登录
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.若三角形的三边分别是4,9,a,则a的值可以是 （
A.3
B.4
C.5
D.6
1.若三角形的三边分别是4,9,a,则a的值可以是 （
D
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆三角形三边的关系规律：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先根据已知的两条边长，求出第三边a的取值范围，再逐一判断四个选项中的数值是否在这个范围内，就能得到正确答案。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
第三边a需要满足：$9 - 4 ＜ a ＜ 9 + 4$
计算得：$5 ＜ a ＜ 13$
逐一分析选项：
A.3＜5，不符合要求；B.4＜5，不符合要求；C.5不满足大于5的条件，不符合要求；D.6在5到13的范围内，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础型考题，核心考查三角形三边关系的应用，解题时只需牢记第三边的取值范围介于已知两边的差（大边减小边）与两边之和之间，即可快速求出结果，注意不要忽略取值范围的边界是不包含等号的。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆三角形三边的关系规律：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先根据已知的两条边长，求出第三边a的取值范围，再逐一判断四个选项中的数值是否在这个范围内，就能得到正确答案。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
第三边a需要满足：$9 - 4 ＜ a ＜ 9 + 4$
计算得：$5 ＜ a ＜ 13$
逐一分析选项：
A.3＜5，不符合要求；B.4＜5，不符合要求；C.5不满足大于5的条件，不符合要求；D.6在5到13的范围内，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础型考题，核心考查三角形三边关系的应用，解题时只需牢记第三边的取值范围介于已知两边的差（大边减小边）与两边之和之间，即可快速求出结果，注意不要忽略取值范围的边界是不包含等号的。
【难度系数】
0.8
2.下图是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（
A.三角形两边之和大于第三边
B.三角形具有稳定性
C.三角形两边之差小于第三边
D.直角三角形的两锐角互余
B
）A.三角形两边之和大于第三边
B.三角形具有稳定性
C.三角形两边之差小于第三边
D.直角三角形的两锐角互余
答案
2. B
解析
【分析】
首先观察题干中的场景：起重架增加斜条的目的是让架体结构更稳固、不易变形。首先思考增加斜条后结构的变化：斜条会和原有架体的边构成多个三角形结构，再回忆三角形的相关性质：三角形具有稳定性，是区别于四边形等其他多边形的特有性质，常用于加固结构。接下来逐一分析选项：A、C选项是三角形三边的数量关系，作用是判断三条线段能否组成三角形，和结构稳固无关；D选项是直角三角形的角的性质，本题不涉及直角三角形角的计算，即可锁定正确答案。
【解析】
起重架增加斜条后，斜条与原有架体的边可构成多个三角形结构。三角形具有稳定性，能够让结构更加稳固、不易变形，这就是该设计运用的几何原理。
对各选项分析如下：
A. 三角形两边之和大于第三边是判断三条线段能否构成三角形的依据，与结构加固无关，不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，是该设计的几何原理，符合题意；
C. 三角形两边之差小于第三边同样属于三角形三边关系，与结构加固无关，不符合题意；
D. 直角三角形的两锐角互余是直角三角形的角的性质，本题未涉及相关应用，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题考查三角形性质的实际应用，解题关键是区分三角形不同性质的适用场景，学会将数学知识和生活中的实际应用结合起来。
【难度系数】
0.9
首先观察题干中的场景：起重架增加斜条的目的是让架体结构更稳固、不易变形。首先思考增加斜条后结构的变化：斜条会和原有架体的边构成多个三角形结构，再回忆三角形的相关性质：三角形具有稳定性，是区别于四边形等其他多边形的特有性质，常用于加固结构。接下来逐一分析选项：A、C选项是三角形三边的数量关系，作用是判断三条线段能否组成三角形，和结构稳固无关；D选项是直角三角形的角的性质，本题不涉及直角三角形角的计算，即可锁定正确答案。
【解析】
起重架增加斜条后，斜条与原有架体的边可构成多个三角形结构。三角形具有稳定性，能够让结构更加稳固、不易变形，这就是该设计运用的几何原理。
对各选项分析如下：
A. 三角形两边之和大于第三边是判断三条线段能否构成三角形的依据，与结构加固无关，不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，是该设计的几何原理，符合题意；
C. 三角形两边之差小于第三边同样属于三角形三边关系，与结构加固无关，不符合题意；
D. 直角三角形的两锐角互余是直角三角形的角的性质，本题未涉及相关应用，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题考查三角形性质的实际应用，解题关键是区分三角形不同性质的适用场景，学会将数学知识和生活中的实际应用结合起来。
