FGC}=S_{△ EBC}$，
∴ $S_{四边形ECGF}=S_{四边形EFCB}=\frac{1}{2}S_{长方形ABCD}$。
∵ $AB=8$，$AD=4$，
∴ $S_{长方形ABCD}=8×4=32$，
∴ $S_{四边形ECGF}=\frac{1}{2}×32=16$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{16}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将折叠变换与矩形、全等三角形的知识相结合，解题时要注意挖掘折叠前后图形的等量关系，合理转化面积可简化计算过程，是几何部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