【难度系数】
0.9
3. 如图，在$△ ABC$中，$AE$是中线，$AD$是角平分线，$AF$是高，下列结论不一定成立的是 （
A.$BC=2CE$
B.$∠ BAD=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AFB=90°$
D.$AE=CE$
D
）A.$BC=2CE$
B.$∠ BAD=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AFB=90°$
D.$AE=CE$
答案
3. D
解析
【分析】
解答本题需先明确三角形中线、角平分线、高的定义与性质，再逐一分析每个选项是否一定成立，最终选出不一定成立的选项即可。
【解析】
我们根据三类线段的性质逐个判断选项：
1. 对选项A：
∵AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，即$CE=BE=\frac{1}{2}BC$，可得$BC=2CE$，该结论一定成立，不符合题意；
2. 对选项B：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD平分$∠BAC$，即$∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$，该结论一定成立，不符合题意；
3. 对选项C：
∵AF是△ABC的高，
∴$AF⊥BC$，可得$∠AFB=90°$，该结论一定成立，不符合题意；
4. 对选项D：AE是中线仅能说明E为BC中点，AE与CE的长度没有必然相等的关系，仅当△ABC为特殊三角形时该等式才成立，普通三角形中该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对三角形三类重要线段性质的理解，熟练掌握相关定义即可快速判断。
【难度系数】
0.9
解答本题需先明确三角形中线、角平分线、高的定义与性质，再逐一分析每个选项是否一定成立，最终选出不一定成立的选项即可。
【解析】
我们根据三类线段的性质逐个判断选项：
1. 对选项A：
∵AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，即$CE=BE=\frac{1}{2}BC$，可得$BC=2CE$，该结论一定成立，不符合题意；
2. 对选项B：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD平分$∠BAC$，即$∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$，该结论一定成立，不符合题意；
3. 对选项C：
∵AF是△ABC的高，
∴$AF⊥BC$，可得$∠AFB=90°$，该结论一定成立，不符合题意；
4. 对选项D：AE是中线仅能说明E为BC中点，AE与CE的长度没有必然相等的关系，仅当△ABC为特殊三角形时该等式才成立，普通三角形中该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对三角形三类重要线段性质的理解，熟练掌握相关定义即可快速判断。
【难度系数】
0.9
4.如图，点E，D分别在AB，AC上.若∠B=30°,∠C=55°,则∠1+∠2的度数为 （
A.85°
B.80°
C.75°
D.70°
A
）A.85°
B.80°
C.75°
D.70°
答案
4. A
解析
【分析】
我们可以利用三角形内角和定理求解，首先在△ABC中，已知∠B和∠C的度数，先计算出∠A的度数；再观察△AED，三个内角和也为180°，用内角和减去∠A的度数即可得到∠1+∠2的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 30° - 55° = 95°$
在△AED中，同样根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A = 180°$
所以$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A = 180° - 95° = 85°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础应用题，核心是对三角形内角和定理的灵活运用，通过公共角∠A建立两个三角形内角和的关联即可求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
我们可以利用三角形内角和定理求解，首先在△ABC中，已知∠B和∠C的度数，先计算出∠A的度数；再观察△AED，三个内角和也为180°，用内角和减去∠A的度数即可得到∠1+∠2的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 30° - 55° = 95°$
在△AED中，同样根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A = 180°$
所以$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A = 180° - 95° = 85°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础应用题，核心是对三角形内角和定理的灵活运用，通过公共角∠A建立两个三角形内角和的关联即可求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
5.将两个分别含$30°$和$45°$角的直角三角板如图放置，则$∠α$的度数是 （
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
B
）A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
5. B
解析
【分析】
首先回忆两类直角三角板的固定角度：含30°角的直角三角板三个角分别为90°、60°、30°，含45°角的直角三角板三个角分别为90°、45°、45°。观察图形中∠α的位置，可知∠α是两个三角板的锐角的差值，用30°三角板的60°角减去45°三角板的45°角即可得到结果。
【解析】
解：已知含30°角的直角三角板的锐角分别为30°、60°，含45°角的直角三角板的锐角均为45°。
结合图形可得：$∠α = 60° - 45° = 15°$。
【答案】
B
【知识点】
三角板的角度特征，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对常见直角三角板角度的掌握，以及角的和差运算，解题关键是熟悉三角板的各角度数，结合图形判断角的组成关系。
【难度系数】
0.9
首先回忆两类直角三角板的固定角度：含30°角的直角三角板三个角分别为90°、60°、30°，含45°角的直角三角板三个角分别为90°、45°、45°。观察图形中∠α的位置，可知∠α是两个三角板的锐角的差值，用30°三角板的60°角减去45°三角板的45°角即可得到结果。
【解析】
解：已知含30°角的直角三角板的锐角分别为30°、60°，含45°角的直角三角板的锐角均为45°。
结合图形可得：$∠α = 60° - 45° = 15°$。
【答案】
B
【知识点】
三角板的角度特征，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对常见直角三角板角度的掌握，以及角的和差运算，解题关键是熟悉三角板的各角度数，结合图形判断角的组成关系。
【难度系数】
0.9
6.如图,如果$△ ABC≌△ DEF,∠ B=25°,∠ F=45°$,那么$∠ A=$（
A.$25°$
B.$45°$
C.$70°$
D.$110°$
D
）A.$25°$
B.$45°$
C.$70°$
D.$110°$
答案
6. D
解析
【分析】
首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，由此可先找到与∠F对应的∠C的度数；再结合三角形内角和为180°，已知△ABC中∠B和∠C的度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
∵△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应角相等，
∴∠C=∠F=45°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-25°-45°=110°。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查全等三角形性质和三角形内角和定理的应用，解题关键是准确找到全等三角形的对应角，掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，由此可先找到与∠F对应的∠C的度数；再结合三角形内角和为180°，已知△ABC中∠B和∠C的度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
∵△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应角相等，
∴∠C=∠F=45°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-25°-45°=110°。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查全等三角形性质和三角形内角和定理的应用，解题关键是准确找到全等三角形的对应角，掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.如图，AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（
A.CB=CD
B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA
D.∠B=∠D=90°
C
）A.CB=CD
B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA
D.∠B=∠D=90°
答案
7. C
解析
【分析】
首先明确已知条件：△ABC和△ADC中，已有AB=AD，且AC是两个三角形的公共边，即AC=AC，相当于已经有两组边对应相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL），逐一判断每个选项添加后是否满足判定条件，找出无法判定全等的选项即可。
【解析】
已知在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC=AC（公共边）：
选项A：添加CB=CD，满足三边对应相等（SSS），可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项B：添加∠BAC=∠DAC，满足两边及其夹角对应相等（SAS），可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项C：添加∠BCA=∠DCA，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），没有对应的全等判定定理，无法判定△ABC≌△ADC，符合题意；
选项D：添加∠B=∠D=90°，两个三角形均为直角三角形，满足斜边和直角边对应相等（HL），可判定△ABC≌△ADC，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形全等判定；公共边的应用
【点评】
本题是全等三角形判定的基础常考题，核心是熟练掌握全等三角形的各类判定定理，尤其要注意SSA不能判定一般三角形全等，是这部分内容的高频易错点。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：△ABC和△ADC中，已有AB=AD，且AC是两个三角形的公共边，即AC=AC，相当于已经有两组边对应相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL），逐一判断每个选项添加后是否满足判定条件，找出无法判定全等的选项即可。
【解析】
已知在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC=AC（公共边）：
选项A：添加CB=CD，满足三边对应相等（SSS），可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项B：添加∠BAC=∠DAC，满足两边及其夹角对应相等（SAS），可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项C：添加∠BCA=∠DCA，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），没有对应的全等判定定理，无法判定△ABC≌△ADC，符合题意；
选项D：添加∠B=∠D=90°，两个三角形均为直角三角形，满足斜边和直角边对应相等（HL），可判定△ABC≌△ADC，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形全等判定；公共边的应用
【点评】
本题是全等三角形判定的基础常考题，核心是熟练掌握全等三角形的各类判定定理，尤其要注意SSA不能判定一般三角形全等，是这部分内容的高频易错点。
【难度系数】
0.7
8. 如图,点A,B分别是$∠NOP,∠MOP$平分线上的点,$AB⊥OP$于点E,$BC⊥MN$于点C,$AD⊥MN$于点D,下列结论错误的是 (
A.$AD+BC=AB$
B.$∠AOB=90°$
C.与$∠CBO$互余的角有两个
D.点O是CD的中点
C
)A.$AD+BC=AB$
B.$∠AOB=90°$
C.与$∠CBO$互余的角有两个
D.点O是CD的中点
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先围绕角平分线的性质展开，逐一验证每个选项：
1. 验证A选项：利用角平分线上的点到角两边距离相等，可得AD=AE、BC=BE，进而推出AB=AD+BC；
2. 验证B选项：结合平角为180°，OB、OA分别平分∠MOP、∠NOP，可推出∠AOB=90°；
3. 验证C选项：根据直角三角形两锐角互余、等角的余角相等，找出所有和∠CBO相加为90°的角，判断数量是否为2；
4. 验证D选项：由角平分线性质得OC=OE、OD=OE，进而推出OC=OD，判断O为CD中点。
【解析】
解：
∵点A在∠NOP的平分线上，AD⊥MN，AE⊥OP，
∴AD=AE，
同理，点B在∠MOP的平分线上，BC⊥MN，BE⊥OP，
∴BC=BE，
∴AB=AE+BE=AD+BC，故A选项结论正确，不符合题意；
∵OB平分∠MOP，OA平分∠NOP，
∴∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MOP，∠AOP=$\frac{1}{2}$∠NOP，
∵∠MOP+∠NOP=180°，
∴∠AOB=∠BOP+∠AOP=$\frac{1}{2}$(∠MOP+∠NOP)=90°，故B选项结论正确，不符合题意；
∵BC⊥MN，
∴∠BCO=90°，
∴∠CBO+∠BOC=90°，
又
∵∠BOC=∠BOE，
∴∠CBO+∠BOE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠CBO=∠AOE，
∵AD⊥MN，
∴∠ADO=90°，且OA平分∠NOP得∠AOE=∠AOD，
∴∠AOD+∠OAD=90°，即∠AOE+∠OAD=90°，
∴∠CBO+∠OAD=90°，同理∠CBO+∠OAE=90°，
∴与∠CBO互余的角有∠BOC、∠BOE、∠OAD、∠OAE共4个，故C选项结论错误，符合题意；
由角平分线的性质可得：OC=OE，OD=OE，
∴OC=OD，即点O是CD的中点，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；余角的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质的综合应用，解题的核心是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，结合互余的定义分析角的数量关系，注意不要漏记等角的余角相等这一规律。
【难度系数】
0.65
解题时先围绕角平分线的性质展开，逐一验证每个选项：
1. 验证A选项：利用角平分线上的点到角两边距离相等，可得AD=AE、BC=BE，进而推出AB=AD+BC；
2. 验证B选项：结合平角为180°，OB、OA分别平分∠MOP、∠NOP，可推出∠AOB=90°；
3. 验证C选项：根据直角三角形两锐角互余、等角的余角相等，找出所有和∠CBO相加为90°的角，判断数量是否为2；
4. 验证D选项：由角平分线性质得OC=OE、OD=OE，进而推出OC=OD，判断O为CD中点。
【解析】
解：
∵点A在∠NOP的平分线上，AD⊥MN，AE⊥OP，
∴AD=AE，
同理，点B在∠MOP的平分线上，BC⊥MN，BE⊥OP，
∴BC=BE，
∴AB=AE+BE=AD+BC，故A选项结论正确，不符合题意；
∵OB平分∠MOP，OA平分∠NOP，
∴∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MOP，∠AOP=$\frac{1}{2}$∠NOP，
∵∠MOP+∠NOP=180°，
∴∠AOB=∠BOP+∠AOP=$\frac{1}{2}$(∠MOP+∠NOP)=90°，故B选项结论正确，不符合题意；
∵BC⊥MN，
∴∠BCO=90°，
∴∠CBO+∠BOC=90°，
又
∵∠BOC=∠BOE，
∴∠CBO+∠BOE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠CBO=∠AOE，
∵AD⊥MN，
∴∠ADO=90°，且OA平分∠NOP得∠AOE=∠AOD，
∴∠AOD+∠OAD=90°，即∠AOE+∠OAD=90°，
∴∠CBO+∠OAD=90°，同理∠CBO+∠OAE=90°，
∴与∠CBO互余的角有∠BOC、∠BOE、∠OAD、∠OAE共4个，故C选项结论错误，符合题意；
由角平分线的性质可得：OC=OE，OD=OE，
∴OC=OD，即点O是CD的中点，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；余角的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质的综合应用，解题的核心是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，结合互余的定义分析角的数量关系，注意不要漏记等角的余角相等这一规律。
【难度系数】
0.65
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,图中有
9.如图,图中有
6
个三角形.答案
9. 6
解析
【分析】
要准确数出三角形的个数，核心是做到不重复、不遗漏，我们可以用分类计数的思路解题：先数独立的小三角形，再数由多个小三角形组合而成的三角形，最后把各类数量相加即可；也可以利用共顶点三角形的计数规律：所有三角形共享同一个顶点、底边在同一直线上时，底边有多少条不同的线段，就对应多少个三角形，直接计算总数。
【解析】
方法一：分类计数
1. 数单个的独立小三角形，共3个；
2. 数由2个相邻小三角形拼成的三角形，共2个；
3. 数由3个小三角形拼成的最大三角形，共1个。
总个数为：$3+2+1=6$（个）
方法二：线段对应法
观察图形可知所有三角形有公共顶点，底边共线，底边上的线段总数为$3+2+1=6$条，每条线段对应1个三角形，因此总共有6个三角形。
【答案】
6
【知识点】
三角形的识别；图形计数
【点评】
本题是基础的几何计数题型，核心考查有序计数的思维，掌握分类计数或者规律计数的方法就能快速得出结果，能有效避免盲目乱数导致的重复或遗漏问题。
【难度系数】
0.8
要准确数出三角形的个数，核心是做到不重复、不遗漏，我们可以用分类计数的思路解题：先数独立的小三角形，再数由多个小三角形组合而成的三角形，最后把各类数量相加即可；也可以利用共顶点三角形的计数规律：所有三角形共享同一个顶点、底边在同一直线上时，底边有多少条不同的线段，就对应多少个三角形，直接计算总数。
【解析】
方法一：分类计数
1. 数单个的独立小三角形，共3个；
2. 数由2个相邻小三角形拼成的三角形，共2个；
3. 数由3个小三角形拼成的最大三角形，共1个。
总个数为：$3+2+1=6$（个）
方法二：线段对应法
观察图形可知所有三角形有公共顶点，底边共线，底边上的线段总数为$3+2+1=6$条，每条线段对应1个三角形，因此总共有6个三角形。
【答案】
6
【知识点】
三角形的识别；图形计数
【点评】
本题是基础的几何计数题型，核心考查有序计数的思维，掌握分类计数或者规律计数的方法就能快速得出结果，能有效避免盲目乱数导致的重复或遗漏问题。
【难度系数】
0.8
10.如图，六根木条钉成一个六边形框架ABC-DEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添
3
根木条。答案
10. 3
解析
【分析】
要使多边形框架稳固，需利用三角形的稳定性，将多边形分割为若干个三角形。解题时先回忆n边形分割为最少三角形的方法：从n边形的一个顶点出发，连接其余不相邻顶点，即可将n边形分为(n-2)个三角形，所需添加的线段（木条）数量为(n-3)条，代入六边形的边数计算即可。
【解析】
三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，因此要让六边形框架稳固且不活动，需要将其分割为若干个三角形。
对于n边形，从任意一个顶点出发，连接与该顶点不相邻的其余顶点，共可作(n-3)条对角线，这些对角线恰好将n边形分为(n-2)个互不重叠的三角形，此时整个框架全部由稳定的三角形组成。
本题中是六边形，即n=6，因此需要添加的木条数量为：$6-3=3$（根）。
【答案】
3
【知识点】
三角形的稳定性；多边形的对角线
【点评】
本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的核心是明确将不稳定的多边形转化为稳定的三角形的方法，结合多边形对角线的相关规律即可快速得到答案，这类题目常结合生活场景命题，要学会将实际问题转化为数学问题求解。
【难度系数】
0.8
要使多边形框架稳固，需利用三角形的稳定性，将多边形分割为若干个三角形。解题时先回忆n边形分割为最少三角形的方法：从n边形的一个顶点出发，连接其余不相邻顶点，即可将n边形分为(n-2)个三角形，所需添加的线段（木条）数量为(n-3)条，代入六边形的边数计算即可。
【解析】
三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，因此要让六边形框架稳固且不活动，需要将其分割为若干个三角形。
对于n边形，从任意一个顶点出发，连接与该顶点不相邻的其余顶点，共可作(n-3)条对角线，这些对角线恰好将n边形分为(n-2)个互不重叠的三角形，此时整个框架全部由稳定的三角形组成。
本题中是六边形，即n=6，因此需要添加的木条数量为：$6-3=3$（根）。
【答案】
3
【知识点】
三角形的稳定性；多边形的对角线
【点评】
本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的核心是明确将不稳定的多边形转化为稳定的三角形的方法，结合多边形对角线的相关规律即可快速得到答案，这类题目常结合生活场景命题，要学会将实际问题转化为数学问题求解。
【难度系数】
0.8
11.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=40°$,点D在边BC上,且$CD=3$.若点D到AB的距离为3,则$∠ DAB=$
25°
.答案
11. 25°
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先看到∠C=90°，说明CD垂直于AC，题目同时给出CD=3，点D到AB的距离也为3，符合角平分线的判定条件：到角两边距离相等的点在角的平分线上，由此可推出AD是∠CAB的角平分线。再结合直角三角形两锐角互余的性质，先算出∠CAB的度数，取一半即可得到∠DAB的度数。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，则DE就是点D到AB的距离，由题意得$DE=3$。
$\because ∠ C=90°$，$\therefore DC⊥ AC$，又$\because CD=3=DE$，
$\therefore$ 点D在$∠ CAB$的角平分线上，即AD平分$∠ CAB$（角平分线的判定定理）。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，
$\therefore ∠ CAB=90°-∠ B=90°-40°=50°$，
$\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
角平分线的判定，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重基础几何定理的应用，解题关键是通过两条等长的垂线段判断出角平分线，再结合直角三角形的角度性质求解，能够很好地考查学生对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：首先看到∠C=90°，说明CD垂直于AC，题目同时给出CD=3，点D到AB的距离也为3，符合角平分线的判定条件：到角两边距离相等的点在角的平分线上，由此可推出AD是∠CAB的角平分线。再结合直角三角形两锐角互余的性质，先算出∠CAB的度数，取一半即可得到∠DAB的度数。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，则DE就是点D到AB的距离，由题意得$DE=3$。
$\because ∠ C=90°$，$\therefore DC⊥ AC$，又$\because CD=3=DE$，
$\therefore$ 点D在$∠ CAB$的角平分线上，即AD平分$∠ CAB$（角平分线的判定定理）。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，
$\therefore ∠ CAB=90°-∠ B=90°-40°=50°$，
$\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
角平分线的判定，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重基础几何定理的应用，解题关键是通过两条等长的垂线段判断出角平分线，再结合直角三角形的角度性质求解，能够很好地考查学生对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$AB // CF$，$E$为$DF$的中点.若$AB=11\ \mathrm{cm}$，$CF=5\ \mathrm{cm}$，则$BD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
第12题图 第13题图 第14题图
第12题图 第13题图 第14题图
答案
12. 6
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：由AB//CF可推出内错角相等，结合E是DF中点得到的边相等，再加上对顶角相等，可证明△ADE和△CFE全等，由此得到AD的长度等于CF的长度，最后用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长度。
【解析】
∵ $AB// CF$，
∴ $∠ ADE=∠ F$（两直线平行，内错角相等），
∵ E为DF的中点，
∴ $DE=FE$，
在$△ ADE$和$△ CFE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADE=∠ F\\DE=FE\\∠ AED=∠ CEF（对顶角相等）\end{array} $
∴ $△ ADE≌△ CFE$（ASA），
∴ $AD=CF=5\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB=11\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB-AD=11-5=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过平行线性质和中点条件构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段的差进行求解，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：由AB//CF可推出内错角相等，结合E是DF中点得到的边相等，再加上对顶角相等，可证明△ADE和△CFE全等，由此得到AD的长度等于CF的长度，最后用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长度。
【解析】
∵ $AB// CF$，
∴ $∠ ADE=∠ F$（两直线平行，内错角相等），
∵ E为DF的中点，
∴ $DE=FE$，
在$△ ADE$和$△ CFE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADE=∠ F\\DE=FE\\∠ AED=∠ CEF（对顶角相等）\end{array} $
∴ $△ ADE≌△ CFE$（ASA），
∴ $AD=CF=5\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB=11\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AB-AD=11-5=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过平行线性质和中点条件构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段的差进行求解，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
13.如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1+∠2=
90°
.答案
13. 90°
解析
【分析】
我们可以借助方格中边长相等的特点，通过构造全等三角形转化角的关系求解。首先观察∠1和∠2的位置，分别位于两个直角三角形中，先验证两个直角三角形的全等条件，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，即可推导出∠1+∠2的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 找到包含∠1的直角三角形，它的两条直角边长度分别为1、2；再找到另一个直角三角形，其两条直角边长度也为1、2，且两个三角形的直角边夹角均为90°。
2. 根据边角边（SAS）全等判定定理，可证这两个直角三角形全等。
3. 由全等三角形的性质可得，∠2与∠1所在直角三角形中除∠1和直角外的第三个锐角相等。
4. 因为直角三角形的两个锐角和为90°，即∠1 + 第三个锐角 = 90°，通过等量代换可得：∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是方格背景下的角度计算问题，核心是利用方格的边长特征构造全等三角形实现角的等量代换，将分散的两个角的和转化为直角三角形的锐角和，解题时要善于观察图形特征，灵活运用全等相关知识。
【难度系数】
0.7
我们可以借助方格中边长相等的特点，通过构造全等三角形转化角的关系求解。首先观察∠1和∠2的位置，分别位于两个直角三角形中，先验证两个直角三角形的全等条件，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，即可推导出∠1+∠2的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 找到包含∠1的直角三角形，它的两条直角边长度分别为1、2；再找到另一个直角三角形，其两条直角边长度也为1、2，且两个三角形的直角边夹角均为90°。
2. 根据边角边（SAS）全等判定定理，可证这两个直角三角形全等。
3. 由全等三角形的性质可得，∠2与∠1所在直角三角形中除∠1和直角外的第三个锐角相等。
4. 因为直角三角形的两个锐角和为90°，即∠1 + 第三个锐角 = 90°，通过等量代换可得：∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是方格背景下的角度计算问题，核心是利用方格的边长特征构造全等三角形实现角的等量代换，将分散的两个角的和转化为直角三角形的锐角和，解题时要善于观察图形特征，灵活运用全等相关知识。
【难度系数】
0.7
14.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=20\ \mathrm{cm}$，$BC=16\ \mathrm{cm}$，点D是AB的中点，点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由A点向C点运动，当$△ BPD$与$△ CQP$全等时，点Q的运动速度为
$\frac{5}{2}$ cm/s 或$\frac{14}{3}$ cm/s
。答案
14. $\frac{5}{2}$ cm/s 或$\frac{14}{3}$ cm/s
解析
【分析】
本题为动点背景下的全等三角形求解问题，首先根据等腰三角形性质可得∠B=∠C，确定两个三角形有一组相等的对应角，由于全等的对应边未明确，因此需要分两种情况讨论：①△BPD≌△CPQ，此时BP=CP、BD=CQ；②△BPD≌△CQP，此时BD=CP、BP=CQ。分别结合运动路程、速度、时间的关系列方程求解即可得到点Q的运动速度。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，点Q的运动速度为$ v\ \mathrm{cm/s} $。
∵ $ AB=AC=20\ \mathrm{cm} $，
∴ $ ∠ B=∠ C $，
∵ 点D是AB的中点，
∴ $ BD=\frac{1}{2}AB=10\ \mathrm{cm} $，
由题意得：$ BP=2t\ \mathrm{cm} $，$ PC=BC-BP=(16-2t)\ \mathrm{cm} $，$ AQ=vt\ \mathrm{cm} $，$ CQ=AC-AQ=(20-vt)\ \mathrm{cm} $。
分两种情况讨论：
1. 当$ △ BPD ≌ △ CPQ $时，对应边满足$ BP=CP $，$ BD=CQ $：
列方程：$ 2t=16-2t $，解得$ t=4 $，
代入$ BD=CQ $得：$ 10=20-4v $，解得$ v=\frac{5}{2} $。
2. 当$ △ BPD ≌ △ CQP $时，对应边满足$ BD=CP $，$ BP=CQ $：
列方程：$ 10=16-2t $，解得$ t=3 $，
代入$ BP=CQ $得：$ 2×3=20-3v $，解得$ v=\frac{14}{3} $。
综上，点Q的运动速度为$ \frac{5}{2}\ \mathrm{cm/s} $或$ \frac{14}{3}\ \mathrm{cm/s} $。
【答案】
$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{14}{3}\ \mathrm{cm/s}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的性质，动点分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略全等三角形对应边的多种可能性，造成漏解，解题时需结合相等的角先确定对应角，再分类讨论对应边的情况，结合行程公式列方程求解即可。
【难度系数】
0.6
本题为动点背景下的全等三角形求解问题，首先根据等腰三角形性质可得∠B=∠C，确定两个三角形有一组相等的对应角，由于全等的对应边未明确，因此需要分两种情况讨论：①△BPD≌△CPQ，此时BP=CP、BD=CQ；②△BPD≌△CQP，此时BD=CP、BP=CQ。分别结合运动路程、速度、时间的关系列方程求解即可得到点Q的运动速度。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，点Q的运动速度为$ v\ \mathrm{cm/s} $。
∵ $ AB=AC=20\ \mathrm{cm} $，
∴ $ ∠ B=∠ C $，
∵ 点D是AB的中点，
∴ $ BD=\frac{1}{2}AB=10\ \mathrm{cm} $，
由题意得：$ BP=2t\ \mathrm{cm} $，$ PC=BC-BP=(16-2t)\ \mathrm{cm} $，$ AQ=vt\ \mathrm{cm} $，$ CQ=AC-AQ=(20-vt)\ \mathrm{cm} $。
分两种情况讨论：
1. 当$ △ BPD ≌ △ CPQ $时，对应边满足$ BP=CP $，$ BD=CQ $：
列方程：$ 2t=16-2t $，解得$ t=4 $，
代入$ BD=CQ $得：$ 10=20-4v $，解得$ v=\frac{5}{2} $。
2. 当$ △ BPD ≌ △ CQP $时，对应边满足$ BD=CP $，$ BP=CQ $：
列方程：$ 10=16-2t $，解得$ t=3 $，
代入$ BP=CQ $得：$ 2×3=20-3v $，解得$ v=\frac{14}{3} $。
综上，点Q的运动速度为$ \frac{5}{2}\ \mathrm{cm/s} $或$ \frac{14}{3}\ \mathrm{cm/s} $。
【答案】
$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm/s}$或$\frac{14}{3}\ \mathrm{cm/s}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的性质，动点分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略全等三角形对应边的多种可能性，造成漏解，解题时需结合相等的角先确定对应角，再分类讨论对应边的情况，结合行程公式列方程求解即可。
【难度系数】
0.6
